Системы линейных уравнений.

Общий вид СЛУ задается системой:

(*)

Набор чисел такой, который при подстановке вместо , каждое из уравнений системы обращает в тождество, называется ее частным решением. Найти общее решение СЛУ, значит указать метод, позволяющий получить все частные ее решения. СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно частное решение, и несовместной– иначе.

Классической является следующая

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен рангу расширенной.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть СЛУ (*) имеет частное решение . Видно, что столбец из свободных членов СЛУ является линейной комбинацией столбцов ее основной матрицы. Поэтому ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

Обратно, пусть ранг основной матрицы СЛУ равен рангу расширенной. С точностью до перестановки уравнений и переименования неизвестных можно считать, что минор наивысшего порядка r находится на пересечении первых r строк и столбцов основной матрицы. Следовательно, существуют такие числа , что столбец из свободных членов равен линейной комбинации первых столбцов основной матрицы. Полагая , видно, что () является решением
СЛУ (*). □

Две СЛУ от одного и того же числа неизвестных называются равносильными, если они обе не совместны, либо множества их частных решений равны. Нетрудно показать, что полученная СЛУ равносильна исходной, если

- из СЛУ вычеркнуть уравнение вида ;

- обе части какого-то уравнения СЛУ умножить на число, отличное от нуля;

- прибавить к одному из уравнений другое, умноженное на некоторое число.

Изложим один метод решения СЛУ (*), называемый методом последовательного исключения переменных (или методом Гаусса). Будем считать, что (этого можно всегда добиться с помощью перестановок строк). Попытаемся теперь, умножая первое уравнение на подходящие числа и прибавляя его к последующим, уничтожить в них слагаемые, содержащие . Для этого, умножаем первое уравнение на и прибавляем ко второму, и так далее, пока не умножим первое уравнение на и не прибавим к последнему. Получим равносильную СЛУ вида

Полагаем, что (этого можно добиться, переставляя строки или переименовывая переменные). Затем временно «забываем» про первое уравнение и продолжаем такую процедуру с оставшимися. Если в результате этой процедуры возникнет уравнение вида и , то система несовместна, если же одно из уравнений окажется вида , то это уравнение можно опустить. В результата придем к ступенчатой СЛУ, которая имеет вид

Эта часть метода Гаусса часто носит название «прямого хода». Заметим, что число является рангом основной матрицы СЛУ и он равен рангу расширенной. Теперь для нахождения общего решения СЛУ (*) воспользуемся «обратным ходом». Для этого из последнего уравнения системы выразим через . Зная это выражение из предпоследнего уравнения можно выразить также через , и так далее. Наконец получим систему

Она равносильна исходной и называется общим решением СЛУ (*). Теперь подставляя вместо неизвестных произвольные значения и вычисляя можно получить все частные решения ( ) СЛУ (*).

 

Пример 3.Решить систему уравнений

Решение. Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы:

Ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Приходим, следовательно, к системе уравнений, равносильной исходной

,

в которой одна переменная является независимой. В качестве независимой переменной возьмём , и выразим через неё остальные, получим:

.

Полагая, например, , получим одно из частных решений системы:

 

Если все свободные члены СЛУ равны , то СЛУ называется системой линейных однородных уравнений (СЛОУ). СЛОУ всегда имеет тривиальное (нулевое) решение . Несложно проверить истинность следующих утверждений:

- сумма двух частных решений СЛОУ также является ее частным решением;

- если число умножить на частное решение СЛОУ, то получится также ее частное решение.

В частности, если СЛОУ зависит от n неизвестных, то множество всех частных решений ее образует подпространство в пространстве . Базис этого подпространства называется фундаментальной системой решений СЛОУ.

ТЕОРЕМА(о СЛОУ).Фундаментальная система решений СЛОУ состоит из некоторых ее частных решений, где число неизвестных СЛОУ, а ранг ее основной матрицы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Рассмотрим СЛОУ (*), считая, что . Найдем ее общее решение, которое будет иметь вид

Далее свободным неизвестным будем приписывать последовательно , а всем остальным . Получим частных решений, которые сведем в следующую таблицу

 

 

Покажем, что векторы

образуют фундаментальную систему СЛОУ (*).

Минор, стоящий на пересечении всех ее решений и последних их столбцов не равен . Значит, решения линейно независимы. Пусть теперь какое-то ее частное решение. Докажем, что вектор линейно выражается через векторы . Рассмотрим линейную комбинацию , вектор тоже является решением СЛОУ. Имеем, . Но и однозначно определяются в общем решении через значения , придаваемых свободным неизвестным. Поэтому . Таким образом, векторы являются и системой порождающих подпространства решений СЛОУ, т.е. ее базисом. □

СЛЕДСТВИЕ. СЛОУ имеет тривиальное решение в том и только в том случае, когда ранг ее основной матрицы равен числу неизвестных. □

Таблица, приведенная выше, позволяет практически находить фундаментальную систему решений СЛОУ, чем должно заканчиваться ее решение.

 

Пример 4.Решить систему

Решение. Это система однородных уравнений, причём число уравнений меньше числа неизвестных; она будет иметь множество решений. Так как все свободные члены равны нулю, то будем подвергать преобразованиям лишь матрицу из коэффициентов системы:

Мы пришли к системе уравнений

В качестве независимых выберем две переменные, например . Выразим остальные переменные через независимые. Получим

Тогда фундаментальная система будет иметь следующий вид:

-8	-5

Любое частное решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации фундаментальных решений, т. е. общее решение системы