Минимальный многочлен.

Пусть дана квадратная матрица порядка с элементами из поля . Если

произвольный многочлен из кольца , то матрица

будет называться значением многочлена при .

Нетрудно проверить, что если или , то и, соответственно, .

Если многочлен аннулируется матрицей , т. е. , то матрицу будем называть матричным корнем многочлена .

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Всякая матрица служит корнем некоторого ненулевого многочлена.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Известно, что все квадратные матрицы порядка составляют над полем мерное векторное пространство. Отсюда следует, что система из матриц

линейно зависима над полем , т. е. в существуют такие элементы , не все равные нулю, что

.

Таким образом, матрица оказалась корнем ненулевого многочлена

,

степень которого не превосходит . □

Матрица является корнем и для некоторых таких многочленов, старшие коэффициенты которых равны единице достаточно взять любой ненулевой многочлен, аннулируемый матрицей , и разделить этот многочлен на его старший коэффициент. Многочлен наименьшей степени со старшим коэффициентом , аннулируемый, матрицей , называется минимальным многочленом матрицы . Заметим, что минимальный многочлен матрицы определен однозначно, так как разность двух таких многочленов имела бы меньшую степень, чем каждый из них, но также аннулировалась бы матрицей .

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Всякий многочлен , аннулируемый матрицей , делится нацело на минимальный многочлен этой матрицы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разделим на с остатком

,

тогда

и из того, что следует , но степень меньше степени , что противоречит определению минимального многочлена. □

Для доказательства основной теоремы данного параграфа потребуется вспомогательное утверждение.

ЛЕММА. Пусть

, . (1)

Если

(2)

то

(3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно доказать хотя бы первое из двух утверждений леммы второе доказывается аналогично. Доказательство состоит в непосредственной проверке справедливости равенства (2), если многочлен будет заменен его записью (1), вместо будет подставлено (3), а в качестве будет взят многочлен

ТЕОРЕМА 1. Минимальный многочлен матрицы совпадает с последним инвариантным множителем характеристической матрицы .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как следует из § 3.1

. (4)

Значит, многочлены и не будут нулевыми. Обозначим, далее, через матрицу, составленную из алгебраических дополнений матрицы , причём алгебраические дополнения элементов каждой строки располагаются в соответствующем столбце.

Тогда справедливо равенство

. (5)

С другой стороны, так как элементами матрицы служат взятые со знаками плюс или минус миноры го порядка матрицы и только они, а многочлен есть общий наибольший делитель всех этих миноров, то

, (6)

причем наибольший общий делитель элементов матрицы равен .

Из равенств (5), (6) и (4) вытекает равенство

.

Это равенство можно сократить на ненулевой множитель . Таким образом,

,

откуда

. (7)

Это равенство показывает, что остаток от деления матрицы слева, на двучлен равен нулю. Из леммы вытекает, что этот остаток равен матрице . Действительно, матрица может быть записана как матричный многочлен, коэффициенты которого являются скалярными матрицами, т. е. перестановочные с матрицей . Таким образом , т. е. многочлен действительно аннулируется матрицей .

Отсюда следует, что многочлен нацело делится на минимальный многочлен матрицы ,

. (8)

Ясно, что старший коэффициент многочлена равен единице.

Так как , то по лемме остаток от левого деления матрицы на двучлен равен нулю, т. е.

. (9)

Равенства (8), (7) и (9) приводят к равенству

.

Обе части этого равенства можно сократить на общий множитель , так как старший коэффициент этого матричного многочлена является невырожденной матрицей. Таким образом,

.

Мы помним, однако, что наибольший общий делитель элементов матрицы равен . Поэтому многочлен должен иметь нулевую степень, а так как его старший коэффициент равен , то . Таким образом, ввиду (8), что и требовалось доказать. □

Так как, ввиду (4), характеристический многочлен матрицы нацело делится на многочлен , то из доказанной сейчас теоремы вытекает следующая

ТЕОРЕМА 2 (Гамильтона Кэли). Всякая матрица является корнем своего характеристического многочлена. □

 

ТЕОРЕМА 3. Если матрицы и подобны и если многочлен аннулируется матрицей , то он аннулируется и матрицей .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть .

Если

, то

.

Трансформируя обе части этого равенства матрицей , получаем:

т.е. . □

СЛЕДСТВИЕ. Подобные матрицы обладают одним и тем же минимальным многочленом. □

Пусть теперь линейный оператор в мерном линейном пространстве над полем . Матрицы, задающие этот оператор в разных базисах пространства, подобны между собой. Общий минимальный многочлен этих матриц называется минимальным многочленом линейного оператора .

Используя операции над линейными операторами [2] можно ввести понятие значения многочлена

из кольца при , равном линейному оператору : это

будет линейный оператор

,

где тождественный оператор.

Будем говорить, что многочлен аннулируется линейным оператором , если , где нулевой оператор.

Учитывая связь между операциями над линейными операторами и над матрицами можно доказать следующее утверждение.

ТЕОРЕМА 4. Минимальный многочлен линейного оператора является тем однозначно определенным многочленом наименьшей степени со старшим коэффициентом , который аннулируется оператором . □

После этого результаты, полученные выше, в частности теорема Гамильтона Кэли, могут быть переформулированы на языке линейных операторов.