рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Линейные функции.

Линейные функции. - раздел Математика, АЛГЕБРА Рассмотрим Произвольное Линейное Пространство ...

Рассмотрим произвольное линейное пространство над полем . Отображение называется линейной функцией, если

Нетрудно проверить, что если и линейные функции, то и , такие что и , так же являются линейными функциями. Поэтому, множество всех линейных функций, заданных в образуют линейное пространство относительно их сложения и умножения числа на функцию.

ЛЕММА. (о существовании и единственности линейной функции). Для любого базиса линейного пространства и любого набора существует единственная линейная функция , такая, что

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть произвольный вектор из . Зададим отображение следующим образом:

,

Очевидно, что .

Проверим, что линейная функция. Пусть . Тогда

.

Докажем единственность. Предположим, что существует другая линейная функция , удовлетворяющая условию леммы, т. е.

. Тогда . □

Пусть унитарное пространство. Положим по определению для любых и фиксированного . Тогда имеет место

ТЕОРЕМА. Функция является линейной и однозначно определяется по . Обратно, для каждой линейной функции существует элемент , такой что .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Вначале докажем линейность функции. Действительно

.

Пусть теперь , тогда . При имеем , т. е. . Тем самым показано, что каждому соответствует единственная линейная функция .

Наконец, пусть произвольная линейная функция, заданная в пространстве . Докажем, что существует элемент , такой, что для любых . Пусть ортонормированный базис пространства . По лемме, существует единственный набор , такой, что . Рассмотрим вектор

,

тогда . Для произвольного вектора , имеем

. □

 

 

Развернуть
Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

АЛГЕБРА

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Государственное образовательное учреждение...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Линейные функции.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Евклидовы и унитарные пространства.
  Понятие мерного линейного пространства

Изоморфизм унитарных пространств.
Два унитарных (или евклидовых) пространства и

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I.
1. Выяснить, являются ли ортогональными в евклидовом пространстве следующие системы векторов: а) ;

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
  Теория квадратичных форм берёт своё начало в аналитической геометрии, а именно в теории кривых второго порядка. Известно, что уравнение центральной кривой второго порядка на плоскос

Приведение квадратичной формы к главным осям.
  Теория приведения квадратичной формы к каноническому виду, изложенная в предыдущем параграфе, построена по аналогии с геометрической теорией центральных кривых второго порядка, но н

Закон инерции.
  Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, определяется неоднозначно. Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими различными

Распадающиеся квадратичные формы.
  Перемножая любые две линейные формы от неизвестных,

Положительно определенные формы.
Квадратичная форма от неизвестных с дейст

Пары форм.
  Пусть дана пара действительных квадратичных форм от неизвестных,

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II.
15. Записать матрицу квадратичной формы , если: а)

Матрицы, их эквивалентность.
  В этой главе займёмся изучением квадратных матриц порядка , элементами которых служат многочлены произв

Второй критерий эквивалентности.
матрица называется унимодулярной

Эквивалентностью их характеристических матриц.
  Как известно [1], две квадратные матрицы порядка подобны тогда и только тогда, когда они задают один и

Жорданова нормальная форма.
В этом параграфе будем рассматривать квадратные матрицы порядка с элементами из поля

Приведение матрицы к жордановой нормальной форме.
  В предыдущем параграфе мы выяснили, что если матрица с элементами из поля

Минимальный многочлен.
Пусть дана квадратная матрица порядка с э

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III.
22. Привести следующие матрицы к нормальной диагональной форме посредством элементарных преобразований:

ОТВЕТЫ.
1. а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет. 2. а) да; б) нет; в) да; г) да; д

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги