В современной математике большое распространение получил аксиоматический метод. Источником его следует считать открытие Лобачевским неевклидовой геометрии. Сущность аксиоматического метода состоит в своеобразном способе определять математические объекты и отношения между ними. Предположим, что, изучая систему каких-то объектов, мы употребляем определенные термины, выражающие свойства этих объектов и отношения между ними. При этом мы не определяем ни самих объектов, ни этих свойств и отношений, но высказываем ряд определенных утверждений, которые должны для них выполняться. Очевидно, что эти утверждения выделяют из всевозможных систем объектов, их свойств и отношений между ними такие системы, для которых они выполнены.
Таким образом, сделанные утверждения можно рассматривать, как определения системы объектов определенного класса, их свойств и отношений между ними.
Рассмотрим простой пример. Пусть дана система каких-то объектов, которые мы будем обозначать буквами латинского алфавита, и между ними установлено отношение, выражаемое термином "предшествует", мы высказываем для них следующие утверждения.
1. Никакой объект не предшествует сам себе.
2. Если предшествует , а предшествует , то предшествует .
Нетрудно видеть, что существуют такие системы объектов, с такими отношениями между ними, что если под термином " предшествует " понимать данное отношение, то наши утверждения окажутся истинными.
Пусть, например, объектами , , ... являются люди, а отношение между и представляет собой " потомок ". В таком случае, если " предшествует " означает " потомок ", то утверждения 1 и 2 истинны.
Или объектами являются действительные числа, а отношение " предшествует " представляет собой " меньше ". И здесь утверждения 1 и 2, очевидно, выполнены.
Системы объектов с одним отношением, для которых положения 1 и 2 выполнены, образуют определенный класс, а положения 1 и 2 мы можем рассматривать как определение систем этого класса. Утверждения, посредством которых мы таким образом выделяем совокупность объектов, носят названия аксиом. Если для какой-либо совокупности объектов, их свойств и отношений некоторые аксиомы истинны, то говорят, что данная совокупность объектов удовлетворяет системе этих аксиом, или является интерпретацией данной системы аксиом.
Делая логические выводы из аксиом, мы будем получать утверждения, справедливые для любой системы объектов, удовлетворяющей данным аксиомам.
Более значительным примером аксиоматического определения является система аксиом геометрии. Рассматривая систему объектов будем разделять их на "точки", "прямые" и "плоскости" и употреблять для них термины "точка принадлежит прямой", "прямая принадлежит плоскости", "точка лежит между точками и " и другие, выражающие отношения между объектами системы. Вместе с тем, употребляя эти термины, мы не будем вкладывать в них непосредственно смысла пространственных отношений, а вместо этого выскажем для них некоторую систему аксиом. Это можно сделать по-разному, но существует вполне определенная система аксиом, носящая название "системы аксиом геометрии Евклида". Эта система была предложена Гильбертом. Мы не будем приводить здесь этих аксиом, их можно найти в различных книгах по основаниям геометрии. В этих аксиомах высказаны все те предпосылки, которые явным или неявным образом употреблялись при доказательстве теорем геометрии Евклида. Таким образом, выводимые из этих аксиом следствия, выражают адэкватно, свойства евклидова пространства, интуитивное представление о котором было почерпнуто из непосредственного опыта и существует издавна в умах людей.
Ясно, что соответствие между аксиомами и предметами реальности всегда имеет приближенный характер. Если мы, например, поставим вопрос - удовлетворяет ли реальное физическое пространство аксиомам геометрии Евклида, то предварительно мы должны дать физические определения геометрических терминов, содержащихся в аксиомах, таких как точка, прямая, плоскость и др. Иными словами, нужно указать те физические обстоятельства, которым эти термины соответствуют. После этого аксиомы превратятся в физические утверждения, которые можно подвергнуть экспериментальной проверке.
При рассмотрении любой системы аксиом возникает ряд вопросов, которые могут решаться с помощью интерпретаций.
Первый из них - это вопрос о непротиворечивости системы аксиом. Мы должны быть уверены в том, что, делая выводы из используемой системы аксиом, не придем к противоречию. Непротиворечивость системы аксиом может быть доказана построением какой-нибудь точной интерпретации этой системы.
Второй вопрос - это вопрос о независимости аксиом. Аксиома называется независимой в данной системе аксиом, если она не выводима из остальных аксиом этой системы. Для доказательства независимости системы аксиом достаточно построить систему объектов, удовлетворяющую всем аксиомам, кроме исследуемой, и не удовлетворяющую этой последней.
Интерпретации систем аксиом берутся из круга математических понятий. Самым мощным источником интерпретаций для всевозможных систем аксиом является теория множеств, возникшая в конце прошлого века. Она, быстро развиваясь, оказала огромное влияние на математику и имела особое значение в вопросах основания математики. Но уже в самом начале развития теории множеств было замечено, что использование ее без всяких ограничений приводит к противоречиям. Однако это не остановило развитие теории множеств, так как в тех пределах, в которых обычно используются ее понятия, противоречий не возникало.
Как уже отмечалось, мы, используя систему аксиом, делаем из нее логические выводы, справедливые для любой системы объектов, удовлетворяющей этим аксиомам. Наука, изучающая правила логического вывода в математике, называется математической логикой. Рассмотрим некоторые ее положения.