Графическое изображение вариационных рядов

Графическое изображение зависимости между величинами дает возможность представить ее наглядно. Для изображения вариационных рядов, т.е. соотношений между значениями признака и соответствующими частотами или относительными частотами, являются полигон, гистограмма и кумулята. Их построения выполняют в программе Microsoft Excel.

Полигон чаще всего используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат в произвольно выбранном масштабе на оси абсцисс откладывают значения аргумента, т. е. варианты, а на оси ординат – значения частот или относительных частот. Масштаб выбирают такой, чтобы была обеспечена необходимая наглядность.

Полигоном абсолютных частот называют кривую, отрезки которой соединяют точки (а₁; р₁), (а₂; р₂), …, (а_m; р_m). Таблица и полигон абсолютных частот задают эмпирический закон распределения.

Рис. 7.1. Полигон абсолютных частот

Полигоном относительных частот называют кривую, отрезки которой соединяют точки (а₁; р₁^*), (а₂; р₂^*), …, (а_m; р_m^*). Таблица и полигон относительных частот задают эмпирический закон распределения.

Рис. 7.2. Полигон относительных частот

Графики абсолютных и относительных частот не отличаются, разница лишь в том, что полигон абсолютных частот в n раз выше полигона относительных. Поэтому при графическом или табличном представлении первичной обработки выборки можно использовать один из эмпирических законов (либо относительных, либо абсолютных частот).

Эмпирический закон распределения в примере 2 наглядно представлен в виде полигонов для абсолютных (рис. 7.3) и относительных (рис. 7.4) частот скорости чтения.

Рис. 7.3

Рис.7.4

Для непрерывных эмпирических переменных, а также для дискретных выборок большого объема используется интервальный закон распределения. При анализе результатов скорости чтения можно не рассматривать в отдельности каждое значение, а разбить их на группы. Ведь сложно отличить скорость 51 от 53 слов/мин, но можно различить учащихся, скорость чтения которых находится в диапазоне от 30 до 50 и от 70 до 90 слов/мин.

В литературе описываются различные способы группирования значений и разбиения на интервалы. В школьной практике границы группы часто определяются критериями отметки.

Если в интервальном вариационном ряде в двух последовательных интервалах верхнее предельное значение признака одного интервала равно нижнему предельному значению второго, условно считают, что это число принадлежит второму интервалу.

Разность между верхней и нижней границами интервала называется шириной этого интервала.

Для изображения интервального закона распределения используют гистограмму. Для построения гистограммы по данным вариационного ряда с равными интервалами, как и для полигона, на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат – значения частот или относительных частот. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов – h, а высотами – отрезки, пропорциональные частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

В результате получают ступенчатую фигуру в виде сдвинутых друг к другу прямоугольников, площади которых пропорциональные частотам (или относительным частотам).

Если интервалы неравные, то на оси ординат следует откладывать в произвольно выбранном масштабе значения плотности распределения (абсолютной или относительной), т.е. высоты прямоугольников должны равняться плотностям соответствующих интервалов. Плотность распределения– это частота, рассчитанная на единицу ширины интервала, т. е. сколько единиц в каждой группе приходится на единицу величины интервала.

Представим вариационный ряд (таблица 7.1) в виде интервального ряда с равными интервалами, длины которых равны 15, в таблице 7.4.

Таблица 7.4

Количество слов/мин	30-45	45-60	60-75	75-100
Частота интервала (рі )
Относительная частота интервала (рі*)	0,12	0,4	0,32	0,16

Построим гистограммы частот (рис. 7.5) и относительных часто (рис. 7.6) для рассматриваемой характеристики – скорости чтения.

Рис. 7.5

Рис.7.6

Накопленные частоты определяются путем последовательного суммирования частот по группам и показывают, сколько единиц совокупности имеют значения признака не больше, чем рассматриваемое значение.

Для графического изображения вариационных рядов может также использоваться кумулятивная кривая – полигон накопленных частот, при помощи которой изображается ряд накопленных частот (кумулятивный вариационный ряд). Для построения кумуляты на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат – накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб для каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты – соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломанная называется кумулятой.

По данным таблицы 7.3 составим кумулятивный вариационный ряд для частот (таблица 7.5) и относительных частот (таблица 7.6).

Таблица 7.5

Кол-во слов/мин

Частота

Накопленная частота

Таблица 7.6

Кол-во слов/мин
Относительная частота	0,04	0,08	0,12	0,04	0,04	0,16	0,04
Накопленная отн. частота	0,04	0,12	0,24	0,28	0,32	0,48	0,52
Кол-во слов/мин
Относительная частота	0,12	0,04	0,16	0,04	0,08	0,04
Накопленная отн. частота	0,64	0,68	0,84	0,88	0,96

По эти данным построим кумуляты для частот (рис. 7.7) и относительных частот (рис. 7.8) скорости чтения учащихся рассматриваемого примера.

Рис. 7.7

Рис. 7.8