рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

НОД двух многочленов

НОД двух многочленов - раздел Математика, МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Многочлен D Называется Наибольшим Общим Делителем Многочленов F И G, Если...

Многочлен d называется наибольшим общим делителем многочленов f и g, если

1) d делит f и d делит g

2) если существует многочлен h, который также делит f и g, то h делит d.

Свойства НОД:

1) ЕслиНОД(f , g), то степень d максимальна среди степеней всех общих делителей

2) Для любого h НОД(f , g)=НОД(f -gh, g)

Доказательство:

1) Действительно, произвольный общий делитель многочленов f и g степенью не превосходит НОД(f , g)

2) Пусть НОД(f , g) и НОД(f -gh, g). Тогда:

и и

и и

Тогда и , значит по свойству делимости (5) НОД(f -gh, g), что и требовалось.

Деление многочленов (с остатком). Если P(x) и Q(x) – многочлены по x степеней n и m соответственно, , то всегда существуют однозначно определенные многочлены T(x) степени (n-m) и R(x) степени меньше, чем m, такие что тождественно

Теорема: (Алгоритм Евклида)

Для нахождения НОД (наибольшего общего делителя) двух многочленов a(x) и b(x) выполняется цепочка делений до получения остатка, равного нулю:

Тогда rn – наибольший общий делитель многочленов a и b.

Доказательство: согласно свойству НОД (2) имеем:

НОД(a,b)=НОД(a-bq, b)=НОД(r,b)=…=НОД()=

Многочлен называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение многочленов меньших степеней.

Теорема: Основная теорема арифметики многочленов

Всякий многочлен над полем представим в виде произведения неприводимых многочленов, причем такое произведение единственно: , и - биекция.

Теорема о разложении многочлена на неприводимые множители: Всякий многочлен разлагается на неприводимые множители однозначно с точностью до множителей нулевой степени.

Другая формулировка:

Елси многочлен f(x) из кольца P[x] двумя спсобами разложен в произведение неприводимых множителей:

(1), то s=t и, при соответствующей нумерации, имеют место равенства

(2), i=1,2,...,s, где сi - отличные от нуля элементы из поля P.

Доказательство: эта теорема верна для многочленов первой степени, так как они неприводимы. Мы будем поэтому вести доказательство индукцией по степени многочлена, т.е. будем доказывать теорему для f(x), предполагая, что для многочленов меньшей степени она уже доказана.

Так как q1(x) является делителем для f(x), то q1(x) будет делителем хотя бы одного из многочленов pi(x), например для p1(x). Так как, многочлен р1(ч) неприводим, а степень q1(x) больше нуля, то существует такой элемент с1,что

q1(x)=c1p1(x) (3). Подставляя это выражение q1(x) в (1) и сокращая на р1(х) (что законно, так как в кольце P[x] нет делителей нуля), мы получим равенство

. Так как степень многочлена, равного этим произведениям, меньше степени f(x), то уже доказано, что s-1=t-1, откуда s=t, и что существует такие элементы , что , откуда и , i=3,...,s. Полагая и учитывая (3), мы полностью получим равенства (2).

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Действия с матрицами Определение и основные свойства Теорема о разложении определителя по элементам строки колонки Определитель произведения...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: НОД двух многочленов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Понятие матрицы
Если m*n выражений расставлены в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов: , то говорят о матрице размера m

Определитель квадратной матрицы
Каждой квадратной матрице порядка n с действительными или комплексными элементами можно однозначно поставить в соответств

Свойства определителя
1) Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной Доказательство: обозначим ,

Линейная зависимость и независимость систем векторов
Определение: P – поле, если для выполняются аксиомы: 1.

Подпространства
Непустое подмножество векторного пространства называется подпространством, если оно замкнуто относительно операций сложения и умножения на элемент поля: V – векторное пространство над полем P,

Линейная оболочка системы векторов
Пусть V – векторное пространство над полем P и . Линейной оболочкой

Базис и размерность
Пусть V – векторное пространство над полем P и . А – линейно полное (или система образующих, или система порождающих), ес

Теорема о размерности суммы двух пространств
Суммой двух подпространств L1 и L2 называется линейное подпространство L1+L2 = {x1+x2 | x1∈L1, x2

Три понятия ранга матрицы
Пусть есть матрица A размера . 1) Рангом матрицы по строкам называется максимальное число линейно независимых ст

Понятие многочлена
Многочленом называется с коэффициентами из

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги