Задача 10.

Динамика удельного расхода условного топлива на производство теплоэнергии (, кг/Гкал) на ТЭЦ по городам представлена в таблице.

Требуется:

1) произвести сглаживание ряда методом трехлетней скользящей средней;

2) выровнять ряд по прямой;

3) методом экстраполяции определить прогноз экономического показателя на 2002 и 2003 г.г.;

4) начертить графики первичного и выроненного рядов.

 

10.1.

	167,6	165,8	167,4	168,0	167,5	167,2	166,5	166,5	166,4

 

10.2.

	169,1	167,3	168,9	169,5	169,0	168,7	168,0	168,0	167,9

 

10.3.

	166,1	164,3	165,9	166,5	166,0	165,7	165,0	165,0	164,9

 

10.4.

	168,6	166,8	168,4	169,0	168,5	168,2	167,5	167,5	167,4

 

10.5.

	166,6	164,8	166,4	167,0	166,5	166,2	165,5	165,5	165,4

 

10.6.

	168,1	166,3	167,9	168,5	168,0	167,7	167,0	167,0	166,9

 

10.7.

	170,1	168,3	169,9	170,5	170,0	169,7	169,0	169,0	168,9

 

10.8.

	165,6	163,8	165,4	166,0	165,5	165,2	164,5	164,5	164,4

 

10.9.

	169,6	167,8	169,4	170,0	169,5	169,2	168,5	168,5	168,4

 

10.10.

	169,1	167,3	168,9	169,5	169,0	168,7	168,0	168,0	167,9

 

Методические указания к выполнению контрольной работы.

Решение типовых задач.

 

Задача 1.

Из генеральной совокупности , распределенной по нормальному закону, извлечена выборка. Требуется:

1. Составить вариационный, статистический и выборочный ряды распределения; найти размах выборки;

По полученному распределению выборки:

2. Построить полигон относительных частот;

3. Построить график эмпирической функции распределения;

4. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное исправленное среднее квадратическое отклонение, моду и медиану;

5. С надежностью найти доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

 

1.0.

5,6	5,8	5,0	5,4	5,2	5,8	5,2	5,6
5,6	5,6	5,4	5,0	5,4	5,8	5,4	5,6
5,4	5,2	5,4	5,4	5,6	5,0	6,0	5,8
5,2	5,8	5,6	5,8	6,0	5,2	5,8	6,0
6,2	5,4	6,2	5,6	6,0	5,6	5,2	5,6

 

Составим вариационный ряд. Напомним, что вариационным рядом называется последовательность наблюдаемых значений признака , расположенных в неубывающем порядке ,,…,, где …. Следовательно, в нашей задаче вариационный ряд запишется так:

 

5,0	5,0	5,0	5,2	5,2	5,2	5,2	5,2
5,2	5,4	5,4	5,4	5,4	5,4	5,4	5,4
5,4	5,6	5,6	5,6	5,6	5,6	5,6	5,6
5,6	5,6	5,6	5,8	5,8	5,8	5,8	5,8
5,8	5,8	6,0	6,0	6,0	6,0	6,2	6,2

 

Составим статистический ряд распределения данной нам выборки

 

	5,0	5,2	5,4	5,6	5,8	6,0	6,2

 

- варианты, - частоты.

Найдем объем выборки

.

Относительная частота вычисляется по формуле .

Запишем выборочный ряд распределения

 

	5,0	5,2	5,4	5,6	5,8	6,0	6,2

 

.

Размах выборки , т.е. в нашем случае .

 

Построим полигон относительных частот

 

Вычислим выборочную среднюю

= =()==5,56.

 

Построим график эмпирической функции распределениягде (число вариант, меньших, чем значение аргумента ).

Вычислим выборочную дисперсию, где в нашем случае =()==31,012

.

Найдем выборочное среднее квадратическое отклонение

Вычислим "исправленную" дисперсию , которая выражается формулой

(в нашем случае )

и "исправленное" среднее квадратическое отклонение .

Модой называется варианта с наибольшей частотой, т.е. в нашей задаче . Медиана - варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант, т.е. в нашей задаче .

Найдем с надежностью g=0,95 доверительные интервалы для оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения изучаемого признака генеральной совокупности.

Так как по условию задачи генеральная совокупность x распределена по нормальному закону и объем выборки равен n=40, то искомый доверительный интервал для оценки математического ожидания имеет вид

,

где - среднее квадратическое отклонение, а величина t определяется по таблице значений функции Лапласа из равенства .

Следовательно, в нашем случае последнее равенство принимает вид . Из этого равенства по таблице значений интегральной функции Лапласа находим значение t=1,96. Величина была найдена ранее: и .

Вычислим . .

Учитывая, что , доверительный интервал для оценки математического ожидания запишется или, окончательно, .

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенной случайной величины находится по формуле , где s - "исправленное" среднее квадратическое отклонение, а d находится по формуле , где величина q определяется по специальной таблице значений функции .

Найдем для нашей конкретной задачи:

q=q(0,95;40)=0,24; d=sq=0,321×0,24=0,077. Следовательно, или окончательно .

На этом решение задачи 1 закончено.