Логика предикатов

Логика предикатов вводит в рассмотрение высказывания, отнесенные к предметам. В ней уже имеется расчленение высказывания на субъект и предикат.

Пусть - некоторое множество предметов и , , , - какие-то определенные предметы из этого множества. Тогда высказывания об этих предметах мы будем обозначать в виде , , и т.д. обозначает высказывание о предмете , - высказывание о предмете , - высказывание о предметах и и т.д. Пусть, например, представляет собой натуральный ряд чисел, а буквы , соответственно числа . Тогда может быть, например, высказыванием: - - "3.

Такие высказывания могут быть как истинны, так и ложны. Мы будем рассматривать эти высказывания только с той точки зрения, что они представляют собой либо истину, либо ложь, обозначаемые соответственно символами и . Но здесь мы будем считать, что значения и ставятся в соответствие определенным предметам или группам предметов. Так, в рассмотренных выше примерах представляет собой , поставленную в соответствие предмету ; - , поставленную в соответствие предмету ; - , поставленную в соответствие паре предметов и . Пусть - произвольное непустое множество, а представляет собой произвольный предмет из этого множества. Тогда выражение становится определенным (становится высказыванием), когда замещено определенным предметом из . уже представляют собой вполне определенные высказывания.

Пример 1.3. Если натуральный ряд, то может обозначать: . Это выражение становится высказыванием, если заменить некоторым числом, например: "4 простое число" и т.д.

Пример 1.4. Пусть обозначает: . Это выражение становится высказыванием, если и заменить числами: , и т.д.

Так как с нашей точки зрения каждое высказывание представляет собой или , то выражение означает, что каждому предмету из поставлен в соответствие один из двух символов или . Иначе говоря, представляет собой функцию, определенную на множестве и принимающую только два значения и . Таким же образом выражения, связывающие два и более предмета , и т.д. представляют собой функции двух, трех и т.д. переменных. При этом переменные пробегают множество , а функция принимает значения и . Эти выражения, или функции одного или нескольких переменных, мы будем называть логическими функциями или предикатами. Предикатом с одной переменной можно выразить свойство предмета, например, ", " и т.д.

Понятие предикатов в классической логике Аристотеля соответствует в нашей терминологии предикату с одной переменной. Понятие, введенное нами, имеет более широкий смысл. Предикатами мы называем также и логические функции нескольких переменных. Ими можно выразить отношения между предметами. Пусть, например, - множество действительных чисел, а переменные - предметы из . Тогда можно посредством предикатов от двух и большего числа переменных выразить различные отношения между числами, как-то:

и другие, обозначив эти предикаты соответственно , и т.д. Пусть - множество членов семьи. Тогда можно предикатами выразить родственные отношения, например, , и т.д. Предикат может обозначать , - и т.д.

Кроме операций алгебры высказываний, мы будем употреблять еще две новые операции. Операции эти выражают собой утверждения общности и существования.

1. Квантор общности. Пусть - вполне определенный предикат, принимающий значение или для каждого элемента некоторого множества . Тогда под выражением мы будем подразумевать высказывание истинное, когда истинно для каждого элемента множества , и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от . Соответствующее ему словесное выражение будет: "для всякого значение высказывания есть истина".

Знак называется квантором общности , в качестве его обозначения использована перевернутая буква, с которой начинается английское слово All (все, каждый).

2. Квантор существования Пусть - некоторый предикат. Мы свяжем с ним формулу

,

определив ее значение как истину, если существует элемент множества , для которого истинно, и как ложь в случае, если такого элемента не существует. Тогда если – определенная формула логики предикатов, то формула

также определена и от значения не зависит. Знак называется квантором существования, его обозначение идет от английского Exist (существовать).

Кванторы и называются двойственными друг другу.

Мы будем говорить, что в формулах и кванторы и относятся к переменной или что переменная связана соответствующим квантором.

Предметную переменную, не связанную никаким квантором, мы будем называть свободной переменной. Таким образом, мы описали все формулы логики предикатов.

Существует закон, связывающий кванторы со знаком отрицания. Рассмотрим выражение

.

Высказывание равносильно высказыванию: или, что то же, . Следовательно, выражение равносильно выражению

.

Рассмотрим таким же образом выражение . Это есть высказывание . Но такое высказывание равносильно высказыванию: или . Итак, высказывание равносильно высказыванию .

Мы получили, таким образом, следующее правило:

Знак отрицания можно ввести под знак квантора, заменив квантор на двойственный. В основании современной математики кроме математической логике лежит теория множеств.