Изоморфизм унитарных пространств. - раздел Математика, АЛГЕБРА Два Унитарных (Или Евклидовых) Пространства ...
Два унитарных (или евклидовых) пространства и называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие , для которого
и .
ТЕОРЕМА. (об изоморфизме унитарных пространств). Два унитарных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что если и изоморфны, то они являются изоморфными, как линейные пространства. Однако изоморфные линейные пространства имеют одинаковую размерность [1].
Обратно, пусть размерности и равны, а и , соответственно, их ортонормированные базисы. Зададим отображение следующим образом: если
,
то считаем
.
Это отображение взаимнооднозначно и сохраняет операции сложения и умножения на число. Значит, они изоморфны, как линейные пространства.
Покажем, что сохраняет скалярное произведение. Рассмотрим два произвольных вектора
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Государственное образовательное учреждение...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Изоморфизм унитарных пространств.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Линейные функции.
Рассмотрим произвольное линейное пространство над полем
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.
1. Выяснить, являются ли ортогональными в евклидовом пространстве следующие системы векторов:
а) ;
Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Теория квадратичных форм берёт своё начало в аналитической геометрии, а именно в теории кривых второго порядка. Известно, что уравнение центральной кривой второго порядка на плоскос
Приведение квадратичной формы к главным осям.
Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду, изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но н
Закон инерции.
Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими различными
Новости и инфо для студентов