Линейная алгебра

Линейная алгебра

 

13: Алгоритм решения произвольной СЛАУ

 

Точные методы решения СЛАУ

 

Рассмотрим ряд точных методов решения СЛАУ [4,5].

 

Решение систем n-линейных уравнении с n-неизвестными по формулам Крамера.

 

Пусть дана система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных:

 

Предположим, что определитель системы d не равен нулю. Если теперь заменить последовательно в определителе столбцы коэффициентов при неизвестных хj столбцом свободных членов bj, то получатся соответственно n определителей d1,...,dn.

 

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:

 

x1=d1/d; x2=d2/d;....; xn-1=dn-1/d; xn=dn/d;

 

Решение произвольных систем линейных уравнений.

 

Пусть

 

произвольная система линейных уравнений, где число уравнений системы не равно числу n неизвестных. Предположим, что система (3) совместна и r

min{m,n}, тогда в матрицах А и А найдутся r линейно независимых строк, а остальные m-r строк окажутся их линейными комбинациями. Перестановкой уравнений можно добиться того, что эти r линейно независимых строк займут первые r мест.

 

Отсюда следует, что любое из последних m - r уравнений системы (3) можно представить как сумму первых r уравнений (которые называются линейно независимыми или базисными), взятых с некоторыми коэффициентами. Тогда система эквивалентна следующей системе r уравнений с n неизвестными.

 

 

14: Система линейных однородных уравнений ( СЛОУ). Теорема о ненулевом решении СЛОУ.

 

Пусть дана система линейных однородных уравнений

 

 

 

 

Очевидно, что однородная система всегда совместна , она имеет нулевое (тривиальное) решение x1=x2=x3=...=xn=0.

 

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?

 

Теорема 4.4. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше числа n неизвестных, т. е. r<n.

 

Необходимость:

 

Так как ранг не может превосходить размера матрицы, то, очевидно, r<=n. Пусть r=n. Тогда один из минеров размера nхn отличен от нуля. Поэтому соответствующая система линейных уравнений имеет единственное решение:

 

 

Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то r<n.

 

Достаточность:

 

Пусть r<n. Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т. е. имеет и ненулевые решения. Пусть дана однородная системаn линейных уравнений с n неизвестными

 

 

 

 

Теорема 4.5. Для того, чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определительD был равен нулю, т. е. D=0.

 

Если система имеет ненулевые решения, то D=0. Ибо при D¹0 система имеет только единственное, нулевое решение. Если же D=0, то ранг r основной матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r<n. И, значит, система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений.

 

15: Фундаментальная система решений СЛОУ. Её свойства.

 

Фундаментальной системой решений однородного линейного дифференциального уравнения называется упорядоченный набор из n линейно независимых решений уравнения.

 

Иными словами любые n линейно независимых решений y1(x), y2(x),..., yn(x) уравнения y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0 образуют фундаментальную систему решений.

 

Доказано, что у однородного линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами существует фундаментальная система решений.

 

Пусть задана некоторая линейно независимая система n векторов из Rn:

И пусть функции y1(x), y2(x),..., yn(x) — решения линейного однородного уравнения с начальными условиями:

Функции y1(x), y2(x),..., yn(x) образуют фундаментальную систему решений линейного однородного уравнения.

Свойства:

 

Отметим следующие свойства СЛОУ:

 

1. Если = (a1, …, an), =(b1, …, bn) решения СЛОУ(1), то арифметический вектор

 

__= (a1 ± b1, …, an ± bn) – решение СЛОУ.

 

2. Если решения СЛОУ, то для любых арифметический вектор является решением СЛОУ.

 

Если r(A) = n, где А = (аij), то СЛОУ (1) имеет только нулевое решение.

 

Пусть r(A) = r, r < n…….Определение. Система линейно независимых решений СЛОУ(1) называется фундаментальным набором решений, если любое решение СЛОУ(1) можно представить в виде линейной комбинации линейно независимых решений этой системы.