Реферат Курсовая Конспект
Средние величины - раздел Математика, Раздел 7. Элементы математической статистики. Статистическое распределение выборки В Результате Исследований, Связанных С Массовыми Явлениями, Получают Много Чи...
|
В результате исследований, связанных с массовыми явлениями, получают много числовых данных. Возникает проблема – найти такие характеристики, которые довольно полно характеризовали бы полученный числовой материал. Характеристики, которые базируются на данных массовых наблюдений, называют обобщающими показателями. Эти показатели характеризуют значения признака, его вариацию. Их вычисляют с помощью вариант и соответствующих частот (относительных частот). Важнейшие среди обобщающих показателей – средние величины, т. е. такие значения признака, вокруг которых группируются отдельные наблюдаемые значения элементов. Отсюда и название – меры центральной тенденции.
Средние величины используются для характеристики эмпирического ряда. Они подразделяют на степенные и структурные. К степенным средним величинам относят: арифметическую, геометрическую, гармоническую, квадратичную средние величины. К структурным – моду и медиану.
Пусть имеется п объектов, для которых измерена некоторая характеристика, и получены значения x1, x2, …, xn.
Средняя степенная отражает величину, варьирующуюся (изменяющуюся) в расчете на единицу всей выборки. Принято различать простые и взвешенные средние величины.
Простая средняя величина применяется в тех случаях, когда каждое значение случайной величины встречается один или одинаковое число раз. Если отдельные значения исследуемой выборки встречаются не один, а много, причем неодинаковое число раз, то рассчитывают среднюю взвешенную величину.
Простая средняя арифметическая – сумма всех значений выборки, деленная на общее количество этих значений:
. (7.6)
Взвешенная средняя арифметическая – средняя из вариант (аi) дискретного вариационного ряда, которые повторяются различное количество раз или имеют разный вес, находится следующим образом:
, (7.7)
где pi – абсолютная частота появления значения аi; m — количество различных значений, которые принимает признак.
Среднее взвешенное можно интерпретировать как среднюю величину для значений а1, а2, …, ат, используемую в ситуациях, когда одни значения более важны по сравнению с другими. Чем больше частота элемента, тем больший вклад вносит этот элемент в значение среднего взвешенного.
Среднее взвешенное можно использовать для оценки неизвестных параметров совокупности, для решения задач, связанных с проверкой гипотез.
Пример 3. Два стрелка сделали по 100 выстрелов. Первый выбил 8 очков 40 раз, 9 очков – 10 раз и 10 очков – 50 раз. Второй выбил 8, 9 и 10 очков соответственно – 10, 60 и 30 раз. Какой из стрелков стреляет лучше?
Решение. Вычислим средние взвешенные арифметические и числа очков, которые выбил при 100 выстрелах каждый из двух стрелков.
; .
Среднее число очков, которое выбивает из 100 выстрелов второй стрелок, несколько выше, чем тот же показатель у первого стрелка. Естественно признать второго стрелка лучшим.
Среднее гармоническое необходимо в том случае, когда наблюдения, для которых мы хотим получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями. В общем случае среднее гармоническое значений x1, x2, …, xn определяется по формулам
или . (7. 8)
Средняя гармоническая взвешенная вычисляется, когда нет информации о частоте варианта выборки, а известно их произведение :
. (7. 9)
Средняя гармоническая простая применяется в тех случаях, когда произведенияодинаковы или равны 1.
Пример 4. Первую половину пути турист двигался со скоростью 4 км/ч, а вторую половину – со скоростью 6 км/ч. Какова средняя скорость движения туриста на протяжении всего пути?
;
При определении коэффициента среднего темпа роста, когда необходимо сохранить неизменным произведение каждой величины признака, применят простую геометрическую и взвешенную геометрическую
Среднее геометрическое значение x1, x2, …, xn определяется по формулам:
и . (7.10)
Среднее геометрическое используют прежде всего тогда, когда среднее значение вычисляют для значений, заданных через некоторые равные промежутки времени (рост или снижение успеваемости, вклада в банке за несколько лет и др.); когда переменная с течением времени изменяется примерно с одинаковым соотношением между измерениями, когда отдельные значения в статистической совокупности удалены от других значений.
Среднее степенное k-го порядка определяется по формулам
или . (7.11)
Среднее степенное второго порядка называют средним квадратичным. Среднее арифметическое является степенным средним порядка 1, среднее гармоническое – порядка (–1).
– простая квадратичная; (7.12)
– взвешенная квадратичная. (7.13)
Средняя квадратичная применяется, когда осреднению подлежат величины, выраженные в виде квадратичных функций.
Между величинами степенных средних, рассчитанных по одной и той же совокупности единиц статистического наблюдения и одному и тому же признаку, существует следующее соотношение: .
Структурные средние величины используются для характеристики центральной тенденции изменяющейся случайной величины, уровень случайной величины.
Медиана (Me) – значение случайной величины в ранжированном вариационном ряду, делящая его на две равные части.
Медиана обладает важными свойствами, которые в некоторых случаях дают ей преимущество перед другими средними величинами. Например, если при упорядоченном размещении некоторого признака «крайние» значения сомнительные и к тому же резко отличаются от основной массы данных, то в качестве меры центральной тенденции целесообразно использовать медиану, так как на ее величину эти «крайние» значения никакого влияния не оказывают, и в то же время они могут существенным образом повлиять на значение среднего арифметического.
При нахождении медианы дискретного вариационного ряда следует различать два случая, когда объем совокупности: 1) нечетный; 2) четный.
Если объем совокупности нечетный и равен 2п + 1, и варианты размещены в порядке возрастания их значений:
,
то Ме = хп + 1 (7.14).
Если же количество элементов четное и равно 2п, то нет варианты, которая бы делила совокупность на две равные по объему части:
.
Поэтому в качестве медианы условно берется полусумма вариант, находящихся в середине вариационного ряда:
. (7. 15)
Мода (Mo) – называют наиболее часто встречающееся значение случайной величины в эмпирическом ряду. Если все значения в вариационном ряде встречаются одинаково часто, то считают, что этот ряд не имеет моды.
Если два соседних значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту и она больше частоты любого другого значения, то считают, что мода равняется среднему арифметическому этих значений.
Если два не соседних значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту и она больше частоты любого другого значения, то считают, что вариационный ряд имеет две моды, а соответствующее распределение называют бимодальным.
Пример 5. Для нахождения медианы необходимо составить ранжированный вариационный ряд:
34, 40, 40, 45,45,45,49,51, 53, 53, 53, 53, 58, 64, 64, 64 70, 72,72,72,72, 81, 85, 85, 90.
Общее количество элементов – 25, число нечетное, поэтому медиана равна числу 58 , которое стоит посередине (на 13-м месте).
Для нахождения моды удобно использовать представление выборки в виде дискретного вариационного ряда (Таблица 7.3). Из таблицы видно, что два не соседних значения вариационного ряда (72 и 53) имеют одинаковую наибольшую частоту 4, значит рассматриваемый ряд – бимодальный.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Вопросы для обсуждения... Случайная величина значение случайной величины вариационный ряд... Первичная обработка опытных данных при изучении случайной величины...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Средние величины
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов