рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

АЛГЕБРА

АЛГЕБРА - раздел Математика, Российская Федерация Министерство Образования И Науки Федер...

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ НАУК

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

 

 

Д. И. ИВАНОВ

 

АЛГЕБРА

(ЧАСТЬ II)

 

 

Учебно-методическое пособие

 

Тюмень


УДК 512.8

 

 

Д. И. Иванов. Алгебра (часть II): Учебно-методическое пособие по дисциплине «Алгебра» для студентов специальности «Компьютерная безопасность». Тюмень: Печатник, 2009, 125 стр.

Данное пособие разработано в соответствии с государственным образовательным стандартом и учебным планом специальности «Компьютерная безопасность» (II семестр), содержит теоретическую часть и комплекс практических заданий.

Рекомендовано к печати Учебно-методической комиссией института математики и компьютерных наук. Одобрено Учебно-методической секцией Учёного совета Тюменского государственного университета.

 

 

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: А. Н. Дёгтев,д. ф.-м. н., профессор кафедры алгебры и математической логики Тюменского государственного университета.

С. Д. Захаров, к. ф.-м. н., зав. каф. математики информатики и естественных наук Тюменского государственного института мировой экономики управления и права.

 

 

© ГОУ ВПО Тюменский государственный университет, 2009

© Д. И. Иванов, 2009


ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ И УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ.

Евклидовы и унитарные пространства.

Понятие мерного линейного пространства , данное в § 3.1 [1], далеко не в полной мере обобщает понятия плоскости или трехмерного евклидова… Будем говорить, что в мерном действительном линейном пространстве определено… I.

Изоморфизм унитарных пространств.

и . ТЕОРЕМА. (об изоморфизме унитарных пространств). Два унитарных пространства… ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что если и изоморфны, то они являются изоморфными, как линейные пространства. Однако…

Линейные функции.

Нетрудно проверить, что если и линейные функции, то и , такие что и , так же… ЛЕММА. (о существовании и единственности линейной функции). Для любого базиса линейного пространства и любого набора…

Сопряжённые операторы.

Построим по каждому линейному оператору мерного унитарного пространства оператор , сопряжённый данному. Выберем в вектор и рассмотрим функцию переменной . Эта функция является линейной. Действительно

С другой стороны , где по теореме из предыдущего параграфа определяется однозначно по функции , т. е. по и . Таким образом, при фиксированном для каждого имеется единственный вектор . Оператор называется сопряжённым к , т. е.

Покажем, что для каждого сопряжённый оператор определяется однозначно. Предположим, что существует оператор , такой что , тогда

.

Нетрудно убедиться в том, что сопряжённый оператор является линейным. Действительно

.

Значит .

Отметим следующие свойства сопряжённого оператора:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Докажем первое свойство.

. Другие свойства доказываются аналогично.

Если квадратная матрица порядка , то матрица , полученная из заменой всех её элементов на комплексно-сопряжённые и последующим её транспонированием, называется сопряжено транспонированной. Т. е. если , то .

ТЕОРЕМА. Если линейный оператор в ортонормированном базисе имеет матрицу , то сопряжённый оператор будет иметь в этом базисе сопряжено транспонированную матрицу.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть в унитарном пространстве задан ортонормированный базис , а матрицы операторов и в этом базисе будут соответственно , т. е. для любых

;

.

Домножим первое равенство справа на , получим

, следовательно . □

Пример 1. Линейный оператор задан в евклидовом пространстве в базисе из векторов матрицей

.

Найти матрицу сопряжённого оператора в том же базисе, считая, что координаты векторов базиса даны в некотором ортонормированном базисе.

Решение. Координаты векторов заданы в некотором ортонормированном базисе . Матрица перехода от к будет

.

Значит, , где матрица того же оператора в ортонормированном базисе. Откуда .

Находим

.

Тогда

.

Матрица сопряжённого оператора будет по предыдущей теореме сопряжено транспонированной, а так как оператор задан в евклидовом пространстве, то просто транспонированной.

.

Возвращаемся к исходному базису

 

Нормальные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется нормальным, если

,

т. е. если он перестановочен со своим сопряжённым.

Если ортонормированный базис пространства и матрица нормального оператора в этом базисе, то по теореме из §1.3 имеем .

Справедливы следующие три теоремы о нормальных операторах.

ТЕОРЕМА 1. Всякий собственный вектор нормального оператора , соответствующий собственному значению будет и собственным вектором оператора , который соответствует комплексно-сопряжённому значению .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если линейный оператор, а тождественный оператор , то также линейный оператор, сопряжённым для которого будет (т. к. ). По условию нормальный оператор, значит . Нетрудно проверить, что

.

Из того, что является собственным вектором оператора следует, что , значит

То есть и . □

ТЕОРЕМА 2. Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора будут ортогональны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть .

Тогда

.

Откуда , следовательно , т. к. . □

ТЕОРЕМА 3. (основная о нормальных операторах). Для каждого нормального оператора в унитарном пространстве найдётся ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора . Матрица имеет в этом базисе диагональный вид.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть характеристический корень линейного оператора (по основной теореме алгебры комплексных чисел [3] такой корень существует). Ему соответствует собственный вектор . Рассмотрим множество , которое является подпространством пространства и называется ортогональным к . Так как , то для любого вектора справедливо

.

Таким образом, как только . Такое подпространство называется инвариантным, относительно оператора .

Рассмотрим оператор , заданный на следующим образом: . Оно называется ограничением на . Заметим, что собственные векторы будут собственными векторами и .

Далее аналогично находим в собственный вектор оператора . Пусть подпространство векторов, ортогональных к и . будет опять инвариантным относительно , т. к. является пересечением двух инвариантных подпространств. В нём снова найдётся собственный вектор оператора . И т. д.

Продолжая указанную процедуру, получим ортогональный базис пространства , составленный из собственных векторов оператора . Остаётся нормировать этот базис.

В этом базисе матрица линейного оператора будет иметь диагональный вид [2]. □

 

 

Унитарные операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется унитарным, если он сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.

.

Непосредственно из определения унитарного оператора следует:

,

т. е. тождественный оператор. Следовательно, унитарный оператор можно определить как оператор, для которого .

Так как , заключаем, что унитарный оператор является частным случаем нормального оператора.

Если матрица оператора в некотором ортонормированном базисе, то матрица будет сопряжено транспонированной. Условие унитарности оператора в матричной форме будет выглядеть следующим образом: или . Такая матрица тоже называется унитарной.

Если линейный оператор рассматривается в евклидовом пространстве и сохраняет скалярное произведение, то его матрица в некотором базисе будет такой, что , т. е. транспонированная матрица совпадает с обратной. Такой оператор называют ортогональным, а его матрицу ортогональной.

ТЕОРЕМА 1. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда он сохраняет длину вектора, т. е. .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно,

.

В другую сторону, пусть . Тогда для любого справедливо: . Если сохраняет скалярное произведение, то . Раскрывая скобки и учитывая, что и , получим

(1)

При получаем

(2)

В случае евклидова пространства, т. к. , имеем .

Иначе, положим в (1) , получим

.

Прибавим полученное равенство к (2), тогда . □

ТЕОРЕМА 2. Линейный оператор унитарного пространства является унитарным тогда и только тогда, когда переводит любой ортонормированный базис этого пространства снова в ортонормированный.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ортонормированный базис пространства . По определению унитарного пространства , значит, . А по предыдущей теореме .

Обратно, пусть

, , тогда . Так как по предположению переводит ортонормированный базис в ортонормированный, то

.

Следовательно, унитарный оператор. □

ТЕОРЕМА 3. (основная об унитарных операторах). Матрица унитарного оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной, с диагональными элементами, равными по модулю единице.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, в некотором ортонормированном базисе он задаётся диагональной матрицей. Покажем, что собственные значения по модулю равны 1.

Пусть . тогда

.

Но , т. е. . Значит, , т. е. . □

 

 

Эрмитовы (самосопряжённые) операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется эрмитовым (самосопряжённым), если

,

т. е. если линейный оператор совпадает со своим сопряжённым .

Если матрица в некотором ортонормированном базисе есть , то в матричной форме условие того, что оператор является эрмитовым, выглядит следующим образом: . Такие матрицы называются эрмитовыми.

В действительном случае имеем: , т. е. матрица совпадает со своей транспонированной. Такие матрицы называются симметрическими. Поэтому в евклидовых пространствах эрмитовы операторы называют симметрическими.

ТЕОРЕМА. (основная об эрмитовых операторах). Матрица эрмитова оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как эрмитов оператор является частным случаем нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, существует ортонормированный базис, в котором он задаётся диагональной матрицей. Докажем, что собственные значения действительны. Пусть , тогда

.

В силу того, что , имеем , а это возможно лишь в случае . □

 

 

Кососимметрические операторы.

Линейный оператор унитарного пространства называется кососимметрическим, если или

.

Если эрмитов оператор, то кососимметрический. Действительно, . Обратно, если кососимметрический оператор, то , т. е. эрмитов оператор.

Если матрица в некотором ортонормированном базисе есть , то в матричной форме условие того, что оператор является кососимметрическим, выглядит следующим образом: . Такие матрицы называются кососимметрическими.

ТЕОРЕМА. (основная об кососимметрических операторах). В подходящем ортонормированном базисе матрица кососимметрического оператора будет диагональной, причём каждый диагональный элемент либо , либо чисто мнимое число.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как частный случай нормального оператора, то по основной теореме о нормальных операторах, достаточно показать, что собственные значения чисто мнимые числа (или 0).

Пусть , тогда

,

т. е. , поэтому, если , то . Откуда . □

 

 

Неотрицательные линейные операторы.

Линейный оператор унитарного (или евклидова) пространства называется неотрицательным, если

и .

Если равенство выполняется лишь при условии , то такой оператор называется положительно определённым.

Отметим свойства неотрицательных линейных операторов.

Свойство 1. Линейная комбинация неотрицательных линейных операторов с действительными неотрицательными коэффициентами неотрицательна.

Действительно, . □

Свойство 2. Для любого линейного оператора оператор неотрицателен.

Действительно, . □

ЛЕММА. Все собственные значения неотрицательного линейного оператора действительны и неотрицательны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если , то , т. е. и . □

ТЕОРЕМА. (основная о неотрицательных операторах). Самосопряжённый линейный оператор тогда и только тогда является положительно определённым, когда все его собственные значения неотрицательны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В одну сторону доказательство следует из леммы. Обратно, пусть базис, составленный из собственных векторов самосопряжённого оператора , а соответствующие действительные собственные значения. Если и , то

 

 

Линейные операторы в евклидовом пространстве.

Как уже отмечалось в §1.4 (теорема 3), в унитарном пространстве всякий линейный оператор имеет собственный вектор (одномерное инвариантное подпространство). В случае евклидова пространства это утверждение неверно. Однако имеет место следующая

ТЕОРЕМА 1. У всякого линейного оператора в евклидовом пространстве существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем в базис . Оператору в этом базисе соответствует матрица .

Рассмотрим систему уравнений

(1)

и будем искать для нее ненулевое решение . Такое решение существует тогда и только тогда, когда определитель

равен нулю. Приравняв его нулю, мы получим уравнение ой степени относительно с действительными коэффициентами. Пусть есть корень этого уравнения. Возможны два случая:

a) есть вещественный корень этого уравнения. Тогда можно найти вещественные не все равные нулю числа , являющиеся решением системы (1). Считая их координатами некоторого вектора в базисе , мы можем систему (1) переписать в виде

(где столбец из координат вектора )

или ,

т. е. порождает одномерное инвариантное подпространство.

b) , т. е. комплексно. Пусть

есть решение системы (1), подставляя эти числа вместо в (1) и отделяя вещественную часть от мнимой, получим:

(2)

и соответственно

(2')

Будем теперь (соответственно ) считать координатами некоторого вектора (соответственно ) в , тогда соотношения (2) и (2') можно записать следующим образом:

(3)

Равенства (3) означают, что двумерное подпространство, порожденное векторами и , инвариантно относительно .

Если потребовать в доказательстве теоремы, чтобы базис был ортонормированным, а оператор нормальным, то векторы и будут ортогональными. Действительно, если собственное значение, то и также будет собственным значением (как корни многочлена с действительными коэффициентами). Соответствующие собственные векторы

,

будут ортогональными (теорема 2 §1.4). Тогда . Следовательно, .

Докажем теперь, что подпространство векторов , ортогональных векторам и , инвариантно, относительно оператора . Оно является пересечением двух подпространств, ортогональных собственным векторам нормального оператора. Если , т. е. , то

.

Аналогично, .

Рассмотрим ограничение оператора в двумерном подпространстве, порождённом векторами и из доказательства предыдущей теоремы. Матрица оператора в базисе будет:

.

Представляя комплексное число в тригонометрической форме , придадим матрице следующий вид

.

Таким образом, оператор есть композиция операторов с матрицами

и .

Первый из которых соответствует преобразованию подобия с центром в начале координат и коэффициентом растяжения ; второй поворот в плоскости на угол около начала координат.

ТЕОРЕМА 2. (основная о нормальных операторах в евклидовых пространствах). Матрица нормального оператора в евклидовом пространстве имеет клеточно-диагональный вид в подходящем ортонормированном базисе. В клетках порядка 1 находятся действительные числа, а клетки порядка 2 имеют вид .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно аналогично доказательству теоремы 3 §1.4 о нормальных операторах. Отличие состоит в том, что мы не можем утверждать, что характеристический многочлен всегда имеет действительный корень. Но тогда он имеет 2 комплексно-сопряжённых корня и , которые по теореме 1 позволяют определить подпространство размерности 2, инвариантное относительно , которое порождено двумя ортогональными векторами и . Клетка матрицы ограничения оператора в базисе имеет вид .

Так как пространство векторов, ортогональных векторам и так же инвариантно относительно , то осталось воспользоваться индукцией по размерности пространства. □

ТЕОРЕМА 3. (основная об ортогональных операторах в евклидовых пространствах). В подходящем ортонормированном базисе матрица ортогонального оператора клеточно-диагональная с клетками порядка 1 и 2; причём в клетках порядка 1 содержатся числа 1 или -1, а клетки порядка 2 имеют вид , .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Оно следует из теоремы 2 о нормальных операторах в евклидовых пространствах и того факта, что собственные значения ортогонального оператора (как частного случая унитарного оператора) по модулю равны 1. Действительно, если модули собственных значений чисел и равны 1, то в тригонометрической форме и клетка имеет вид . □

Пример 3.Рассмотрим трёхмерное евклидово пространство . По теореме 3 для каждого ортогонального оператора пространства можно найти такую ортонормированную систему векторов , что матрица оператора будет иметь один из следующих шести видов:

Операторы соответствуют следующим преобразованиям пространства:

a) тождественное преобразование;

b) зеркальное отображение относительно плоскости ;

c) зеркальное отображение относительно прямой ;

d) зеркальное отображение относительно точки ;

e) вращение на угол около оси ;

f) вращение на угол около оси , сопровождаемое зеркальным отображением относительно плоскости .

Для симметрических операторов теорема формулируется так же, как и для эрмитовых. Согласно теореме 2 данного параграфа матрица оператора распадается на клетки порядков 1 или 2. При этом клетки порядка 2 появляются только тогда, когда характеристический многочлен оператора имеет комплексные корни. Но характеристические корни симметрических операторов действительны. Следовательно, справедлива

ТЕОРЕМА 4. (основная о симметрических операторах). Матрица симметрического оператора в подходящем ортонормированном базисе является диагональной с действительными числами по главной диагонали.

ТЕОРЕМА 5. (основная о кососимметрических операторах в евклидовых пространствах). В подходящем ортонормированном базисе матрица кососимметрического оператора евклидова пространства имеет клеточно-диагональный вид с клетками порядков 1 или 2; причём в клетках порядка 1 находится число 0, а клетки порядка 2 имеют вид .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует из теоремы 2 о нормальных операторах в евклидовых пространствах и того факта, что собственные значения кососимметрического оператора либо 0, либо чисто мнимое число. □


ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.

а) ; б) ; в) ;

ГЛАВА II. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Теория квадратичных форм берёт своё начало в аналитической геометрии, а именно в теории кривых второго порядка. Известно, что уравнение центральной… . (1) Известно, далее, что можно совершить такой поворот осей координат на некоторый угол (величина которого зависит от…

.

По предложению 3 эта матрица имеет ранг , что равносильно утверждению, что на ее главной диагонали стоит ровно отличных от нуля элементов. □

ТЕОРЕМА 2. (основная о квадратичных формах). Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то все коэффициенты указанного линейного преобразования можно считать действительными.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эта теорема верна для случая квадратичных форм от одного неизвестного, так как всякая такая форма имеет вид , являющийся каноническим. Будем вести доказательство индукцией по числу неизвестных, т. е. доказывать теорему для квадратичных форм от неизвестных, считая ее уже доказанной для форм с меньшим числом неизвестных.

Пусть дана квадратичная форма

(12)

от неизвестных . Мы постараемся найти такое невырожденное линейное преобразование, которое выделило бы из квадрат одного из неизвестных, т. е. привело бы к виду суммы этого квадрата и некоторой квадратичной формы от остальных неизвестных. Эта цель легко достигается в том случае, если средикоэффициентов , стоящих в матрице формы на главной диагонали, есть отличные от нуля, т. е. если в (12) входит с отличным от нуля коэффициентом квадрат хотя бы одного из неизвестных .

Пусть, например, . Тогда, как легко проверить, выражение , являющееся квадратичной формой, содержит такие же члены с неизвестным , как и наша форма , а поэтому разность

будет квадратичной формой, содержащей лишь неизвестные , но не . Отсюда

Если введем обозначения

, при (13)

то получим

, (14)

где будет теперь квадратичной формой от неизвестных . Выражение (14) есть искомое выражение для формы , так как оно получено из (12) невырожденным линейным преобразованием, а именно преобразованием, обратным линейному преобразованию (13), которое имеет своим определителем и поэтому не вырождено.

Если же имеют место равенства , то предварительно нужно совершить вспомогательное линейное преобразование, приводящее к появлению в нашей форме квадратов неизвестных. Так как среди коэффициентов в записи (12) этой формы должны быть отличные от нуля, иначе нечего было бы доказывать, то пусть, например, , т. е. является суммой слагаемого и слагаемых, в каждый из которых входит хотя бы одно из неизвестных .

Совершим теперь линейное преобразование

, , при . (15)

Оно будет невырожденным, так как имеет определитель

.

В результате этого преобразования слагаемое нашей формы примет вид

,

т. е. в форме появятся, с отличными от нуля коэффициентами, квадраты сразу двух неизвестных,причемони не могут сократиться ни с одним из остальных членов, так как в каждый из этих последних входит хотя бы одно из неизвестных .

Теперь мы находимся в условиях уже рассмотренного выше случая,
т. е. еще одним невырожденным линейным преобразованием можем привести форму к виду (14).

Для окончания доказательства остается отметить, что квадратичная форма зависит от меньшего, чем , числа неизвестных и поэтому, по предположению индукции, некоторым невырожденным преобразованием неизвестных приводится к каноническому виду. Это преобразование, рассматриваемое как (невырожденное, как легко видеть) преобразование всех неизвестных, при котором остается без изменения, приводит, следовательно, (14) к каноническому виду. Таким образом, квадратичная форма двумя или тремя невырожденными линейными преобразованиями, которые можно заменить одним невырожденным преобразованием их произведением, приводится к виду суммы квадратов неизвестных с некоторыми коэффициентами. Число этих квадратов равно, как мы знаем, рангу формы . Если, сверх того, квадратичная форма действительная, то коэффициенты как в каноническом виде формы , так в линейном преобразовании, приводящем к этому виду, будут действительными; в самом деле, и линейное преобразование, обратное (13), и линейное преобразование (15) имеют действительные коэффициенты. □

Метод, использованный в этом доказательстве, может быть применен в конкретных примерах для действительного приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нужно лишь вместо индукции, которую мы использовали в доказательстве, последовательно выделять изложенным выше методом квадраты неизвестных.

Пример 1.Привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение. Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы выполним сначала невырожденное линейное преобразование

, ,

с матрицей

,

после чего получим:

.

Теперь коэффициент при отличен от нуля, и поэтому из нашей формы можно выделить квадрат одного неизвестного. Полагая

, , ,

т. е. совершая линейное преобразование, для которого обратное будет иметь матрицу

,

мы приведем к каноническому виду

.

Линейное преобразование, приводящее исходную квадратичную форму к каноническому виду, будет иметь своей матрицей произведение

.

Можно и непосредственной подстановкой проверить, что невырожденное (так как определитель равен ) линейное преобразование

превращает исходную квадратичную форму к каноническому виду.

 

 

Приведение квадратичной формы к главным осям.

Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду, изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией… ТЕОРЕМА. Каждая квадратичная форма некоторым ортогональным преобразованием… ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем смотреть на матрицу квадратичной формы как на матрицу некоторого линейного оператора в…

Закон инерции.

Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Всякая квадратичная форма может быть приведена к… Рассмотрим вначале произвольные комплексные квадратичные формы, допуская… ,

Распадающиеся квадратичные формы.

Перемножая любые две линейные формы от неизвестных, , мы получим, очевидно, некоторую квадратичную форму. Не всякая квадратичная форма может быть представлена в виде…

Положительно определенные формы.

ТЕОРЕМА. 1. Квадратичная форма от неизвестных с действительными коэффициентами тогда и только тогда будет положительно определенной, когда при… ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть форма положительно определенная, т. е. приводится к… , (1)

Пары форм.

Пусть дана пара действительных квадратичных форм от неизвестных, и . Существует ли такое невырожденное линейное преобразование неизвестных , которое… В общем случае ответ будет отрицательным. Рассмотрим, например, пару форм .

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II.

а) ; б) ; в) ;

ГЛАВА III. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ.

Матрицы, их эквивалентность.

В этой главе займёмся изучением квадратных матриц порядка , элементами которых служат многочлены произвольных степеней от одного неизвестного с… Назовем элементарными преобразованиями этой матрицы преобразования следующих двух типов:

Унимодулярные -матрицы.

Второй критерий эквивалентности.

ТЕОРЕМА 1. матрица тогда и только тогда унимодулярная, если ее определитель отличен от нуля, но не зависит от , т. е. является отличным от нуля… ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если , то этим двум матрицам соответствует один и тот же… Обратно, если определитель матрицы отличен от нуля и не зависит от , то для этой матрицы многочлен будет равен , а т.…

Связь подобия числовых матриц с

Эквивалентностью их характеристических матриц.

Как известно [1], две квадратные матрицы порядка подобны тогда и только тогда, когда они задают один и тот же линейный оператор в разных базисах.… ТЕОРЕМА. Матрицы и с элементами из поля тогда и только тогда подобны, когда их… ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть матрицы и подобны, т. е. над полем существует такая невырожденная матрица , что

Жорданова нормальная форма.

Будет выделен один специальный тип матриц, так называемые жордановы матрицы, и будет показано, что эти матрицы служат нормальной формой для весьма… Введем необходимые определения. Жордановой клеткой порядка , относящейся к… (1)

Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.

В предыдущем параграфе мы выяснили, что если матрица с элементами из поля приводится к жордановой нормальной форме, то эта форма определяется для… ТЕОРЕМА 1. Матрица с элементами из поля тогда и только тогда приводится в поле… В самом деле, если матрица подобна жордановой матрице , то эти две матрицы обладают одними и теми же…

Минимальный многочлен.

произвольный многочлен из кольца , то матрица

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III.

а) б) в)

ОТВЕТЫ.

а) да; б) нет; в) да;

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Апатенок Р. Ф., Маркина Л. М., Хейнман В. Б. Сборник задач по линейной алгебре и аналитической геометрии. - Минск: Высшая школа, 1990.

2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для ВУЗов. - М.: Физматлит, 2001.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971.

4. Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1984.

5. Шипачёв В. С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для ВУЗов. - М.: Высшая школа, 2002.


СОДЕРЖАНИЕ.

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ

И УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВАХ. 3

§1.1. Евклидовы и унитарные пространства. 3

§1.2. Изоморфизм унитарных пространств. 13

§1.3. Линейные функции. 14

§1.4. Сопряжённые операторы. 16

§1.5. Нормальные операторы. 20

§1.6. Унитарные операторы. 22

§1.7. Эрмитовы (самосопряжённые) операторы. 24

§1.8. Кососимметрические операторы. 25

§1.9. Неотрицательные линейные операторы. 26

§1.10. Линейные операторы в евклидовом пространстве. 28

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I. 34

ГЛАВА II. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. 39

§2.1. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. 39

§2.2. Приведение квадратичной формы к главным осям. 48

§2.3. Закон инерции. 52

§2.4. Распадающиеся квадратичные формы. 57

§2.5. Положительно определенные формы. 59

§2.6. Пары форм. 65

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II. 67

ГЛАВА 3. ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ. 70

§3.1. матрицы, их эквивалентность. 70

§3.2. Унимодулярные -матрицы. Второй

критерий эквивалентности. 79

§3.3. Матричные многочлены. 83

§3.4. Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью

их характеристических матриц. 86

§ 3.5. Жорданова нормальная форма. 89

§ 3.6. Приведение матрицы к жордановой нормальной форме. 97

§ 3.7. Минимальный многочлен. 100

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III. 106

ОТВЕТЫ. 112

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ. 122

СОДЕРЖАНИЕ. 123


 

Дмитрий Иванович Иванов

 

 

АЛГЕБРА

(часть II)

 

 

Учебно-методическое пособие

 

 

– Конец работы –

Используемые теги: Алгебра0.041

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: АЛГЕБРА

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ТЕМА АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Что такое логика Формальная логика Математическая логика... LOGOS греч слово понятие рассуждение разум... Слово логика обозначает совокупность правил которым подчиняется процесс мышления...

Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу векторна алгебра
За час існування спеціальності Прикладна математика у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс Алгебри та... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу Алгебри та геометрія витримується один із дидактичних принципів від простого до складного...

Алгебра логики
Простейшим и наиболее широко применяемым примером такой алгебраической системы является множество B состоящее всего из двух элементов... B Ложь Истина... Как правило в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нул м а Истина с логической единицей а...

БУЛЕВА АЛГЕБРА
В этом параграфе будут рассмотрены представления ло гических функций в виде суперпозиций функций И ИЛИ НЕ... Разложение функций по переменным Совершенная дизъ юнктивная нормальная форма... До сих пор все что говорилось о формулах и суперпозициях было справедливо не только для логических но и для любых...

Алгебра и аналитическая геометрия
Понятие матрица операции над матрицами и их свойства... Матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя... а Сложение матриц поэлементная операция...

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ... Введение Настоящее пособие предназначено для знакомства с основами линейной алгебры и содержит разделы посвященные теории матриц и теории систем линейных...

Алгебра экзаменационный 1 курс 1 семестр математика и и нформатика один ответ
Алгебра экзаменационный курс семестр математика и и нформатика... c Системаявляется... один ответ совместной определ нной...

АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ... УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ САНКТ ПЕТЕРБУРГ...

АЛГЕБРА
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Государственное образовательное учреждение...

Василь Кравчук, Галина Янченко Алгебра
Усно... Які із записів є рівняннями... а х б х х в г х д х х е х gt...

0.034
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам