Распадающиеся квадратичные формы.

Перемножая любые две линейные формы от неизвестных,

,

мы получим, очевидно, некоторую квадратичную форму. Не всякая квадратичная форма может быть представлена в виде произведения двух линейных форм, и мы хотим вывести условия, при которых это имеет место, т. е. при которых квадратичная форма является распадающейся.

ТЕОРЕМА Комплексная квадратичная форма распадается тогда и только тогда, если ее ранг меньше или равен двум. Действительная квадратичная форма распадается тогда и только тогда, если или ее ранг не больше единицы, или же он равен двум, а сигнатура равна нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала произведение линейных форм и , т. е. таких форм, каждое слагаемое которых является первой степенью переменной с некоторым коэффициентом. Если хотя бы одна из этих форм нулевая, то их произведение будет квадратичной формой с нулевыми коэффициентами, т. е. оно имеет ранг 0. Если линейные формы и пропорциональны,

,

причем и форма ненулевая, то пусть, например, коэффициент отличен от нуля. Тогда невырожденное линейное преобразование

при

приводит квадратичную форму к виду

.

Справа стоит квадратичная форма ранга 1, а поэтому и квадратичная форма имеет ранг 1. Если же, наконец, линейные формы и не являются пропорциональными, то пусть, например,

.

Тогда линейное преобразование

будет невырожденным; оно приводит квадратичную форму к виду

.

Справа стоит квадратичная форма ранга 2, имеющая в случае действительных коэффициентов сигнатуру 0.

Перейдем к доказательству обратного утверждения. Квадратичная форма ранга 0 может рассматриваться как произведение двух линейных форм, одна из которых нулевая. Далее, квадратичная форма ранга 1 невырожденным линейным преобразованием приводится к виду

,

т. е. к виду

.

Выражая линейно через , мы получим представление формы в виде произведения двух линейных форм. Наконец, действительная квадратичная форма ранга 2 и сигнатуры 0 приводится невырожденным линейным преобразованием к виду

;

к этому же виду может быть приведена любая комплексная квадратичная форма ранга 2. Однако

,

но справа, после замены и их линейными выражениями через , будет стоять произведение двух линейных форм. □