Реферат Курсовая Конспект
Эквивалентностью их характеристических матриц. - раздел Математика, АЛГЕБРА Как Известно [1], Две Квадратные Матрицы Порядка ...
|
Как известно [1], две квадратные матрицы порядка подобны тогда и только тогда, когда они задают один и тот же линейный оператор в разных базисах. Однако мы не можем пока ответить на вопрос, подобны ли данные числовые матрицы и (т. е. матрицы с элементами из основного поля ). Тем не менее, их характеристические матрицы и являются матрицами, и вопрос об эквивалентности этих матриц решается вполне эффективно. Ответ на вопрос о связи подобия числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц даёт следующая
ТЕОРЕМА. Матрицы и с элементами из поля тогда и только тогда подобны, когда их характеристические матрицы и эквивалентны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть матрицы и подобны, т. е. над полем существует такая невырожденная матрица , что
.
Тогда
.
Невырожденные числовые матрицы и являются, однако, унимодулярными матрицами. Матрица получена умножением матрицы слева и справа на унимодулярные матрицы, т. е. .
Обратно, пусть
.
Тогда существуют такие унимодулярные матрицы и , что
. (1)
Учитывая, что для унимодулярных матриц обратные матрицы существуют и являются матрицами, выведем из (1) равенства, которые будут использованы в дальнейшем для доказательства:
(2)
Так как матрица имеет по степень , причем старшим коэффициентом соответствующего матричного многочлена служит невырожденная матрица , то к матрицам и можно применить алгоритм деления с остатком. Значит, существуют такие матрицы и , причём, степень , если , равна по , что
. (3)
Аналогично
. (4)
Используя (3) и (4) и учитывая (1), получаем:
или, применяя (2),
Квадратная скобка, стоящая справа, равна в действительности нулю: в противном случае она, являясь матрицей, так как и и есть матрицы, имела бы по меньшей мере степень , а тогда степень фигурной скобки была бы не меньше и, следовательно, степень всей правой части была бы не меньше . Это, однако, невозможно, так как слева стоит матрица степени .
Таким образом,
,
откуда, приравнивая матричные коэффициенты при одинаковых степенях , получаем
, (5)
. (6)
Равенство (6) показывает, что числовая матрица не только отлична от нуля, но даже является невырожденной, причем
,
а тогда равенство (5) принимает вид
,
что и доказывает подобие матриц и . □
Пример 3. Являются ли следующие матрицы подобными
, ?
Решение. Их характеристические матрицы эквивалентны, так как приводятся к одному и тому же каноническому виду
,
поэтому матрицы и подобны.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Государственное образовательное учреждение...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Эквивалентностью их характеристических матриц.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов