Изучение определителей начнем с рассмотрения простейшего случай – со случая двух уравнений с двумя неизвестными:
Умножим первое уравнение на (предположим, что ) и вычтем результат из второго, получим:
.
Если , то
Аналогично, умножая второе уравнение на (если ) и вычитая из первого, найдем
Ведем обозначение, положив
т.е. через
будем обозначать число, равное разности между произведением элементов главной диагонали матрицы ║ и произведением элементов другой ее диагонали.
Число называется определителем второго порядка.
С учетом сказанного мы можем записать, что
Аналогично, при изучении систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными возникают определители третьего порядка:
Оказывается, что понятие определителя является полезным и в общем случае, при решении и исследовании систем линейных уравнений с неизвестными, и не только для этого.
Рис. 2.1. Рис.2.2.
При вычислении определителей третьего порядка полезно использовать следующее правило: первые три слагаемых (входящие со знаком плюс) вычисляются в соответствии со схемой, изображенной на рисунке 2.1, они представляют собой произведение элементов главной диагонали и элементов, стоящих в вершинах треугольников, одна из сторон которых параллельна главной диагонали. Слагаемые, входящие со знаком минус, вычисляются аналогично, но на основе схемы на рис.2.2.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть матрица является квадратной и имеет размеры :
Определитель матрицы будем обозначать , или
Определителем квадратной матрицы называется число, которое вычисляется по формуле:
В этой формуле через обозначена перестановка чисел 1,2,...,n. Перестановкой чисел 1,2,...,n называется группа этих чисел, расположенных в произвольном но определенном порядке. Напомним, что число перестановок из элементов равно . Суммирование в (2.19) осуществляется по всем возможным перестановкам чисел 1,2,...,n. Через обозначено число беспорядков в перестановке . Пара чисел в перестановке образует беспорядок, если большее число стоит в ней раньше меньшего.
Пример 2.7. Рассмотрим все перестановки чисел 1,2,3 и определим в них число беспорядков:
[1,2,3] = 0, [1,3,2] = 1,
[3,1,2] = 2, [3,2,1] = 3,
[2,3,1] = 2, [2,1,3] = 1.
Произведение из формулы (2.19) содержит в точности по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы . Сомножители удобно располагать в порядке номеров строк (как это и сделано в (2.19)), номера же столбцов, из которых взяты сомножители, образуют рассматриваемую перестановку.
Сформулируем без доказательства следующее утверждение:
если в перестановке поменять местами два числа, то количество беспорядков при этом изменится на нечетное число.
Отсюда следует, что, меняя местами пару чисел в перестановке, мы изменяем четность числа беспорядков в ней.
Изучим теперь свойства определителей.
Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании.
Действительно, каждое слагаемое в (2.19) имеет вид
, (2.20)
где вторые индексы составляют некоторую перестановку из символов 1, 2, ..., n. Однако все множители произведения (2.20) остаются в разных строках и разных столбцах, т. е. (2.20) служит членом и для транспонированного определителя. Чтобы из (2.20) получить соответствующий член транспонированного определителя надо переставить сомножители в порядке их вторых индексов (номеров столбцов), оказывается что число беспорядков при этом изменится на четное число, и знак рассматриваемого слагаемого не изменится. Отсюда следует сформулированное свойство.
Из свойства 1 вытекает, что всякое утверждение о строках определителя справедливо и для его столбцов и обратно, т. е. что в определителе (в отличии от матрицы) строки и столбцы равноправны. Исходя из этого, мы будем дальнейшие свойства формулировать и доказывать лишь для строк определителя.
Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Действительно, пусть все элементы i-й строки определителя являются нулями. В каждое слагаемое из (2.19) должен войти множителем один элемент из i-й строки, поэтому в нашем случае все слагаемые равны нулю.
Свойство 3. При перестановке двух строк определитель меняет знак.
В самом деле, пусть в определителе матрицы переставляются i-я и j-я строки, , а все остальные строки остаются на месте. Мы получаем определитель
2.21
Если (2.20) есть одно из слагаемых исходного определителя, то все его множители и в определителе (2.21) остаются, очевидно, в разных строках и разных столбцах. Таким образом, определитель и определитель (2.21) состоят из одних и тех же слагаемых. Легко заметить, что соответствующие слагаемые этих определителей получаются одно из другого перестановкой двух сомножителей, при этом число беспорядков в перестановке, образованной вторыми индексами, меняет четность, т.е. слагаемое в определителе (2.21) отличается от соответствующего слагаемого исходного определителя знаком, отсюда и следует сформулированное свойство.
Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
В самом деле, пусть определитель равен числу d и пусть соответственные элементы его i-й и j-й строк ( ) равны между собой. После перестановки этих двух строк определитель станет равен, ввиду свойства 3, числу -d. Так как, однако, переставляются одинаковые строки, то определитель на самом деле не меняется, т. е. d=-d, откуда d=0.
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на произвольное число k, то сам определитель умножится на это число k.
Пусть на k умножены все элементы i-й строки. Каждое слагаемое в (2.19) содержит ровно один элемент из i-й строки, поэтому всякое слагаемое приобретает множитель k, т.е. сам определитель умножается на k.
Это свойство допускает и такую формулировку: общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя.
Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
В самом деле, пусть элементы j-й строки определителя отличаются от соответствующих элементов i-й строки ( ) одним и тем же множителем k. Вынося этот общий множитель k из j-й строки за знак определителя, мы получим определитель с двумя одинаковыми строками, равный нулю по свойству 4.
Свойство 7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых:
,
то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й такие же, как и в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов , в другом - из элементов .
Действительно, всякий член заданного определителя можно представить в виде
Собирая вместе первые слагаемые этих сумм (с теми же знаками, какие имели соответствующие члены в заданном определителе), мы получим определитель n-го порядка, отличающийся от заданного лишь тем, что в i-й строке вместо элементов стоят элементы . Соответственно вторые слагаемые составляют определитель, в i-й строке которого стоят элементы . Итак,
Свойство 7 без труда обобщается на случай, когда всякий элемент i-й строки есть сумма не двух, а m слагаемых.
Скажем, что i-я строка определителя есть линейная комбинация его остальных строк, если для всякой строки с номером j, j=1,2,...,i-1,i+1,...,n, можно указать такое число , что умножая j-ю строку на , а затем складывая все строки, кроме i-й (сложение строк надо понимать так, что складываются элементы всех этих строк в каждом столбце отдельно), мы получим i-ю строку. Некоторые из могут быть равными нулю.
Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитель равен нулю.
Пусть i-я строка определителя является линейной комбинацией s каких-то его строк. Тогда каждый элемент этой строки будет суммой s слагаемых, и наш определитель будет равняться сумме s определителей, в каждом из которых i-я строка пропорциональна одной из других строк. По свойству 6 эти определители равны нулю, тогда и данный определитель равен нулю.
Свойство 9. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Это свойство непосредственно следует из свойства 7. Так как указанное число может быть и отрицательным, то определитель не меняется, если из элементов одной из его строк вычесть соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
Вообще, определитель не меняется, если к одной из его строк прибавить любую линейную комбинацию других его строк.
Пусть дан определитель порядка n. Возьмем некоторый его элемент и вычеркнем в нем i-ю строку и j-й столбец. У нас получится определитель порядка n-1, который называется минором элемента и обозначается . Алгебраическим дополнением элемента называется произведение . Алгебраическое дополнение элемента будем обозначать :
.
Свойство 10. Определитель равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:
. (2.22)
Никакое слагаемое из (2.19) не может войти в состав двух разных слагаемых из (2.22): все члены определителя, входящие в слагаемое содержат из i-й строки элемент и поэтому отличаются от членов, входящих в слагаемое . т.е. содержащих из i-й строки элемент . Кроме того, число слагаемых в правой части (2.22) равно (n-1)!n=n!.
Таким образом, каждое из произведений, присутствующих в (2.19), имеется и в правой части (2.22) и наоборот.
Произведение является алгебраической суммой слагаемых, которые получаются при умножении элемента на взятые со знаком слагаемые определителя . Можно показать, что слагаемые в произведении являются некоторыми слагаемыми из (2.19), причем их знаки совпадают.
Из сказанного следует справедливость равенства (2.22).
Заменяя в разложении (2.22) алгебраические дополнения соответствующими минорами со знаками плюс или минус, мы сведем вычисление определителя n-го порядка к вычислению нескольких определителей (n-1)-го порядка. Заметим, что если некоторые из элементов i-й строки равны нулю, то соответствующие им миноры не нужно будет вычислять. Ввиду этого полезно предварительно преобразовать определитель, используя свойство 9: пусть, например, элемент первого столбца ; умножим эту строку на и прибавим к k-й строке; в результате в первом столбце k-й строки появится нуль. Проделав эту операцию для всех k, не равных i, мы получим определитель, у которого все элементы первого столбца, кроме стоящего в i-й cтроке, равны нулю. Этот определитель по свойству 10 равен . Таким образом, нам удалось свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителя n-1 порядка. Описанные преобразования связывают с именем Гаусса и мы еще не раз будем их использовать.
Пример 2.8. Вычислить определитель
Получим определитель, у которого в первом столбце все элементы, кроме первого равны нулю. Для этого:
умножим первую строку на (-1) и сложим с третьей;
умножим первую строку на (-2) и сложим с четвертой.
Получим:
Свойство 11. 1 Если все элементы определителя, лежащие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю, то определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Это утверждение прямо следует из последнего свойства.
Пример 2.9.Рассмотрим определитель пятого порядка:
Раскладывая его и получающиеся далее определители по элементам первых столбцов, получим:
Свойства 9 и 11 дают метод вычисления определителей: используя свойство 9 в соответствии со схемой Гаусса добиваемся того, чтобы все элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, стали равными нулю; искомый определитель равен произведению диагональных элементов. Если при этом на главной диагонали окажется равный нулю элемент, то определитель равен нулю.