рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Поля вычетов.

Поля вычетов. - раздел Математика, АЛГЕБРА Пусть ...

Пусть множество всех остатков от деления целых чисел на натуральное число , т. е. . Суммой (произведением) двух элементов будем считать остаток от деления этой суммы (произведения) на число . Рассмотрим полученную структуру .

ТЕОРЕМА 6. Если составное, то не является полем.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть составное, т. е. , где и . Тогда по модулю получаем , но и . Так как в поле такого быть не может (теорема 5), то при составном остатки с операциями по модулю не образуют поля. □

Покажем теперь, что в случае простого , является полем. Вначале заметим следующее. Пусть и — два целых числа, - остатки от деления их на , т. е. и . Тогда и , откуда получаем, что числа и , а также числа и дают при делении на одинаковые остатки. Другими словами, мы получим одинаковый результат, если сначала возьмем остатки от деления и на и потом сложим (или умножим) их по модулю , или, если мы сначала сложим (или умножим) и , как обычные натуральные числа, а затем возьмем остаток от деления полученного числа на . Таким образом, при вычислении некоторого выражения с операциями по модулю можно не брать остаток от деления на после каждой операции, а произвести вычисления сначала как с обычными натуральными числами и обычными операциями и только в конце взять остаток от деления полученного числа на . Это позволяет утверждать, что операции сложения и умножения ассоциативны и коммутативны, а также справедлива дистрибутивность умножения относительно сложения.

Нейтральным элементом по сложению является , а единичным элементом по умножению - . Остается показать, что при простом у каждого остатка , отличного от , есть обратный, т. е. что найдется остаток такой, что по модулю . Итак, пусть . Рассмотрим числа

(умножение обычное).

Разность любых двух из этих чисел не делится на , так как простое, а и . Таким образом, все эти чисел дают разные и, следовательно, всевозможные остатки при делении на . Значит, одно из этих чисел дает при делении на остаток , т. е. по модулю для некоторого остатка .

Таким образом, при простом все свойства поля выполняются.

 

В качестве примера приведём таблицы сложения и умножения элементов поля вычетов по модулю 5.

 



По этим таблицам также можно получить разность и частное любых двух элементов.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

АЛГЕБРА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Государственное образовательное учреждение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Поля вычетов.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ.
Совокупность некоторых объектов (элементов) называют множеством. Пишут (

Определители. Теорема Лапласа.
Перестановкой из чисел называется всякое расположение чисел от

Теоремы о произведении определителей и обратной матрице. Правило Крамера.
  ТЕОРЕМА (о произведении определителей). Определитель произведения двух квадратных матриц и

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.
Вычислить выражения: 1. 2.

Арифметическое линейное пространство .
Рассмотрим множество всех (строк из

Ранг матриц.
  Наивысший порядок минора матрицы, неравного нулю, называется минорным рангом матрицы. Будем смотреть на столбцы, впрочем, как и на строки, матрицы

Системы линейных уравнений.
Общий вид СЛУ задается системой: (*) Набор чисел

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II.
  Найти ранг следующих матриц методом окаймления миноров: 78. 79.

Характеристические корни и собственные значения.
  Пусть квадратная матрица порядка

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III.
Векторы и заданы своими координатами в б

Группы, кольца, поля.
Будем говорить, что в множестве определён закон композиции, если задано отображение

Поле комплексных чисел.
На протяжении изучения предмета математики неоднократно происходит обогащение понятия числа. На первом этапе школьник, изучающий математику, сталкивается с натуральными числами

Кольца многочленов.
Пусть произвольное поле. Через обозначи

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV.
Вычислить выражения: 133. 134.

ОТВЕТЫ.
1. 2. 3.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги