рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Математика
- /
- Линейная независимость столбцов строк матрицы. Теорема о ранге матрицы
Реферат Курсовая Конспект
Линейная независимость столбцов строк матрицы. Теорема о ранге матрицы
Линейная независимость столбцов строк матрицы. Теорема о ранге матрицы - раздел Математика, 1.понятие Матрицы. Виды Матриц. Транспонирование Матрицы. Р...
| 1.Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц. .Матрицей размера mxn наз-ся прямоуг.таблица чисел,сост.из n-строк и m-столбцов.Эл-ты м-цы – числа,составл.м-цу. М-цы обознач.прописными(загл.)б-ми лат.алфав.,напр.:А,В,С,..,а для обознач.эл-тов м-цы исп.строч.буквы с двойной индексацией:аij,где i-номер строки, j – номер ст-ца. М-ца наз-ся невырожденной (неособенной, если |A|≠0. При |А|=0 – вырожденная (особенная) м-ца. Виды м-цы: м-ца(вектор)столбец – м-ца,сост.из одного столбца; м-ца(вектор)строка – м-ца,сост.из одной строки; квадр.м-ца n-го порядка – м-ца,ч-ло стр.которой=ч-лу ст-в и =n.; диагонал. – все недиагонал.эл-ты квадр.м-цы равны 0.; единич.(обознач.Е) – все диагонал.эл-ты диагонал.м-цы =1; нулевая – м-ца,любого размера, если все её эл-ты равны 0. Трансп.м-цы – это смена местами строк и ст-в с сох-м порядка следования эл-тов. А – исходная, А’(Ат)-транспонир. Если А м-ца имеет размер mxn, то А’ м-ца – nxm. Равенство м-ц:две м-цы одинак.размера наз.равными,если они равны поэлементно. Сложение м-ц: (одинак.размера)Складываем соотв.эл-ты. Умножение на число: все эл-ты м-цы умнож.на это число. (Общ.множитель всех эл-тов выносится за знак.м-цы). Умножение 2-х м-ц: произведение м-цы Аmxn на м-цу Вnxp наз-ся м-ца Сmxp,каждый эл-т которой равен сумме произведений эл-в i-строки на соотв.эл. j – столбца. Перемножать можно только такие м-цы,когда число столбцов 1-ой м-цы равно числу строк 2-й м-цы. Произведение м-ц не коммуникативно. 2х3 3х7 не = 3х7 2х3,т.к. 7 не = 2. Возвед.квадр.м-цы в степень. (только квадр.) Аm = А* А* ..А. m раз. 5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы. Линейная зависимость и независ.строк м-цы.Расм.прямоуг.м-цы Аmxn l1=(a11,a12,a13,a14,..,a1n) – 1-я строка; l2=(a21,a22,a23,a24,..,a2n) – 2-я строка. lm=(am,am2,am3,am4,..,amn) Линейной комбинацией строк м-цы наз-ся выраж. λ– «лямбда». λ 1 * k1+ λ 2k2+… + λ m-1km -1+ λ mkm , где все λ -это числа. Опред.:строки l1,l2,..,lm – линейно независимые,если их линейная комбинация равна нулевой строке,когда все числа λ =0 (λ 1=0, λ 2=0, λ 3=0,.. λ m=0). Если опред-ль А не=0, то строки линейно независимы. Опр:строки l1,l2,l3,..lm-1,lm – лин.завис.,если их лин.комбинация = нулевой строке только, когда хотя бы одно из чисел λ 1, λ 2, λ m ≠0. ТЕОР.о ранге м-цы. Ранг м-цы равен максимальному числу её лин.независ.строк или ст-в м-цы, через которые линейно выражаются все остальные её строки (ст-цы). Пусть м-ца А размера mxn имеет ранг r(r≤min(m;n)). Это означает,что сущ-ет отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий нулевой минор r-го порядка будет наз-ть базисным минором. Пусть для определённости это минор |a11 a12 ... a1r| |a21 a22 ... a2r| ∆= |... | ≠0. |ar1 ar2 ... arr| Тогда строки м-цы e1,e2,...,er линейно независимы. Предположим противное,т.е.одна из этих строк,напр. еr, явл-ся лин-й комбинацией остальных: er=λ1e1+λ2e2+...+λr-1er-1. Вычтем из эл-тов r-й строки эл-ты 1-й строки,умноженные на λ1, эл-ты 2-й строки, умноженные на λ2, и т.д., наконец,эл-ты (r-1)-й строки,умнож-е на λr-1. При таких преобразованиях м-цы её опред-ль ∆ не изм-ся, но т.к. теперь r-я строка будет состоять из одних нулей, то ∆=0 – противоречие, и наше предполож.неверно. 10. 10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А –1В). Рассм.с-ма лин.ур.,в кот.ч-ло ур-ний = ч-лу неизв-х. Тогда м-ца с-мы (сост.из коэф-в при неизв-х,когда в 1-м ст-це коэф-та Х1, во 2-м коэф-та Х2 и т.д.) квадратная. Если м-ца с-мы невырожденная, то реш.с-мы ст-ц неизв-х Х=А-1В, где В – ст-ц своб.чл-в. Для получ.реш-я с-мы (ф.1) при m=n в общ.виде предположим, что квадр.м-ца с-мы Аnxn невырожд.,т.е. её опред-ль |A|не=0. В этом сл-е сущ-ет обр.м-ца А-1. Умножая слева обе части матричного равенства (ф.5) на м-цу А-1,получим А-1(АХ)= А-1В. Т.к. А-1(АХ)=(А-1А)Х=ЕХ=Х, то реш-м с-мы методом обр.м-цы будет м-ца-столбец Х= А-1В. Аmxn*Хnx1=Вmx1 <=> (ф.1) (a11x1+a12x2+…+ аnxn=b1 (a21x1+a21x2+… +a2nxn=b2 (…. (аmx1+а2mx2+… +аmnхn=bm (а11х1+ а12х2 +…+а1jxj+...+а1nxn=b1; (ф.5) (а21х1+а22х2+…+а2jxj+…+а2nxn=b2; (........... (аi1х1+аi2х2+…+aijxj+…+ainxn=bi; (........... (аm1х1+аm2х2+…+аmjxj +…+аmnxn=bm. | 2. Определители 2, 3 и n-го порядков (определения и их свойства). Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца. Опред.1-го порядка (м-цы 1-го порядка) наз-ся эл-т этой м-цы а11. Е=(1),|E| = detE=1 A=(0),|A|=0. Опред.2пор.наз-ся ч-ло,кот.считается след.образом |A|=a11*a22 – a12*a21. Опред.3пор.наз-ся ч-ло,кот.наход.по ф-ле (когда вычёркивают по пересечению..) Теор.Лапласа(о разлож.опред.) Опред.квадр.м-цы равен сумме произведений эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца на их алгебраич.дополнения. ^3 = a11*A11 + a12*A12 + a13*A13 (^3 = a11 *M11 – a12 *M12 + a13 *M13) Замечание:Для ^-ной м-цы (то есть такой,в кот.под эл-ми гл.диагонали-нули)опред-ль равен произвед.диагонал.эл-тов(эл-тов гл.диаг.) Св-ва опред-й: 1)При трансп.опред-ль м-цы не меняется. 2)Если в м-це есть нулевая строка или нулевой столбец,то опред-ль такой м-цы =0. 3)Если в м-це поменять местами 2 ст-ки или ст-ца с сохр-м порядка след.эл-тов,то опред-ль поменяет знак на противопол. 4)Если в м-це есть 2 одинак.строки или столбца,то опред-ль такой м-цы =0. 5)Общ.множ-ль эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца можно вынести за зн.опред-ля. 6)Если к эл-там какой-либо стр.или ст-ца прибавить эл-т др.ст-ки или ст-ца,умноженные на любое число,то опред-ль не изм. 7. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы. Опр:В-р Х наз-ся собственным в-ром квадр.м-цы А, если он не нулевой и удовлетворяет ур-еАnx1* Хnx1=Y* Xnx1,где Y-собств.зн-е квадр.м-цы А.коллинеарный в-р. Число Y наз-ся собственным зн-ем оператора А~ (м-цы А),соответствующим в-ру Х. Метод вычисления собств.зн-ий и собств.в-ров.Т.к. Хnx1=Еnx1 * Хnx1, то АХ=YEX ~ AX-YEX=0 ~ (A-YE)X=0. Если ^ = |A-YE|=0,то т.к.все ^1=0, сист.ур-ий имеет бескон.много реш.в этом сл-е (0/0). Ур-е |A-YE|=0 – характеристическое ур-е м-цы. Из него находим Y и далее по ур-нию (A-YE)X=0 находим соотв.ненул.в-р Х. Св-ва собств.зн-ний м-цы А: 1)Произвед-е собств-х зн-ний м-цы А равно её определителю |А|=Y1,Y2,...,Yn. 2)Число отличных от нуля собств.зн-ний м-цы А = её рангу. 3)Все собств.зн-я м-цы отличны от 0 тогда и только тогда,когда м-ца А невырожд. 4)Если Yне=0 – собств.зн-е невырожд.м-цы А,то Y-1=1/Y – собств.зн-е обрат.м-цы А-1. 5)Если Y – собств.зн-е м-цы А,то Ym-собств.зн-е м-цы Аm, где m – натур.ч-ло. 9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с п переменными. Понятие о методе Жордана – Гаусса. Метод Гаусса –метод послед-го исключ.переменных. Сначала(на 1-м шаге прямого хода Гаусса) из всех ур-ний,кроме 1-го исключается переменная х1. Потом (на 2 шаге) из всех ур-й,кроме первых 2-х исключается переменная х2 и т.д.,пока последнее ур-е не приобретёт вид:С * Хn=bm,если ч-ло С=0, а bm не=0,то с-ма не совместная,т.е.нет решений. Если С=0 и bm=0,т.е. 0*Хn=0,то с-ма неопределённая,т.е. имеет бескон.мн.реш.,то с-ма совместно-определённая. В этом сл-е Хn=bn/C Полученное зн-е Хn подстав.в предпосл.ур-е,находим Хn-1и тд.,пока не получ.все неизв-е. Обратный ход Гаусса. Из м-цы ступенч.вида записывается ур-е. Далее,начиная с конца находим все переменные. Допустим Х4. Подставляем в верхнее и нах-м Х3 и т.д. Метод Гаусса — Жордана исп-ся для реш.квадр.систем лин.ур-ний, нахождения обрат.м-цы, отыскания ранга м-цы. Метод явл-ся модификацией метода Гаусса. Назван в честь Гаусса и Жордана. Теорема Кронекера-Капелли.Сист.лин.ур-й совмест.тог.и т.тог,ког.ранг м-цы сист.А равен рангу расшир.м-цы (А|B) этой с-мы. r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые; r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые; r(A)не=r(A|B)- с-ма несовм-ная; r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная; r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.); r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.) Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная. Если система лин.ур-й имеет единств.решение Х=(х1,х2,…хn),то такая сист.наз.определённой. Если СЛУ имеет больше, чем одно реш-е,то такая сист.не определённая. | 3. Квадратная матрица и ее определитель. Особенная и неособенная квадратные матрицы. Присоединенная матрица. Матрица, обратная данной, и алгоритм ее вычисления. Определители квадр.м-ц: Опред.1-го порядка (м-цы 1-го порядка) наз-ся эл-т этой м-цы а11. Е=(1),|E| = detE=1 A=(0),|A|=0. Опред.2пор.наз-ся ч-ло,кот.считается след.образом |A|=a11*a22 – a12*a21. Опред.3пор.наз-ся ч-ло,кот.наход.по ф-ле (когда вычёркивают по пересечению..) Св-ва опред-й: 1)При трансп.опред-ль м-цы не меняется. 2)Если в м-це есть нулевая строка или нулевой столбец,то опред-ль такой м-цы =0. 3)Если в м-це поменять местами 2 ст-ки или ст-ца с сохр-м порядка след.эл-тов,то опред-ль поменяет знак на противопол. 4)Если в м-це есть 2 одинак.строки или столбца,то опред-ль такой м-цы =0. 5)Общ.множ-ль эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца можно вынести за зн.опред-ля. 6)Если к эл-там какой-либо стр.или ст-ца прибавить эл-т др.ст-ки или ст-ца,умноженные на любое число,то опред-ль не изм. Опред.квадр.м-цы равен сумме произведений эл-тов какой-либо ст-ки или ст-ца на их алгебраич.дополнения. ^3 = a11*A11 + a12*A12 + a13*A13 (^3 = a11 *M11 – a12 *M12 + a13 *M13) М-ца наз-ся невырожденной (неособенной, если |A|не=0. При |А|=0 – вырожденная (особенная) м-ца. Присоедин.м-ца. А~ присоединённая для м-цы А,если она сост.из алгебраич.дополнений к эл-там транспонир.м-цы. Замеч.:чтобы быстро найти присоедин.м-цу для квадр.м-цы 2-го порядка надо поменять местами эл-ты на гл.диагонали, а перед другими двумя Эл-ми поменять знак на противоп. Обратная м-ца. А-1 наз-ся обратной для м-цы А, если произведение этих м-ц в любом порядке есть Единичное. А*А-1=А-1*А=Е Замечание:если опред-ль м-цы А не равен 0,то такая м-ца наз-ся невырожденной (неособенной). ТЕОР.для того, чтобы квадр.м-ца А имела обратную,необх.и достат., чтобы она была невырожденной. А-1 нах-ся о формуле: А-1=1/|А| * А~ (сначала находим опред-ль (|A|), затем присоед.м-цу (А~), потом по ф-ле находим обр.м-цу А-1) 8. Система п линейных уравнений с п переменными (общий вид). Матричная форма записи такой системы. Решение системы (определение). Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений. 8. Система лин.ур-ний: Аmxn*Хnx1=Вmx1 <=> (ф.1) (a11x1+a12x2+…+ аnxn=b1 (a21x1+a21x2+… +a2nxn=b2 (…. (аmx1+а2mx2+… +аmnхn=bm Вматричной формесистема имеет вид АХ=В, где (а11 a12 ... a1n) A= (a21 a22 ... a2n) ф.2(... ... ... ... ); (am1 am2 .. amn) (x1) X= (x2) ф.3 (....); (xn) (b1) B= (b2) ф.4(....); (bm) называются собственно матрицей системы, матрицами-столбцами переменных и свободных членов. Решение системы:а)методом обр.м-цы. Ур-е в матричной ф-ме имеет вид АХ+В. Найти обр.м-цу. И найдём Х по ф-ле Х=А-1В,(т.е.х1,х2,х3.) б)По ф-ле Крамера. Найти определитель системы ^=|A|. Если он не=0,то сист.имеет единств.реш. Далее вычислить опред-ли м-ц ^1,^2,^3,полученных их м-цы А,заменой соотв-но 1-го,2-го и 3-го ст-цов столбцом своб.членов. Далее по ф-лам Крамера:х1=^1/^,х2=^2/^, х3=^3/^. Расширенной м-цей системы наз.м-ца (А|В),полученная из м-цы сист.А добавлением к ней ст-ца членов этой системы,т.е. (А|В)=(ф.2|ф.4) Теорема Кронекера-Капелли.Сист.лин.ур-й совмест.тог.и т.тог,ког.ранг м-цы сист.А равен рангу расшир.м-цы (А|B) этой с-мы. r<m – ур-я с-мы(строки расш.м-цы)зависимые; r=m –ур-я с-мы (стр.расш.м.)независимые; r(A)не=r(A|B)- с-ма несовм-ная; r(A)=r(A|B)=r – с-ма совм-ная; r<n – с-ма неопред.(бескон.мн.реш.); r=n – с-ма опред-ная (единств.реш.) Если у сист.ур-ния есть реш-е,то такая система совместна,если решения ур-я нет, то не совместная. Если система лин.ур-й имеет единств.решение Х=(х1,х2,…хn),то такая сист.наз.определённой. Если СЛУ имеет больше, чем одно реш-е,то такая сист.не определённая. | 4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Пример. Минором Mij эл-та aij квадр.м-цы A n-ого порядка наз-ся опред-ль квадр.подм-цы n-1-го порядка, полученной из исходной вычёкиванием i-строки и j-ст-ца. Если в м-це А размера mxn выделить какие-либо k ст-к и k ст-в (k ≤ min (m,n)),то опред-ль подм-цы из получаемых на пересечении этих строк и ст-в эл-в наз-ся минором k-го порядка м-цы А. Ранг м-цы - это наивысший порядок минора м-цы отличный от нуля. (Минор м-цы – то опред-ль квадр.подм-цы). r(А) = n Ранг м-цы равен максимал.числу лин.независ.ст-к или ст-в м-цы. Эл.преобраз.:1)отбрас.нулевой строки или ст-ца. 2)Трансп.м-цы, 3)Сложение(или вычит.)эл-тов какой-либо строки или ст-ца с соотв.эл-ми др.стр.(ст.), умноженными на какое-то(любое)число., 4)Смена местами стр-к или ст-в м-цы с сохран.порядка след.эл-тов в них. ТЕОР.Ранг м-цы не меняется при эл.преобраз. Опр:М-ца наз-ся ступенчатой,если под эл-ми гл.диагонали такой м-цы только нул.эл-ты или эл-тов вообще нет. Замечание:Элементарн.преобразованиями любая м-ца приводится к ступенчатой. В такой ступенчатой матрице ранг это число строк в ней. Это число совп.с рангом исх.м-цы,т.к.при элементар.преобр.ранг не меняется. *2 ( 2 -4 1 5 3)< | ( 0 -1 3 0 2) | + (-4 5 7 -10 0) | ~ (-2 1 8 -5 3)</ (2 -4 1 5 3) (2 -4 1 5 3) (0 -1 3 0 2)*3 (0 -1 3 0 2) ~ (0 -3 9 0 6) - ~ (0 0 0 0 0) (0 -3 9 0 6) - (0 0 0 0 0) (2 -4 1 5 3) (0 -1 3 0 2) ~ (0 0 0 0 0) > r(A)=2,т.к. (0 0 0 0 0) 2 строки в ступенч.м-це. 11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода). .Ф-лы Крамера решения с-м из n ур-ний с n неизв. Рассм.сист.из n ур-й с n незв.,которая в матричном виде м.б. записана АnxnХnx1=Вnx1. Обозначим опред-ль м-цы системы |А|=^. Если (опред-ль м-цы) ^не=0,то сист.имеет ед.реш. хi=^i/^, i=1...n, где ^1,^2, ^3,...^n побочные опред-ли. Когда находят ^1,то в м-це системы 1-ый ст-ц заменяет ст-ц своб.чл. Для определению ^2 в м-це сист.2-ой ст.заменяют ст.св.чл-в. Для вычисл.^3 в м-це с-мы 3-й ст.заменяют ст.св.чл-в. Затем находят х1,х2,х3 по ф-ле хi=^i/^. Замечание: (Из метода гаусса 0*Хn=0,то бескон.мн.реш. Формально Хn=0/0 – неопред.) Если ^=0 и все ^i=0 (i=1,...n),то сист.имеет бескон.мн.реш(кот.устан.мет.Гауса). Если ^=0 и хотя бы один из ^i не=0 (5/0-нельзя),то с-ма не совместна,т.е.не имеет реш. ТЕОРЕМА КРАМЕРА. Пусть ^ - опред-ль м-цы с-мы А, а ^j – опред-ль м-цы, получаемый из м-цы А заменой j-го ст-ца ст-цом св.чл-в. Тогда,если ^не=0,то с-ма имеет единств.реш.,определяемое по ф-лам: Хj=^j/^ (j=1,2,...,n). Ф-лы получ.назв.ф-мул Крамера. Обр.м-ца А-1=1/|A| *A~, где А~ - м-ца,присоед.к м-це А.Т.к. эл-ты м-цы А~ есть алгебраич.доп-я эл-в м-цы А’,трансп-й к А, то (х1) (А11 А12 … Аn1) (b1) (х2) (А12 А22 … Аn2) (b2) (…) = 1/|А| (… ) (…) (хn) (А1n А2n …Аnn) (bn) Учитывая, что |А|=^,получим после умнож.м-ц (х1) (b1А11+ b2А12+ … + bnАn1) (х2) (b1А12+ b2А22+ … + bnАn2) (…) = 1/^ (… ) (хn) (b1А1n+ b2А2n+ … + bnАnn) откуда следует, что для любого j(j=1,2,…,n) Хj=1/^ (b1A1j + b2A2j + .. + bnAnj). b1А1j + b2А2j + .. + bnАnj = ^j, где ^j- опред-ль м-цы,получ.из м-цы А заменой j-го ст-ца (j = 1,2,..,n) ст-м св.чл-в. След-но, Хj=^j/^. чтд 21. Производная и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке. Опр:Производной ф-ции у=f(x) наз-ся предел отнош.приращ.ф-ции к приращ.аргумента, при усл-ии, что приращ.арг. мало, а предел сущ-ет и конечен. y’=lim∆x→0∆y/∆x. АВ –секущая гр.ф-ции y=f(x) α=└ВАС. Kсек=tgα=tg└ВАС=ВС/АС=∆у/∆х Если ∆х→0, то т.В→с т.А. Секущая АВ→в своё предельное положение, называемой касательной АВ. Значит Kкас= lim∆x→0∆y/∆x. Т.о. Геом.смысл производнойзаключ.в том, что производная в т.касания равна угл.коэф-ту касательной, т.е. f’(x)=Kкас. Ур-е касат-й: y-y0=f’(x0)(x-x0). y0=f(x0) | |||||
| 6. Векторы. Операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), n-мерный вектор. Понятие о векторном пространстве и его базисе. Геом.вектор. Вектор АВ-> – направленный отрезок прямой (АВ) с нач.в т.А и концом в т.В. При умнож.вектора на число «У» получается коллинеарный в-р. Длина в-ров |АВ|= кв.корень х2+у2 В-ры,лежащие на одной прямой наз-ся коллинеарными. В-ры,лежащие в одной плоскости или ||-ных плоскостях наз-ся компланарными. Если нач.и конец вектора совп.,то в-р наз-ют нулевым. Длина нул.вект.=0. Вектором,противоп-м в-ру а->,наз-ся произвед.в-ра а->на ч-ло (-1),т.е. - а->=(-1)а->. Координатами в-ра а-> наз-ся корд-ты его конечной точки. На плоскости Oxy два ч-ла - (х;у), в пространстве Oxyz три ч-ла - (х;у;z). В-р а-> = (x;y;z) мож.б.записан в виде а-> = хi-> +yj->+zk->. i->,j->,k-> – единичные в-ры(орты),совпадающие с направл.соотв.осей Ох,Оу,Оz. хi->,уj->,zk-> - компоненты в-ра. Операции над в-ми: 1) Суммой двух в-ров а-> и b-> наз-ся в-р с->=а->+ b->,нач.кот.совп-т с нач.в-ра а->, а конец – с концом в-ра b->при усл.,что нач.в-ра b-> совп.с концом в-ра а->. Правило треугольника. Для слож.2-х в-ров а->и b-> по правилу треуг-ка оба эти в-ра переносятся ||-но самим себе так,чтобы нач.одного из них совп.с концом другого. Тогда в-р суммы задаётся 3-ей стороной образовавшегося треуг-ка, причём его нач.совп.с нач.первого в-ра. 2)умнож.в-ра на ч-ло:при умнож.в-ра на ч-ло Y пол-ся коллинеарный в-р. (Произвед.в-ра а-> на ч-ло У наз-ся в-р b->=Уа->,имеющий длину |b->|=|У||а->|,направление кот.совп.с направл.в-ра а->, если У<0.) Если b->= а->Y,то а->|| b->. И наоб.,если а->|| b->( а->не=0),то b->= а->Y. 3) Разностью 2-х в-ров а->и b-> наз-ся сумма в-ра а-> и в-ра -b->,противоположного b->. ||Скалярным произведением 2-х в-ров наз-ся ч-ло,равное произведению длин этих в-ров на косинус угла между ними: а-> * b-> *cosф, где ф-угол между в-рами а-> и b->. В-ры явл-ся ||-ми тогда и только тогда, когда их скал.произвед.=0. ||n-мерным в-ром наз-ся упорядоченная совокуп.n действительных чисел,записываемых в виде х=(х1,х2,..,хn),где числа х1,х2,х3,..хn компоненты в-ра. Равенство в-ров.Векторы х и y равны тогда и только тогда, когда равны их соотв.компоненты,т.е. х=у,если хi=уj, i=1,2,…,n. Суммой 2-х в-ров одинак.размерности n наз-ся в-р z=x+y,компоненты кот.равны сумме соотв.компонент слагаемых в-ров,т.е.zi=xi+yi,i=1,2,...,n. Произв-м в-ра на действит.ч-ло Y наз-ся в-р u=Yx,комп-ты кот.равны произв-ю Y на соотв.комп-ты в-ра х,т.е. ui = Yxi, i=1,2,...,n. Линейные оп-ции над люб.в-рами удовлет.след.св-вам: 1)х+у=у+х – коммутативное, 2)(х+у)+z=х+(у+z) – ассоциативное(сочетательное), 3)альфа(бета*х)=(альфа*бета)х, 4)альфа(х+у)=альфа*х+альфа*у, 5)(альфа*бета)х=альфа*х+бета*х, 6)сущ-т нул.в-р 0=(0,0,…,0)такой,что х+0=х для люб.в-ра х., 7)для люб.в-ра сущ-т противоп.в-р (-х) такой,что х+(-х)=0., 8)1*х=х для люб.в-ра х. Опр.:ВЕКТОРНОЕ ПР-ВО:множество в-ров с действит.компонентами,в котором определены операции сложения в-ров и умнож.в-ра на ч-ло,удовлетворяющее приведённым выше 8-ми св-вам. n-векторное пространство – это множество всех n-мерных векторов. Вектор аm наз-ся линейной комб-ей в-ров а1,а2,..,аm в-рного простр-ва R,если он равен сумме произв-ний этих в-ров на произвол.действит.ч-ла: am= Y1a1+ Y2a2+ ...+Ym-1am-1, где Y1,Y2,...,Ym-1 – какие угодно действит.ч-ла. Опр.:В-ры а1,а2,…,аm в-рного простр-ва R наз-ся лин.завис.,если сущ-ют такие ч-ла Y1,Y2,...,Ym,не равные одновременно нулю, что Y1a1+Y2a2+...+ Ymam=0. В противном случае в-ры наз-ют лин.независ. Лин.простр-во наз.n-мерным,если в нём сущ-ет n линейно независ.в-ров,а любые из (n+1) в-ров уже явл-ся завис. Размерность пр-ва – это максимально ч-ло содержащихся в нём линейно независ.в-ров. Ч-ло n наз-ся размерностью пр-ва R. Совокупность n линейно независ.в-ров n-мерного пр-ва таких,что любой в-р прост-ва может быть единственным образом представлен в виде их лин.комбинации наз-ся БАЗИСОМ. Если е1,е2,…,еn – система лин.независ.в-ров пр-ва R и любой в-р а лин.выражается через е1,е2,…,еn, то пр-во R явл-ся n-мерным,а в-ры е1,е2,…,еn – его базисом. | 16.Предел последовательности при n-→∞ и предел функции при x→∞. Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции)
Если каждому натуральному числу nЄN поставлено в соответствии вполне определенное число an , то говорят, что на множестве натуральных чисел задана числовая посл-ть { an }.
Числ. посл-ть - это функция натурального аргумента
Пример
an= 2n+1/ 3n+2
a1 = 2*1+1/3*1+2=3/5
Качественное опр-е: Предел числ посл-ти – это число к которому стремится общий член посл-ти (n-→∞)
| an -A|→0
Количественное опр-е:Aназывается пределом числ. посл-тиan , если для любого даже сколь угодно мало положительного числа эпсилон, найдется такой номер N, зависящиеся от E, что для всех n будет выполняться нер-во
 {A= lim an } <=> {  E>0 N=N/E:n>N→| an -A|<E}
Геометрический смысл предела числ. посл-ти
Нер-во | an -A|<E<=> -E<an -A <E <=> A-E< an<An +E
Границы (A-E; A +E) означают, что практически большинство членов посл-ти находящихся в E – окрестности в т.А, а вне этой окр-ти находится ограниченное число членов посл-ти, находится вне этой окр-ти
1;1/2;1/3; ….1/10……1/11;1/12
вне Е окр-ти принадлежат Е-окр.
Предел функции в бесконечности
A= lim f(x)
Число А называется пределом функции при x→∞ .,если для любого даже сколь угодно малого полож числа E>0 , найдется такое полож число S>0 (зависящее от Е, S=S (E)), что для всех х таких что |х|>S
верно нер-во |х|>S
|f(x)-A|<E
Признаки существования предела
Теорема1.Если числовая последовательность{ an } монотонна и ограниченна, то она имеет предел.
Теорема2.Если в некоторой окрестности точки х0 функция заключена между двумя функциями φ(х) и ψ(х), имеющими одинаковый предел А при x→х0 (x→∞.),то функция имеет тот же предел А.
Пусть приx→х0 lim φ(х)=А, lim ψ (х)=А
Это означает, что для любого Е>0 найдется такое число σ>0, что для всех х≠х0 и удовлетворяющих условию |х- х0|< σ
Будут верны одновременно нер-ва
|φ(х)-А|<Е, | ψ (х)-А|<Е
если А-Е< φ(х) <А+Е, А-Е< ψ (х) <А+Е
Т.к. по условию функция заключена между 2-мя функциями, т.е. φ(х) <f(x) < ψ (х)
То из нер-в следует, что А-Е< f(x) <А+Е, т.е. |f(x)-A|<E
А это и означает, что lim f(x)=А
22. Дифференцируемость функций одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции (доказать теорему).
Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции.
Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция дифференцируемая во всех точках промежутка х, называется дифференцируемой на этом промежутке.
Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.
Если функция y=f(x) дифференцируема в т.х0 , то она непрерывна в этой точке.
Док-во. Согласно определению производной
y’= lim ∆y/∆x
∆x→0
согласно теореме о связи предела с БМ величинами
y’= ∆y/∆x + α׀ *∆x
∆xy’=∆y+∆x+α(∆x)
если ∆x→0. то и∆y→0.т.е.непрерывна
Непрерывна в т. х0 функция y’=f(x) не обязательно дифференцируема в этой точке
| 12. . Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры. Постоянной величиной наз-ся вел-на,сохраняющая одно и то же зн-е (число «пи»). Если вел-на сохр.пост-е зн-е лишь в усл-ях данного процесса,то в этом сл-е она наз-ся параметром. Переменной наз-ся вел-на,кот.может принимать различные числ.зн-я. Понятие функции. Опр: Если каждому эл-ту Х множества Х(х принадл. Х) ставится в соотв-е вполне опред-ный эл-т у множества Y (y принадл. Y),то говорят, что на мн-ве Х задана функция y=f(x). При этом х наз-ся независимой пер-й (аргументом),y-зависимой пер-й, а буква f обозн-т закон соответствия. Мн-во Х наз-ся областью определения ф-ции, а мн-во Y – обл.зн-й ф-ции. Под обл-ю опред-я ф-ции подразумевается обл.допустимых зн-й независ.переменной х, т.е. мн-во таких зн-й х,при кот.ф-ция y=f(x) вообще имеет смысл. Способы здания фун-й. а)аналитический с.- если ф-ция задана ф-лой вида y=f(x). Одна ф-ция может иметь (допустим)2 аналитических выражения. б)Табличный – состоит в том,что ф-ция задаётся таблицей, содержащей зн-я аргумента х и соотв.зн-я ф-ции f(x). в)Графический – состоит в изображении графика ф-ции – мн-ва точек (х;у) плоскости, абциссы которых есть зн-я аргумента х, а ординаты – соотв-е им зн-я ф-ции y=f(x). г)Словесный – если ф-ция описывается правилом её составления,напр.ф-ция Дирифле:f(x)=1, если х-рационально; f(x)=0, если х – иррационально. Чётность и нечётность. f(-x)=f(x) – чётная, график симметричен относит. Оу. (х2) f(-x)=-f(x) – нечётная, гр.симметричен относит. Начала координат. (х3) В противном сл-е ф-ция y=f(x) наз-ся ф-цией общего вида. Монотонность. Ф-ция y=f(x) возрастает на промеж.Х, если большему зн-ю аргумента соотв. большее зн-е ф-ции. Ф-ция y=f(x) убывает на промеж.Х, если большему зн-ю аргумента соотв. меньшее зн-е ф-ции. Ф-ции возрастающие или убыв-е наз-ся монотонными ф-циями. Ограниченность. Ф-ция f(x) – ограниченная на промеж.Х, если сущ-ет такое полож.ч-ло M>0, что |f(x)|<и равно М для любого х принадлежащего промежутку Х. Например, ф-ция y=sinx ограничена на всей числ-й оси,т.к. |sinx|<и равно1 для любого х, принадл-го R. Периодичность. Ф-ция периодическая с периодом T не=0, если для любых из обл.опред-я ф-ции f(x+T)=f(x). Напр., ф-ция у=sinx имеет период T=2«пи»,т.к. для любых х sin(x+2«пи»)=sinх. | 13. Понятие элементарной функции. Основные элементарные функции и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая). Элементарная ф-ция. Опр:Эл.ф-ция – составленная из основных элементарных (константа,степенная,логарифм. и т..д.) при помощи алгебраических действий или при помощи конечного числа операций образования сложной ф-ции. Алгебраической наз-ся ф-ция, в кот. над аргументом производится конеч.ч-ло алгебраич.действий. К ч-лу алг.ф.относят:1)целая рациональная ф-ция: у=а0хn + а1хn-1 + … + аn-1х + аn; 2)дробно-рациональная ф-ция – отношение 2-х многочленов; 3)иррациональная ф-ция – если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня. Преобр-е графиков. 1.Гр.ф-ции у=f(х+а)есть гр. у=f(х), сдвинутый (при а>0 влево, при а<0 вправо) на |а| ед-ц парал-но оси Ох. 2.Гр.ф-ции у=f(х)+bесть гр. у=f(х), сдвинутый (при b>0 вверх, при b<0 вниз) на |b| ед-ц параллельно оси Оу. 3.Гр.ф-ции у=mf(х)(m не=0) есть гр. у=f(х), растянутый (при m>1) в m раз или сжатый (при 0<m<1) вдоль оси Оу. При –беск.<m<0 гр.ф-ции у=mf(х) есть зеркальное отображение гр. у=-mf(х) от оси Ох. 4.Гр.ф-ции у=f(kх) (k не=0) есть гр. у=f(х), сжатый (при k>1) в k раз или растянутый (при 0<k<1) вдоль оси Ох. При –беск.<k<0 гр.ф-ции у=f(kх) есть зеркальное отобр-е гр-ка у=-f(kх) от оси Оу. Осн.эл.ф.:(только непериодические ф-ци!)1)Степеннаяф: а) y=xn (n принадл.N) Обл.опр.: (-б,+б); Обл.зн.:(-б,+б),если n-неч.,[0;б), если n-неч.; Чет/нечет: Неч,если n-неч; чет-если n – чёт.; График: Возрастает на (-б;+б), если n- неч; убывает на (-б;0], возр.на (0;б), если n – чёт. б) у= x-n (n принад. N). Обл.опр.: (-б;0) U (0,б); Обл.зн.: (-б,0) U (0,б), если n – неч., [0,б), если n – чёт. Чет/нечет: Неч.,если n –неч., Чёт,если n-чёт.; График: Убыв.на (-б,0) и на (0,б),если n-неч.; возр.на (-б,0) и убыв. на (0,б),если n-чёт. в) у =nкв.к.х (n принад. N, n>1). Обл.опр.: (-б,б), если n-неч., [0,б), если n-чёт. Обл.зн.: (-б,б),если n-неч., [0,б), если n-чёт. Чёт/нечёт: Неч., если n-неч, общ. в., если n-чёт. График: Возр. на (-б,б), если n-неч, возр. На [0,б), если n-чёт. 2)Показательная ф.: у=аx(а>0, а не=1) Обл.опр.: (-б,б); Обл.зн.: (0,б); Чёт/нечёт: общ.в; График: Возр. на (-б,б), если а>1, убыв. на (-б,б), если (-б,б), если 0<а<1. 3)Логарифмическая ф.: у=logax(a>0, a не=0) Обл.опр.: (0,б); Обл.зн.: (-б,б); Чёт/Нечёт: общ.в; График: Возр. на (0,б), если а>1, убыв. на (0,б), если 0<а<1. 24.Формулы производных основных элементарных функций (одну из формул вывести). Производная сложной функций. Формулы производных основных элементарных функции. 1.С’ = 0 2.x’=1 3.(u+v)’=u’+v’ 4.(uv)’=u’v+uv’ 5.(cu)’= cu’ 6.(u/v)’= u’v-uv’/v2 7.(un)’= nun-1*u’ 8ю(√г)э=(1.2√г)*гэ 9ю(1.г) =-1.г2*гэ 10ю(уг)э= уг*гэ 11.(au)’= au lna*u’ 12.(lnu)’=1/u*u’ 13.(logau)’ = (1/ulna)*u’ Выводим формулу y=lnx 1.Дадим аргументу х приращение∆x≠0и найдем наращенное значение функции y+∆y=f(x+∆x) x. ∆x≠0 y+∆y=ln(x+∆x) 2.Находим приращение функции∆y=f(x+∆x)-f(x) ∆y=ln(x+∆x)-lnx=ln(x+∆x/x)= ln (1+∆x/x) 3.Cоставляем отношение ∆y/∆x ∆y/∆x= 1/∆x*ln (1+∆x/x) 4.Находим предел этого отношения при ∆x→0 т.е. y’=lim∆y/∆x (если этот предел существует). y’= lim∆y/∆x= lim 1/∆xln(1+∆x/x)= (0/0)= lim ln(1+y)/xy=1/xlimln(1+y)1/y= 1/xlimlne=1/x Производная сложной функции Пусть y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, тогда производная сложной функции y=f (φ(x) существует и равна производной данной функции но промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е. y’=f’(u)’*ux’ y’=lim ∆y/∆x= lim ∆y*∆u/∆x*∆u= lim ∆y/∆u*lim∆u/∆x= lim ∆y/∆u= f’(u)*u’ (если∆x→0,то и ∆u→0,т.к.u= φ(x)- непрерывна) | |||||
18.Бесконечно малые величины (определение). Свойства бесконечно малых (одно из них доказать). Бесконечно большие величины, их связь с бесконечно малыми.
Функция y=f(x) называется БМпри определенном стремлении аргумента, если рано или поздно ее значение по модулю будут меньше любого наперед выбранного полож числа Е, т.е. |f(x)|<E, то
lim f(x)=0
Св-ва БМ величин
1.алгебраическая сумма конечного числа БМ величин есть величина БМ
2.произведение БМ величины на ограниченную функцию есть величина БМ
3.частное от деления БМ величины на функцию, предел который отличен от нуля, есть величины БМ.
Доказательство 1 св-ва.
Дано α(х,), β(х) – БМ
Д-ть: (α(х,)+ β(х)) – БМ при x→х0
Док-во по усл. α(х,) есть БМ при x→х0
Е>0
Е’= Е/2>0,  σ1>0, х≠х0
|х- х0|< σ1 (1)
| α(х,) |<Е/2 (2)
По усл β(х) – БМ при x→х0
Е’= Е/2>0, σ2>0, х≠х0
|х- х0|< σ2 (3)
| β (х,) |<Е/2 (4)
σ= min (σ1 ;σ2)
|х- х0|< σ (5)
Тогда значения х удовл (5) будут верны оба нер-ва
(2) и (4) складываем их и получаем
| α(х,)+ | β (х,) <Е/2+Е/2
|x+y|<|x|+|y|
По свойству модулей получим |α(х,)+ β(х) |<Е (6)
Итак, для любого Е>0 существует такое число σ>0, что для всех х≠х0 удовл. усл.(5) будет верно нер-во (6)
Функция y=f(x) называется ББпри определенном стремлении аргумента, если рано или поздно ее значение по модулю будут больше любого наперед выбранного полож числа | f(x) |>M. M>0
lim f(x)=∞
Теорема о связи между БМ и ББ величинами
1.Если функция имеет при x→х0 (x→∞.),предел, равный числу А, то эту функцию можно представить в виде суммы, этого числа А и БМ α(х,) приx→х0 (x→∞.),
f(x) = A+ α(х,)
2.Если функцию можно представить как сумму числа А и БМ α(х,) при x→х0 (x→∞.),то число А – есть предел этой функции. lim f(x)=A
29. Понятие асимптоты графика функции. Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимтоты. Примеры.
Опр. Асимптотой гра-ка фун-и y=f(x) наз-ся прямая, обладающая тем свой-вом, что расстояние от точки (x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Теорема 1. Пусть функция y=f(x) определена на некоторой окрестности точки х0 (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из переделов функции при х-> х0 +0 (справа) равен бесконечности, т.е. lim при х стремящимся к х0 –(+) 0 = бесконечность. Тогда прямая х=х0 является вертикальной асимптотой графика функции y=f(x).
Теорема 2.Пусть фун-я y=f(x) определена при достаточно больших х и сущ. конечный предел фун-и lim при х стремящимся к бесконечности f(x) = b. Тогда прямая y=b есть горизонтальная асимптота графика фун-и y=f(x).
Теорема 3. Пусть фун-я y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечные пределы lim при х стремящ-ся к беско-ти f(x)/x = k и lim прия х стремящ-ся к беско-ти [f(x) – kx] = b. Тогда прямая y=kх+b явл-ся наклонной асимптотой графика фун-и y=f(x).
46. Признаки сравнения и Даламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры.
Признак сравнения.
1. Пусть даны 2 полож. ряда: (1) a1+a2+a3+an ; (2) b1+b2+b3+bn
Причем члены (1) ряда не превосходят членов (2) ряда .
Тогда, если рас-ся ряд (1), то и рас-ся ряд (2)
Если сх-я ряд (2) то и ряд (1)– сх-ся
Если an и bn – эквивалентные величины, т.е. k≠0 и k≠∞ то ряд (1) и (2) ведут себя одинаково, т.е. сх-ся или рас-ся одновременно
Признак Даламбера
Рассмотрим полож. ряд (1) a1+a2+a3+an
Пусть существует предел
lim an+1/an = q
n→∞,
Тогда, если q>1 то ряд рас-ся
q<1 то ряд сх-ся
q=1 то установить сх-ть по признаку невозможно
| 19. Второй замечательный предел, число е. Понятие о натуральных логарифмах.
Второй замеч.предел.
Рассматривается числовая послед. {an}
an=(1+1/n)n. Данная послед-ть монотонно возрастает и ограничена. а1=2, а2=2,25, а3≈2,37…, а4≈2,44…, а100≈2,71, а1000≈2,71, а10000≈2,71.
limn→∞(1+1/n)n≈2,71 (Эйлерово число).
Опр:Числом е (2-м замечат.пред-м)наз-ся предел числовой последовательности e=limn→∞(1+1/х)х.
Опред.числа е через предел ф-ции:
(e=limх→∞(1+1/х)х.
(e=limх→0(1+x)1/х.
(e=limх→х0(∞)(1+α)1/α, limх→х0(∞)α=0.
logex=lnx – натуральный логарифм.(логарифм по основанию е) Обознач. ln:logex=lnx.
дт(0+0)=-∞
дт(+∞)=∞
дту=1
 н=дтчб уЮ0
20. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций. Непрерывных на отрезке. Точки разрыва. Примеры.
Функция f(x) называется непрерывной в т.x0 , если она удовлетворяет след 3 условиям:
1. определена в т. x0.
2.имеет конечный предел функции при x→х0
3. этот предел равен значению функции f(x0) в т. x0 т.е. lim f(x)= f(x)
Непрерывность функции на отрезке
Функция y=f(x) непрерывна на [a.b], если непрерывна в каждой точки этого отрезка
Свойства функции y=f(x) непрерывна на [a.b]
1.Если функция y=f(x) непрерывна на [a.b],то она ограниченна на этом отрезке.
2.Если функция y=f(x) непрерывна на [a.b],то она достигает своего max или min значения.
3.Если функция y=f(x) непрерывна на [a.b],и значения ее на концах отрезка f(a)иf(b) имеют противоположные знаки, то существует такая т. С Є[a.b], что функция f(c) = 0
Точка х0 называется точкой разрывафункции y=f(x), если эта функция в данной точке не является непрерывной
Пример. Y=1/x f(0) – не сущ.
30. Общая схема исследования функций и построения их графиков. Пример. Общая схема исследования функций и построение их графиков. Пример. 1. область определения. Точки разрыва. 2. если есть точки разрыва, то находим ВА 3. исследуем поведение функций при x→∞, т.е. находим ГА 4. y’. y’=0, схема знаков производных между критическими точками, устанавливаем точки экстремума 5. точки пересечения гр.функций с осями 0х и 0у 6. исследование на четность/нечетность функции Исследовать и построить график1. d (у)= (-∞ж+∞) 2. е 2х - х2= е-х2 = е-∞=0 d =0- ГА 3. у’= (е 2х - х2)’= е 2х - х2*(2-2х)Суть метода наименьших квадратовФормулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул. 2.Подбираем параметры, выбранной аналитической зависимости, так чтобы сумма… (y1-f(x1))2+(y2-f(x2))2+(yn-f(xn))2→min– Конец работы – Используемые теги: ная, независимость, столбцов, строк, матрицы, Теорема, ранге, матрицы0.107 Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейная независимость столбцов строк матрицы. Теорема о ранге матрицы Что будем делать с полученным материалом:Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право. © copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.177 сек. |
Новости и инфо для студентов