АЛГЕБРА

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшнго профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

 

 

Д. И. Иванов

 

АЛГЕБРА

(ЧАСТЬ I)

 

 

Учебно-методическое пособие

по дисциплине "Алгебра"

для студентов специальности

"Компьютерная безопасность"

 

 

Тюмень

УДК 512.8

ББК

 

Д. И. Иванов. Алгебра (часть I): Учебно-методическое пособие по дисциплине "Алгебра" для студентов специальности "Компьютерная безопасность". Тюмень, 2008, 102 стр.

Данное пособие разработано в соответствии с государственным образовательным стандартом и учебным планом специальности "Компьютерная безопасность" (I семестр), содержит теоретическую часть и комплекс практических заданий.

Рекомендовано к печати Учебно-методической комиссией института математики и компьютерных наук. Одобрено Учебно-методической секцией Учёного совета Тюменского государственного университета.

 

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: А. Н. Дёгтев,д. ф.-м. н., профессор кафедры алгебры и математической логики Тюменского государственного университета.

С. Д. Захаров, к. ф.-м. н., зав. каф. математики информатики и естественных наук Тюменского государственного института мировой экономики управления и права.

 

 

© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет

© Д. И. Иванов, 2008

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ.

объединение и ; пересечение и ; разность и .

ГЛАВА I.

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Матрицы и операции над ними.

Прямоугольная таблица элементов некоторого множества , состоящая из строк и столбцов, называется матрицей порядка на (). Матрицы будем обозначать буквами а их элементы, находящиеся на пересечении строки и столбца через и т.д. Если , то матрица называется квадратной порядка . В общем виде матрица записывается следующим образом:

Коротко матрицу обозначают так:

Две матрицы и считают равными, если равны элементы, стоящие на одинаковых местах, т. е. если при всех и (при этом число строк (столбцов) матриц и должно быть одинаковым).

Матрицы можно складывать, умножать на число и друг на друга. Рассмотрим эти операции.

. Суммой двух матриц и одного и того же порядка называется матрица порядка , где

Пример 1.

. Произведением матрицы на число называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы на число :

Пример 2.

 

. Произведением матрицы , имеющей строк и столбцов, на матрицу , имеющую строк и столбцов, называется матрица
, имеющая m строк и n столбцов, у которой элемент равен сумме произведений элементов строки матрицы и столбца матрицы , т. е.

При этом число столбцов матрицы должно быть равно числу строк матрицы . В противном случае произведение не определено.

Пример 3.

.

Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости следующих свойств операций над матрицами:

1. - нулевая матрица (все элементы равны ).

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Свойства 4 и 5 называются соответственно ассоциативностью и коммутативностью сложения матриц.

8.

9. .

10.

11.

Свойство 9 носит название ассоциативности умножения, а свойства 10 и 11–дистрибутивности умножения относительно сложения матриц. Эти свойства можно доказать, рассмотрев общий элемент матриц в левой и правой части этого равенства.

12.

Т. е. умножение матриц некоммутативно, например,

Совокупность элементов квадратной матрицы называется главной диагональю. Матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные равны нулю, называется единичной матрицей и обозначается .

.

13. , для любой квадратной матрицы .

Если матрица порядка , а матрица порядка , причём , то называют транспонированной матрицей по отношению к и обозначают через

14.

15.

Доказательство свойств 14 и 15 заключается в рассмотрении элемента в правой и левой частях этих равенств. □

Пусть квадратная матрица порядка . Она называется

- симметрической, если

- кососимметрической, если

 

 

Определители. Теорема Лапласа.

. (1) Говорят, что в перестановке (1) числа и образуют инверсию, если но… Если в перестановке поменять местами два элемента, то говорят, что в ней совершена транспозиция.

Пример 5.

Для вычисления определителей более высоких порядков пользуются следующим алгоритмом: с помощью свойства 9 определителей добиваются того, чтобы в одной строке (или в одном столбце) все элементы за исключением одного равнялись нулю, затем по следствию 1 из теоремы Лапласа расписывают определитель по этой строке (столбцу). Тем самым вычисление определителя сводят к вычислению определителя порядка. При необходимости процедуру повторяют.

Пример 6.Вычислить определитель

.

Решение. Домножив первую строку на (-2), (-1), (-2) и добавляя её соответственно ко второй, третьей и четвёртой строке, получим

Распишем определитель по первому столбцу:

.

Расписывая полученный определитель третьего порядка по второй строке, получим

 

Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило Крамера.

ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух квадратных матриц и одного и того же порядка равен произведению их… ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим вспомогательный определитель порядка

Пример 7.

Дана матрица . Её определитель , поэтому обратная матрица существует. Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы :

;

;

;

;

.

Тогда

 

Линейным уравнением от неизвестных называется уравнением вида

.

Поэтому системой линейных уравнений (СЛУ) называется система вида

(5)

Эта СЛУ состоит из уравнений от неизвестных. Матрица , составленная из коэффициентов при неизвестных, называется основной, а если к ней приписать столбец из - свободных членов СЛУ (5), то полученную матрицу называют расширенной. СЛУ (5) можно записать и в матричном виде

(6)

СЛУ (5) называется крамеровской, если число уравнений в ней равно числу неизвестных и основная матрица ее невырожденная.

ПРАВИЛО КРАМЕРА. Крамеровская СЛУ имеет единственное решение , которое находится по формулам

,

где определитель основной матрицы СЛУ, а получается из в результате замены в столбца на столбец из свободных членов.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как , то существует обратная матрица . Домножая обе части равенства (6) слева на , получим

(7)

Вспоминая, чему равна матрица и находя произведение в правой части (7) получаем

(8)

Но по следствию 1 из теоремы Лапласа числитель (7) есть , если вычислить , разлагая по столбцу. □

Пример 8.Решить систему уравнений

Решение.

т. о.

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.

1. 2. 3.

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Арифметическое линейное пространство .

Ниже будем называть векторами, и обозначать латинскими буквами возможно с… Множество , вместе со сложением векторов и умножение числа на вектор образуют арифметическое линейное пространство или…

Ранг матриц.

Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом матрицы. Будем смотреть на столбцы, впрочем, как и на строки, матрицы как на векторы… (а);

Системы линейных уравнений.

(*) Набор чисел такой, который при подстановке вместо , каждое из уравнений… Классической является следующая

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II.

Найти ранг следующих матриц методом окаймления миноров: 78. 79.

ГЛАВА 3.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.

Матрицы линейных операторов.

 

Пусть дано множество ; его элементы будут обозначаться малыми латинскими буквами: Пусть, далее, в множестве определены операция сложения, ставящая в соответствие всякой паре элементов из однозначно определенный элемент из , называемый их суммой, и операция умножения на действительное число, причем произведение элемента на число , однозначно определено и принадлежит к .

Элементы множества будут называться векторами, а само действительнымлинейным (или векторным, или аффинным) пространством, если указанные операции обладают свойствами из §2.1. Так, арифметическое мерное векторное пространство является примером линейного пространства.

Два линейных пространства и называются изоморфными, если существует биективное отображение , ставящее в соответствие каждому вектору пространства вектор пространства , такое что:

Пусть базис и . Так как система порождающих, то найдутся числа такие, что . Если также , то имеем . Но линейно независимая система, откуда . Значит . Итак, представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов возможно и единственно. Набор () называется координатами вектора х в базисе .

Отображение называется линейным оператором, если выполнены условия: для всех и числа :

(а)

(б) ,

которые можно заменить одним: для всех и чисел верно . Отсюда следует равенство

,

широко используемое в дальнейшем.

Справедлива следующая

ТЕОРЕМА (о существовании и единственности ). Пустьбазис и произвольные векторы из . Тогда существует единственный линейный оператор такой, что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если , то зададим так: . Проверим, что линейный оператор. Если и произвольные числа, то

Предположим, что также линейный оператор , причем .

Имеем . Итак для любого . Значит . □

Доказанная теорема показывает, что линейный оператор однозначно определяется в данном базисе своими значениями . Приходим к определению: матрицей линейного оператора в базисе называется такая матрица , у которой столбец есть координаты вектора в базисе . Т. е.,

.

Обозначим через столбец из координат вектора в базисе , т.е. . В частности, столбец из координат векторав этом же базисе.

Имеет место следующее равенство

(1)

Действительно,

Но в последней сумме коэффициенты при как раз есть координаты вектора в базисе . Из правила умножения матрицы на столбец получаем искомое равенство (1). □

Пусть другой базис L. Матрицей перехода от одного базиса к другому называется такая матрица , у которой i-ый столбец есть координаты вектора в базисе , т. е.

Фактически матрица есть матрица линейного оператора, переводящего векторы в .

Пусть столбец из координат вектора х в базисе Тогда имеет место следующее равенство

(2)

Действительно, имеем

Но откуда

Но в последней сумме коэффициенты при как раз и есть координаты вектора х в базисе . Из правила умножения матрицы на столбец получаем (2).

По следствию 2 из теоремы о ранге матриц невырожденная матрица, т.к. её столбцы, будучи координатами базисных векторов линейно независимы. Поэтому Т имеет обратную матрицу . Умножая обе части равенства (2) слева на , получаем

Пример 1.

Векторы заданы своими координатами в некотором базисе . Показать, что векторы сами образуют базис, и найти координаты вектора x в этом базисе.

Решение. Составим матрицу перехода от базиса к системе векторов :

,

она невырожденная, значит векторы линейно независимы и могут образовывать базис трёхмерного пространства. Тогда

Найдём координаты вектора в базисе

 

Следующая теорема устанавливает связь между матрицами одного и того же линейного оператора, заданными в разных базисах.

ТЕОРЕМА (о связи матриц линейного оператора). Пусть и – матрицы линейного оператора в базисах и соответственно и матрица перехода о первого базиса ко второму. Тогда (матрицы и называются подобными).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если , то обозначим через и столбцы из координат вектора в первом и во втором базисах, а через и координаты образа этого вектора в первом и во втором базисах.. Из равенства (2) имеем

Из равенства (1) получаем

и .

Из этих трех равенств заключаем, что

.

Но откуда

.

Домножая обе части этого равенства на слева, получаем равенство

Которое имеет место при любом векторе . Это означает равенство матриц и . □

В доказательстве теоремы молчаливо использовался тот факт, что если для любого вектора х выполнено , то . Предлагается его доказать читателю.

Пример 2.Линейный оператор в базисе имеет матрицу . Найти его матрицу в базисе

Решение. Составим матрицу перехода от базиса к базису :

Найдём обратную матрицу для :

.

Тогда

 

 

Ранг и дефект линейного оператора.

 

Для доказательства основной теоремы этого параграфа потребуется понятие прямой суммы подпространств.

Пусть и – два подпространства линейного пространства . Их суммой называется множество всех векторов , где и , т.е.

Легко проверить, что также будет подпространством L.

Сумма называется прямой, если из того, что , где и следует, что и .

Определим также и пересечение двух подпространств которое также будет подпространством . Именно

и

ТЕОРЕМА (о прямых суммах подпространств). Сумма подпространств и будет прямой тогда и только тогда, когда .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть – прямая сумма подпространств и , но есть вектор такой, чтоТогда, так как также является подпространством, то , и получается, что нулевой вектор можно представить двумя различными способами . Таким образом, приходим к противоречию определения прямой суммы.

Обратно, пусть , но сумма не прямая. Значит найдется и такие, что , но Так как и , то содержит ненулевой вектор Опять приходим к противоречию. □

ТЕОРЕМА (о размерности суммы двух подпространств). Размерность суммы двух подпространств пространства равна сумме их размерностей минус размерность их пересечения.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и – подпространства, и их размерности, а размерность их пересечения. Рассмотрим некоторый базис , скажем, и дополним его до базисов и пространств и .

Докажем, что система

, (3)

состоящая из векторов является базисом подпространства , тем самым будет доказана и теорема.

Ясно, что любой вектор и , а значит и вектор линейно выражается через векторы системы (3), т.к. содержит базисы и . Осталось проверить, что система (3) линейно независима. Предположим, что

(4)

Пусть Понятно, что . Но

. (5)

Правая часть этого равенства есть вектор из , т.е. . Окончательно, . Значит в выражении (5) отсутствуют члены с т.е. . Отсюда и из (4) заключаем, что

.

Так как система является базисом , то она линейно независима и поэтому □

Если сумма прямая, то размерность по теореме о прямых суммах равна 0, и поэтому получаем

СЛЕДСТВИЕ. Размерность прямой суммы двух подпространств равна сумме их размерностей. □

Пусть линейный оператор и

Нетрудно проверить, что и подпространства , называемые областью значений и ядром линейного оператора . Размерность называется рангом, а размерность дефектом .

ТЕОРЕМА (о ранге и дефекте). Сумма ранга и дефекта линейного оператора φ равна размерности пространства .

ДОКАЗАТНЛЬСТВО. Пусть и ранг и дефект . Выберем в базис и обозначим через векторы такие, что

Они линейно независимы, т.к. из равенства следует, что а поскольку линейно независимы, то

Обозначим через подпространство, порожденное векторами Они образуют базис и поэтому размерность подпространства равна . По предыдущему следствию достаточно теперь доказать, что является прямой суммой и . покажем, что Любой вектор имеет вид Если , то , т.е. . Но векторы линейно независимы и поэтому , откуда .

Покажем теперь, что . Возьмем вектор . Но и поэтому Пусть и . Так как , то . Следовательно . Имеем , где и , что и требовалось доказать. □

 

Характеристические корни и собственные значения.

Пусть квадратная матрица порядка с действительными элементами. Пусть, с другой стороны, некоторое неизвестное. Тогда матрица (), где единичная… Определитель матрицы () будет многочленом от , притом степени . В самом деле, произведение элементов, стоящих на…

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III.

110. 111. 112.

ГЛАВА 4.

ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ.

Группы, кольца, поля.

Композиция элементов и обозначается символом : . Для композиции элементов множества используются и другие формы записи. Наиболее употребительными являются аддитивная…

Поле комплексных чисел.

В качестве материала для построения новой системы чисел возьмём точки плоскости , каждая из которых однозначно определяется упорядоченной парой…

Поля вычетов.

ТЕОРЕМА 6. Если составное, то не является полем. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть составное, т. е. , где и . Тогда по модулю получаем , но… Покажем теперь, что в случае простого , является полем. Вначале заметим следующее. Пусть и — два целых числа, -…

Кольца многочленов.

. Если коэффициент отличен от нулевого элемента поля , то его называют старшим… Если все коэффициенты многочлена - комплексные числа, то называют множеством многочленов над полем комплексных чисел.…

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV.

133. 134. 135.

ОТВЕТЫ.

2. 3. 4.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для ВУЗов. - М.: Физматлит, 2001.

2. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.

3. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1984.

4. Шипачёв В. С. Задачник повысшей математике: Учеб. пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 2002.

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ. 3

ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. 5

§1.1. Матрицы и операции над ними. 5

§1.2. Определители. Теорема Лапласа. 8

§1.3. Теоремы о произведении определителей и обратной

матрице. Правило Крамера. 14

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I. 19

ГЛАВА II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 25

§2.1. Арифметическое линейное пространство . 25

§2.2. Ранг матриц. 30

§2.3. Системы линейных уравнений. 34

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II. 41

ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. 45

§3.1. Матрицы линейных операторов. 45

§3.2. Ранг и дефект линейного оператора. 51

§3.3. Характеристические корни и собственные значения. 54

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III. 60

ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ. 63

§4.1. Группы, кольца, поля. 63

§4.2. Поле комплексных чисел. 67

§4.3. Поля вычетов. 73

§4.4. Кольца многочленов. 75

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV. 89

ОТВЕТЫ. 92

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 100

СОДЕРЖАНИЕ. 101

 

Дмитрий Иванович Иванов

 

 

АЛГЕБРА

(часть I)

 

 

Учебно-методическое пособие

по дисциплине "Алгебра"

для студентов специальности

"Компьютерная безопасность"