МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

Действия с матрицами. Определение и основные свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (колонки). Определитель произведения матриц. Критерий обратимости матрицы. Теорема Крамера.

Понятие матрицы

, то говорят о матрице размера m*n, или, сокращенно, о m*n матрице. Матрица размера n*n называется квадратной матрицей порядка n. Квадратная матрица порядка n называется: верхней треугольной матрицей, если для всех

Определитель квадратной матрицы

, причем сумма должна быть распространена на все подстановки набора чисел 1, 2,… Пусть дана квадратная матрица A порядка n. Минором элемента матрицы A называется определитель матрицы (n-1)-го…

Свойства определителя

Доказательство: обозначим , , где . Тогда по определению: Теперь упорядочим множители по i индексам: . В результате такой перестановки,…  

Линейная зависимость и независимость систем векторов

1. - ассоциативность 2. - коммутативность 3.

Подпространства

1) 2) 3)

Линейная оболочка системы векторов

Теорема: Пусть . Тогда - множество всех возможных линейных комбинаций векторов из A. В частности, A линейно полно в своей линейной оболочке. Доказательство: Покажем, что . В самом деле, для принадлежит каждому… С другой стороны, множество также является подпространством векторного пространства V, содержащим множество , и…

Базис и размерность

Теорема: об очистке линейно полного множества Пусть А – линейно полное и линейно выражается через другие элементы из А.… Базисом пространства называется линейно полное множество линейно независимых векторов в этом пространстве.

Теорема о размерности суммы двух пространств

  Теорема: О размерности суммы подпространств Пусть S,T – конечномерные подпространства пространства V, тогда S+T – конечномерное подпространство и .

Три понятия ранга матрицы

1) Рангом матрицы по строкам называется максимальное число линейно независимых строчек, т.е. , тогда - ранг по строкам. 2) Рангом матрицы по столбцам называется максимальное число линейно… 3) Рангом матрицы называется порядок наибольшего отличного от нуля минора.

Понятие многочлена

Суммой двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого есть сумма соответствующих коэффициентов многочленов. Произведение многочленов сводится к попарному произведению всех слагаемых и…  

НОД двух многочленов

1) d делит f и d делит g 2) если существует многочлен h, который также делит f и g, то h делит d. Свойства НОД: