Создателем теории множеств является Кантор, заложивший ее основы в конце прошлого века. Из его теории получались практически все накопленные математикой к тому времени результаты. Но теория множеств Кантора в значительной мере носила интуитивный характер, и сначала Рассел, а потом и другие ученые показали, что она приводит к противоречиям, что, базируясь на этой теории, можно доказать справедливость двух взаимно исключающих друг друга утверждений. Это вызвало серьезное замешательство среди математиков того времени, но это же и продемонстрировало, что нельзя построить математику на интуитивной основе, что саму теорию множеств необходимо обосновывать, т.е. строить ее надо аксиоматически.
К настоящему времени существует несколько систем аксиом, с помощью каждой из которых можно строить теорию множеств, а затем и всю математику. Наиболее известной из них является система аксиом, предложенная Цермелло и Френкелем. Как показало многовековое развитие математики, эти системы не приводят к противоречиям.
При аксиоматическом построении теории с помощью системы аксиом устанавливаются свойства некоторых понятий, определения которым не дается. Таковыми понятиями в теории множеств являются: множество, элемент множества, мощность множества. Не давая определений этим понятиям, мы по ходу изложения постараемся дать их интерпретацию. Так, множество можно понимать, как группу, набор, совокупность определенных различаемых объектов произвольной природы, при этом относительно любого мыслимого объекта можно установить, принадлежит он данной совокупности (множеству) или нет. Под элементами множества понимаются те объекты, из которых состоит рассматриваемое множество.
Как уже говорилось, можно рассматривать множества элементов различной природы, например, множество курсантов в данной аудитории, множество столов и стульев в данном помещении, множество букв в слове, множество точек на отрезке и т.д. В дальнейшем мы в основном будем иметь дело с множествами чисел, которые будем называть 1числовыми множествами. 0Заметим, что элементами множества могут являться множества. Например, множество учебных отделений в академии, при этом каждое отделение может рассматриваться как множество курсантов (слушателей), каждый курсант (слушатель) - как множество частей тела и т.д.
Множества мы будем обозначать заглавными буквами латинского или греческого алфавитов, их элементы - маленькими буквами.
Тот факт, что является элементом множества обозначается следующим образом:
.
Если a является элементом множества , то говорят, что принадлежит множеству .
Если не является элементом , то пишут
.
Два множества и называются равными, тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов, говоря точнее, множества и равны, тогда и только тогда, когда каждый элемент из множества является элементом множества и наоборот. Если множества и равны, то будем писать:
.
Таким образом,
.
Эта формула читается: Высказывание эквивалентно сложному высказыванию - из того, что является элементом множества , следует, что является элементом множества , и из того, что является элементом множества , следует, что является элементом множества .
Заметим, что последняя формулировка дает метод доказательства равенства двух множеств: сначала надо, взяв произвольный элемент из множества , доказать, что он является элементом множества , затем, наоборот, показать, что произвольный элемент из множества является элементом множества . В дальнейшем мы проиллюстрируем эту идею на примере.
Укажем два способа задания множеств.
Первый из них - перечисление. В этом случае все элементы множества (или их обозначения) указываются в фигурных скобках через запятую, например:
.
Второй способ состоит в описании общего свойства элементов множества:
в фигурных скобках указываются несколько "первых" элементов множества, но так, чтобы стало ясно свойство, идентифицирующее остальные элементы этого множества, например:
,
понятно, что множество - это множество всех натуральных четных чисел;
в фигурных скобках указывается общее обозначение элемента множества, и за вертикальной чертой (двоеточием) аналитическое выражение свойства, однозначно характеризующего все элементы данного множества и только их, например, рассмотренное только что множество можно задать следующим образом:
,
где - множество натуральных чисел. В общем случае пишут:
,
где аналитическая запись ранее упоминавшегося свойства. Последняя запись читается так: "множество всех , для которых имеет место ". Часто используется и такая форма:
,
здесь - некоторое известное (заданное) множество, например,
(множество всех таких элементов из множества , что ), очевидно, что используя первый способ задания множества, можно написать:
.
Пример 1.5. Имеют место равенства:
,
.
Заметим, что формулы, присутствующие в правых и левых частях равенств этого примера, есть только обозначения некоторых множеств, а не сами множества. Множество не изменится, если, задавая его перечислением элементов, некоторых из них мы укажем несколько раз.
Для некоторых, часто встречающихся множеств, используются специальные обозначения:
- множество натуральных чисел,
- множество целых чисел,
- множество рациональных чисел,
- множество иррациональных чисел,
- множество действительных (вещественных) чисел,
- множество комплексных чисел.