рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Василь Кравчук, Галина Янченко Алгебра

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Василь Кравчук, Галина Янченко Алгебра

Василь Кравчук, Галина Янченко Алгебра - раздел Математика, ...

Василь Кравчук, Галина Янченко

Алгебра

Усно

1.Які із записів є рівняннями:

а)4х + 7; б)4х – х = 15; в)14 - 2,5 = 11,5;

г)8(х – 3) = 34; д) 5х – 2х + 5; е) х > 2?

2.Чи є число 2 коренем рівняння:

а)5х = 3х + 4; б)2х + 8 = 7х; в)10 - y = y(y + 2)?

3.Скільки коренів має рівняння:

а)2х = 1; б)2х = 0; в)х = х + 3;

г)2 + х = х + 2; д)х(х - 5) = 0; е) = 0?

Рівень А

4.Доведіть, що число 1,5 є коренем рівняння:

а)4х - 3 = х + 1,5; б)2(1 - 2х) + х = -5х + 5.

5.Доведіть, що число 8 є коренем рівняння:

а)0,5х + 6 = 2х - 6; б)4(х + 3) = 49 - (х - 3).

6.Вкажіть рівняння, для якого число 3 є коренем:

а)7х - 12 = 3х; б)2х - 4х + 8 = 1; в)3(8 - y) = 5y.

7.Вкажіть рівняння, для якого число 2 є коренем:

а)6х = - 2 + 7х; б)2(y - 5) + 7 = 1; в)5 - (6 - x) = x.

Розв’яжіть рівняння:

8. а)5х + 3 = 18; б)1,7х - 2 = 3,1; в)4 - 4y = 6;

г)-1,2y = 0,03; д) -4(х + 8) = -108; е)5(2y + 1) = -1;

є) 12,6 = 6(х + 2,5); ж)z : 1,5 = -7; з)(0,7х + 1) : 0,5 = 4.

9. а)6 + 3z = 15; б)2х - 11 = –3; в)7 - 6x = 10;

г) 4(2х + 3) = -4; д) -2(3 + y) = 10,06; е)(5z + 4) : 3 = -17.

Рівень Б

10.Запишіть рівняння, яке має:

а) єдиний корінь ¾ число 4;

б)двакорені ¾ числа-4і 4.

11.Чи є число 1,5 коренем рівняння:

а)х - 1 = |1 - x|; б)х + |-x| = 0?

12.Доведіть, що число 2 є коренем рівняння 4 - х = |-x|.

Розв’яжіть рівняння:

13. а)(3х + 7)(3х - 2) = 0; б)х² + 8 = 4.

14. а)(4х - 6)(2х + 6) = 0; б) 2x² + 7 = 1.

Рівень В

15. Знайдіть таке число а, щоб коренем рівняння 2х + а = -1 було число 1.

16. Рівняння 5х = а - 3 має той же корінь, що й рівняння 2х - 7 = 1. Знайдіть а.

17.Не виконуючи обчислень, доведіть, що число 2 не є коренем рівняння

135х(1297х - 468) - 114(273х + 575) - 2125 = 0.

18.Розв’яжіть рівняння:

а)(х – 1)(2х - 1)(3х - 1) = 0; б)х²(х – 1)(х - 2)(х - 3)(х - 4) = 0.

Вправи для повторення
а)від 2,1; б)0,4 від 4; в)28% від 2,5. 20.Магазин закупив товар на 50 000 грн., продав його й отримав 7,5% прибутку.… 21.Заготовлені в кар’єрі 400 т руди вивезли 3 самоскиди. Перший самоскид вивіз 30% усієї руди, другий ¾ на 12 т…
Усно

23.Назвіть властивість рівнянь, на основі якої здійснено перехід від першого рівняння до другого:

а) 2х - 5 = 1; 2х = 1 + 5; б) 3х + 2 = 5х + 4; 3х - 5х = 4 - 2;

в) 2(х - 2) = х; 2х - 4 = х; г) = х; 1 - 4х = 3х.

24.Обидві частини рівняння х(х - 1) = 2х поділили на х й одержали рівняння х - 1 = 2. Чи мають ці рівняння одні й ті ж корені? Чи можна, розв’язуючи рівняння х(х - 1) = 2х, ділити обидві його частини на х?

25.Поясніть кожний крок розв’язання рівняння:

а) 3(х - 2) = 5х + 4 3х - 6 = 5х + 4 3х - 5х = 4 + 6 -2х = 10 х = 10 : (-2) х = -5; б) 1 + 2х = 12 + 3х 2х - 3х = 12 - 1 -х = 11 х = -11.

Рівень А

Розв’яжіть рівняння:

26. а) 7х - 4 = 3х - 9; б) 2х + 3(х + 1) = 8.

27.а) 8х + 4 = 3х + 4; б) 4(х – 3) = х.

28. а) 30(х + 2) = 15(х - 2); б) 200(х – 1) = 300.

29.а) 161(2х + 2) = 161х; б) 50(х + 3) = 250(х + 1).

30. а) б)(х + 1) =; в)

31.а) б)(х - 5) = 1;в)

Рівень Б

Розв’яжіть рівняння:

32. а) 200(х - 5) = 100(х + 1) + 500;

б) 350х + 250(5х - 4) - 800 = 0;

в) ; г)

33.а) 210(х - 12) + 140(х + 18) = 70; б)

34. а) б)

35.а) б)

Рівень В

36.Розв’яжіть рівняння:

а) (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = (х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 5);

б)

Вправи для повторення
а) 2(а + 1) - 4(а - 2), якщо а = -0,1; б)1,4x - (1 + 0,7x) - (3,3х - 2), якщо х = 2,25; в)-2(а + b - 2) - a + 2b - 4, якщо а = 3; b = -1.
Рис. 1

Рівняння |x| = 0 має один корінь — число 0, а рівняння |x| = –2 не має коренів (модуль будь-якого числа x є невід’ємним числом і не може дорівнювати –2).

У загальному випадку рівняння |x| = a:

має два корені a і –a, якщо a > 0;

має один корінь 0, якщо a = 0;

не має коренів, якщо a < 0.

Розв’язування рівнянь з модулями, виходячи з означення модуля числа.

Розв’яжемо рівняння

|x| + 3x = 4. (1)

Це рівняння не можна звести до вигляду |x| = a, де a — деяке число. Для його розв’язання розглянемо два випадки.

1. Якщо x — невід’ємне число (x ³ 0), то |x| = x і рівняння (1) набуває вигляду x + 3x = 4, звідки x = 1. Число 1 — невід’ємне (задовольняє нерівність x ³ 0), тому воно є коренем рівняння (1).

2. Якщо x — від’ємне число (x < 0), то |x| = –x і рівняння (1) набуває вигляду
–x + 3x = 4, звідки x = 2. Число 2 не є від’ємним (не задовольняє нерівність x < 0), тому воно не є коренем рівняння (1).

Отже, рівняння |x| + 3x = 4 має один корінь x = 1.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1.Розв’язати рівняння 5(2х - 1) = 4х - 23.

● 10х - 5 = 4х - 23; 10х - 4х = -23 + 5; 6х = -18; х = -3.

Відповідь. -3. ●

Приклад 2.Розв’язати рівняння 3х - 4 = 3(х - 2).

● 3х - 4 = 3х - 6; 3х - 3х = -6 + 4; 0х = -2 (або 0 = -2).

Відповідь. Рівняння коренів не має. ●

Приклад 3.Розв’язати рівняння 3х - 2(х - 1) = х + 2.

● 3х - 2х + 2 = х + 2; 3х - 2х - х = 2 - 2; 0х = 0 (або 0 = 0).

Відповідь. Коренем рівняння є будь-яке число. ●

Приклад 4.Розв’язати рівняння

● Помноживши обидві частини рівняння на 36 (36 ¾ найменше спільне кратне знаменників дробів), матимемо:

2(2х - 1) = 3х + 4; 4х - 2 = 3х + 4;

4х - 3х = 4 + 2; х = 6.

Відповідь. 6. ●

Примітка. Розв’язуючи рівняння, варто дотримуватися таких кроків: 1. Якщо у рівнянні є вирази з дробовими коефіцієнтами, то помножити обидві його частини на найменший спільний знаменник дробів. 2. Розкрити дужки. 3. Перенести всі доданки, які містять змінну, в одну частину рівняння (як правило, в ліву), а доданки, які не містять змінної, — в іншу частину (в праву). 4. Звести подібні доданки. 5. Поділити обидві частини рівняння на коефіцієнт біля змінної, якщо він відмінний від нуля. Якщо ж він дорівнює 0, то рівняння або не має коренів, або його коренем є будь-яке число.

Приклад 5.Розв’язати рівняння

●

Якщо модуль числа дорівнює 3, то цим числом є 3 або –3. Тому можливі два випадки:

1) 2x – 3 = 3; 2x = 6; x = 3; 2) 2x – 3 = –3; 2x = 0; x = 0.

Відповідь. 3; 0. ●

Приклад 6. Розв’язати рівняння

● z = 4 або z = –4.

Відповідь. –4; 4. ●

Усно

40.Які з даних рівнянь є лінійними рівняннями?

а) б) 4: х = 2; в) -2,7y = 0; г)

41.Скільки коренів має рівняння:

а)56х = 64; б)0х = –2; в)8х = 0; г)0y = 0?

42.Розв’яжіть лінійне рівняння:

а)6х = 42; б)4х = -12; в)-3y = 6; г)-5z = -45;

д) 3х = -2; е) 0y = -4; є) 0х = 0; ж) –2х = 0.

Рівень А

Розв’яжіть рівняння:

43. а)36х = -54; б)0,04z = 1,4; в)2y = –;

г)-1,2х = -0,09; д) -3,86t = 7,913; е)х = -;

є) s = ; ж)-2,5х = -; з) y = 0,6.

44. а)5х - 3 = 17; б)7х + 32 = 12х + 25; в)4 - 3y = 6y + 22;

г)4,5z + 1 = 7z + 2,5; д) -1,2m - 2 = m - 0,9; е)-1,74х + 7,92 = -1,08х;

є)4y + 1 = -1 + 4y; ж)0,77х = 1,65 + 1,1х; з)–16,8х - 3 = 6х + 2,7.

45. а)56х = -196; б)8х = –8 + 12х; в)1,15 - 3z = 2,5;

г)2y - 18 = -3y + 67; д)6х + 2 = 20х - 5; е)4,5х + 1 = 2 + 4,5х;

є)8 - 1,2z = -6z + 152; ж) 4,02t - 1 = 1,52t; з) 1,7х + 2,04 = -6,8х.

46. а)6(х - 2) = 2х; б)3(2х + 1) = 7х; в)1 - (3х + 1) = 2х;

г)-2(2х - 4) = -3; д) 2(х + 5) = 2(х - 4); е)-3(10 - 2х) = 6х - 30.

47. а)8х - 7 = 3(х – 4); б)–(3х + 1) = 3(3 – х); в)6х – 2 = -2(1 - 3х).

Рівень Б

Розв’яжіть рівняння:

48. а) 2(х - 11) - 5(5 - 2х) = –23;

б) 8(-3х + 4) + 14(3 + 2х) = 4 + 2х;

в)-5(4х + 3) + 3х = -12(х - 3); г)0,5х = 0,1(2х - 5) + 1,7.

49. а) 3,5(х - 3) - 0,7(7 - х) = –7; б) 0,4(2х - 7) + 1,2(3х + 0,7) = 1,6х;

в)5(4(х + 1) - 9х) = 25(х + 1); г)0,8(2,2(х - 1) - 1) - 1,4х = -0,4.

50.а)5(3х - 6) + 4(3 - 2х) = 5х - 8; б)9(х - 3) - 4(7 - 3х) - 5 = –3х;

в)-0,3(8 - 4х) = 0,6(х - 3) + 0,9; г)2(-0,9х + 1,4) + 1,4(1,5 + х) = х;

д)40(5х - 8(х - 1)) = 160(х + 9); е)12 + 3(2(х - 1) - 4) = 6(х + 1).

51.Знайдіть значення x, для яких значеннявиразів 2х - 3 і -3 + 7х дорівнюють одне одному.

52.Знайдіть значення x, для яких значеннявиразу 25х - 30 на 5 менше від значення виразу 15х + 15.

53.Знайдіть значення x, для яких значеннявиразу 4х + 6 у 6 разів більше від значення виразу 6х - 15.

Розв’яжіть рівняння:

54. а) б)

в) г)

55. а) б)

в) г)

56. а) б)

в) г)

57. а) |x| = 5; б) |x| = –6; в) |x| = 0;

г) |2x – 7| = 11; д) |15 – 4x| = 5; е) |7x – 2| = 0.

58. а)|x| + 3 = 7; б) 3|x| = 6; в) |x| + 8 = 3.

59.а) |3x| = 12; б) |x – 3| = 8; в) |x + 2| = –2;

г) |x – 7| = 0; д) 2|x| – 1 = 5; е) 5 – |x| = –11.

Рівень В

Розв’яжіть рівняння:

60. а)200(2(2(х - 1) - 1) -1) = -600;

б)

61. а)|2(х - 3) - (x + 4)| = 2; б)|5х - 4(2x + 3)| = 6;

в)2(|х| - 3) - 4(2|х| + 9) = -48; г)|2х - 1| - 4(1 - |2х - 1|) = 6.

62. а) 3x + |x| = 20; б) 5|x| + x = 12; в) |x| + x = 8;

г) x – |x| = 12; д) x + |x| = 0; е) x – |x| = 0.

63. а) |x| + x² = 0; б) x² + |x| = –7; в) |x| + |2x| + 4 = 0.

64.Урівнянні аx = 4389 коефіцієнт а є трицифровим числом виду **1. Розв’яжіть це рівняння, якщо відомо, що його коренем є натуральне
число.

Вправи для повторення
а) б) 66. З міст А і В одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі й… 67. Легковий автомобіль наздоганяє вантажний. Швидкість легкового автомобіля дорівнює а км/год, а вантажного ¾…
Вправи для повторення
а) суму числа m і числа, протилежного числу n; б) різницю числа s і числа, протилежного числу -t; в) добуток найбільшого від’ємного цілого числа і суми чисел а та b.
Усно

123.Серед записів вкажіть числові вирази, вирази зі змінними та записи, що не є виразами:

а)7,2 : 3; б)5; в)2х = 3; г)(18- 3) : 5 = 3;

д)a - c; е)15 – 8а; є) ж)abx².

124.Прочитайте словами вирази зі змінними:

а) 5 + х; б) y : 7; в) 2ab; г) (abc - 2) : 4;

д) (a - 3) : а; е) є) ж)

Які з даних виразів є цілими виразами?

125.Складіть три вирази із числа 7 та змінних a і b.

126.Складіть два вирази із чисел 5 і 11 та змінної х.

Рівень А

Запишіть у вигляді виразу:

127. а) суму чисел 12 і а; б) частку чисел -с і 7;

в) куб числа а; г) піврізницю чисел а і b.

128. а) добуток числа 3 і суми чисел а та с;

б) потроєний добуток чисел b і с;

в) різницю числа а і квадрата числа с.

129.а) різницю чисел b і 9; б) добуток чисел 3 і -а;

в) квадрат числа х; г) півсуму чисел m і n;

д) добуток різниці чисел 3 та с і числа 5;

е) подвоєну частку чисел а і с.

Знайдіть значення виразу:

130. а) 7b - 3, якщо b = -9; б) 0,11 - 4c², якщо c = 0,2;

в) 3а + b, якщо а = -3; b = 8; г) аb - 4c, якщо а = -0,4; b = 7; c = 0,12.

131. а) , якщо а = 4; б) , якщо х = -3.

132.а) -2а + 5,2, якщо а = -3; б) (1 - 4s)², якщо s = 2;

в) 12(3у - 5), якщо y = 1,5; г) x - 2y, якщо х = 11; y = -5,5;

д) 3(а + b) - 2c, якщо а = 3,2; b = -7,7; c = 2,5.

Заповніть таблицю:

133.

а -4 -1 0,5

4 - 3а

134.

х -5 -3 1,5 2,5

2х - 3

135.

х -2 -4

у -1 -0,5 -1

х - 2y

136.

b -2 0,5 3,5

137.Швидкість автомобіля дорівнює 75 км/год. Запишіть у вигляді виразу шлях, який автомобіль проїде за t год.

138. На склад завезли n мішків борошна по 50 кг у кожному. Запишіть у вигляді виразу масу всього завезеного борошна. Знайдіть значення цього виразу, якщо n = 48.

139. Робітник за день виготовляє 32 деталі. Запишіть у вигляді виразу кількість деталей, які робітник виготовить за k днів. Знайдіть значення цього виразу, якщо k = 5.

140. З ділянки, площа якої дорівнює а га, господарство зібрало по 38 ц пшениці з гектара, а з ділянки, площа якої дорівнює b га, ¾ по 42 ц. Запишіть у вигляді виразу масу пшениці, зібраної господарством з обох ділянок.

141. Майстерня закупила 50 м тканини по а грн. за метр і 30 м тканини по b грн. за метр. Запишіть у вигляді виразу вартість усієї тканини.

Рівень Б

Знайдіть значення виразу:

142. а) якщо a = 16,17; b =

б) якщо m = n =

143.а) якщо х = у =

б) якщо а = b = 2.

144.За формулою S = v t знайдіть шлях (у кілометрах), якщо:

а) v = 75 км/год; t = 0,6 год; б) v = 75 км/год; t = 20 хв;

в) v = 20 м/с; t = 2 год; г) v = 900 м/хв; t = 25 с.

145.За формулою S = v t знайдіть шлях (у метрах), якщо:

а) v = 8 м/с; t = 5 хв; б) v = 15 км/год; t = 6 хв.

146.Для яких значень х значення виразу 2х + 5 дорівнює 10?

147. Для яких значень х значення виразу 4 – 2х дорівнює 18?

148.Для яких значень х значення виразів 3х - 12 і -4 - х дорівнюють одне одному?

149.Відомо, що для деяких значень х та y значення виразу хy дорівнює 0,4. Якого значення для тих самих значень х та y набуває вираз:

а) 10хy; б)0,1хy; в) г)?

150.Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 4 дають в остачі 1.

151.Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 5 дають в остачі 2.

Запишіть у вигляді виразу число, яке має:

152. а)а десятків і b одиниць; б)а сотень і с одиниць;

в)а сотень, 7 десятків і b одиниць; г)а тисяч, b сотень і а одиниць.

153.а)а сотень і b десятків;б)5 сотень, а десятків і b одиниць.

154.Запишіть у вигляді виразу площу поверхні прямокутного паралелепіпеда з вимірами а см, b см, c см.

155.Запишіть у вигляді виразу площу поверхні куба з ребром а см.

Рис. 2 Рис. 3

156.Запишіть у вигляді виразу площу фігури, зображеної на рисунку 2.

157.Запишіть у вигляді виразу площу фігури, зображеної на рисунку 3.

158. На ділянці росло n кущів смородини. З цієї ділянки k кущів пересадили на іншу ділянку, а на ній посадили 30 нових кущів. Скільки кущів смородини стало на ділянці? Запишіть результат у вигляді виразу і знайдіть його значення, якщо n = 83, k = 45.

159. Оксана купила n олівців по 25 к. і 4 зошити по а к., заплативши за зошити більше, ніж за олівці. На скільки більше заплатила Оксана за зошити, ніж за олівці? Запишіть результат у вигляді виразу і знайдіть його значення, якщо n = 3, а = 65.

160.Із двох міст одночасно назустріч один одному виїхали два автомобілі й зустрілися через 2 год. Один рухався зі швидкістю 80 км/год, а інший ¾ зі швидкістю v км/год. Запишіть у вигляді виразу відстань між містами.

Рівень В

161. Число d є добутку перших n натуральних чисел: d = 1 × 2 × 3 × … × n. Знайдіть d, якщо n = 5; n = 7. Скількома нулями закінчується запис числа d, якщо n = 10; n = 100?

162.Знайдіть найменше значення виразу: х² + 5; |х| - 3.

163.Знайдіть найбільше значення виразу: 1 - х²; 3 - |х|.

164.Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 9 дають в остачі 2. Знайдіть кількість таких чисел у межах від 100 до 300.

165. Запишіть формулу цілих чисел, які при діленні на 2 дають в остачі 1, а при діленні на 3 дають в остачі 2.

Вправи для повторення
а)Скільки кілограмів смажених зерен вийде із 20 кг свіжих? б)Скільки кілограмів свіжих зерен слід узяти, щоб отримати 22 кг смажених? Обчисліть раціональним способом:
Усно

172.Чи є тотожно рівними вирази:

а) 5 + 6х і 6х + 5; б) а × 5b і 5ab; в) а - b і b - a?

Відповіді обґрунтуйте.

173.Чи є тотожністю рівність:

а) аb + 2 = 2 + ab; б)а - 1 = -1 + а; в)2(а - 3) = 2а - 3?

Відповіді обґрунтуйте.

174.Назвіть кілька виразів, які тотожно рівні виразу х + 4х.

175.Поясніть, на основі яких правил та яких властивостей дій здійснено такі тотожні перетворення:

-2b - (а - 3b) + 5a = -2b - а + 3b + 5a = -2b + 3b - а + 5a =

=(-2 + 3) × b + (-1 + 5) × a = b + 4а.

176.Спростіть вираз:

а)-7 + 4а - 3а; б)4а × 5b; в)5х + (2 - х).

Рівень А

Зведіть подібні доданки:

177. а)7а - 3а + 6; б)-4 + 3z - 8z;
в)4b - 7 + 9; г)6,5b - 7a + 5a;
д)–7,2x + 8y - 5x - 5y; е)2y - 3x - 2,5y + y; є)m - 3n + 1,6n + 2n.

178.а)5а - 6 + 3a; б)-3b + 4b - 2b; в)2c - 1 + 6c - 6;

г)1,5a - 2,5b + 3,5a; д) –2x + 3y - 6x - 5y; е)3b - a + 0,6a + 1,2a.

Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

179. а)5(8a + 9) + (4a - 5); б)2(5b - 3a) - (1,5b - 2a);

в)-4(1,2x + 1,5y) + 4(1,2х + 1); г)2(2х - 4y) -3(2х + 5y + 2).

180. а) 3(4х – 2z) - (5z + 10x); б)–3(3a + 1) - 5(a – 3b).

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

181. а)0,7(a - 10) + a - 5, якщо а = 3;

б)-2,5b - (11 - 1,5b) + b, якщо b = 0,2;

в)2x - 3(1 - y) + 4y, якщо x = -2; y = 5.

182. а) 6 + 3(2a - 4) – 8a, якщо а = –1;

б)3(a + 6) - (a – 3b) - 4b, якщо а = 3, b = -3.

Доведіть тотожність:

183. а) (a + b) - (a - b) = 2b; б) 2b × (-4) + 8b - 4 = -4;

в) 2х - 1 - 5(1 - 2х) = 12х – 6; г) 2(3а - 4) + 14 - 6а = 6;

д)a - (4а - 3b) = 3(b - a); е)2с = 12с – 5(2с + 3) + 15.

184.а) 2b + 2(1 - b) = 2; б) 2a - (1 + 2a) + 1 = 0;

в)3а - 6(3 - 2а) = 3(5а - 6); г)2х - 6 = -х - (7 - 3х) + 1.

185. Ширина прямокутника дорівнює а см, а довжина на 3 см більша від ширини. Запишіть у вигляді виразу периметр прямокутника.

186.Довжина прямокутника дорівнює b см, а ширина на 5 см менша від довжини. Запишіть у вигляді виразу площу прямокутника.

187.На одній полиці стоїть n книжок, а на іншій ¾ у 1,5 разу більше. Скільки книжок на обох полицях?

188.На одній полиці стоїть k книжок, а на іншій ¾ на 12 книжок менше. Скільки книжок на обох полицях?

189. Один робітник виготовляє за годину с деталей, а інший ¾ на 2 деталі менше. Запишіть у вигляді виразу кількість деталей, які виготовлять за 8 год обидва робітники.

Рівень Б

Запишіть у вигляді тотожності твердження:

190. а) Сума числа і протилежного йому числа дорівнює нулю;

б) сума числа а й числа, протилежного числу b, дорівнює різниці чисел а та b;

в) квадрат числа дорівнює квадрату модуля цього числа.

191. а) Добуток довільного числа і нуля дорівнює нулю;

б) добуток двох чисел дорівнює добутку протилежних їм чисел;

в) квадрат числа дорівнює квадрату протилежного йому числа.

Спростіть вираз:

192. а) 2(3с + 5) + 4(3 + 5с) + 4 + 2с; б) 0,2(х - 1) - 0,4(5 - 2х) – 2,3;

в)-(4х + y + 3z) + 3y - 2(х - 3z); г) (2a - 7b) - (3b + a) + 2a;

д)4(2(х + 2) - 4х) + 2(х + 1); е)5(m + 3(n - 1) - 1) - 5m.

193.а)-(3a - 6) + 3(2 - 2a) + 15a; б)0,9(a - 3b) - 0,2(5b - 3a) - 1,7b;

в)4(5n - 2(n - 1)) + 10; г) + (2(х - y) - 4x) + х.

Доведіть тотожність:

194. а) 2(a + b + c) - (a + b - c) - (a - b + c) = 2(b + c);

б) 28 + 2(2(2(b - 2) - 2) - 2) = 8b.

195.а) 2(a - b - 1) - (a + b - 1) - (a - b + 1) = -2(b + 1);

б) 1 - x - (1 - (1 - (1 - x))) = 0.

Розв’яжіть рівняння:

196. а) 2(3х –1) – 3(2 – х) = 1; б) 0,2(у - 2(у – 1) + 5) – 2у + 3 = 0.

197. а) –3(1 – у) + 3(1 – 2у) = 9; б) 2((х - 2) – 2(х – 1)) + 4х = 1.

198. Перший лижник пробіг а м, другий ¾ на b м менше, ніж перший, а третій ¾ 1200 м. На скільки метрів менше пробіг другий лижник, ніж перший і третій разом? Запишіть результат у вигляді виразу.

199. На першій полиці є х книжок, а на другій ¾ удвічі більше, ніж на першій. З першої полиці забрали 10 книжок, а на другу поставили 3 книжки. Якою стала загальна кількість книжок на полицях? Запишіть результат у вигляді виразу.

Рівень В

200.Нехай m і n ¾ деякі натуральні числа. Доведіть, що:

а)різниця чисел 11m + 3n і 7m + 7n ділиться на 4;

б)сума чисел 10m + 3n + 2 і 2m - 7n + 6 ділиться на 4.

201. Доведіть, що сума трьох послідовних цілих чисел ділиться на 3.

202. Доведіть, щосума чотирьох послідовних цілих чисел не ділиться на 4.

203.Доведіть, що коли два цілі числа при діленні на 4 дають в остачі 2, то сума і різниця цих чисел діляться на 4.

204.Двоцифрове число, яке має а десятків і b одиниць, позначають через . Отже, = 10а + b. Доведіть, що сума ділиться на 11.

205. Доведіть, що різниця числа і суми його цифр ділиться на 9.

206.Доведіть, що коли два цілі числа при діленні на 3 дають рівні остачі, то різниця цих чисел ділиться на 3.

Вправи для повторення
а) 152 – 63;б) (1,22 – 1,84)3; в) Розв’яжіть рівняння: 208. а) (x -7)(х + 9) = 0;б) (2х + 7)(3x - 2) = 0; в) (7 - 3х)(0,5x - 1) = 0.
ОДНОЧЛЕНИ
Нагадаємо, що добуток двох або трьох однакових множників, кожен з яких дорівнює а, — це відповідно квадрат або куб числа а. Наприклад: 5 × 5 = 52; 52 — квадрат числа 5; 5 × 5 × 5 = 53; 53 — куб числа 5.
Усно

233.Прочитайте вирази, назвіть основи й показники степенів:

а¹²; (-3)⁴; (-0,05)²⁰; m⁹; 3^m;

234.Обчисліть: 1⁷; 2⁴; (-2)⁴; 3³; (-3)³; (-5)²; 4³; 0,1².

235.Значення яких степенів є додатними; від’ємними:

(-7)⁴; (-11)³; 15⁶; (-21)²; 3³; 17³¹; (-1,5)²⁰; (-0,05)¹¹?

Рівень А

Запишіть добуток у вигляді степеня:

236. а) 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4; б) ;

в) г);

д)(-b) × (-b) × (-b) × (-b); е)(х - y) × (х - y) × (х - y).

237.а) (-5) × (-5) × (-5) × (-5); б)

в) ; г)(ab) × (ab) × (ab) × (ab) × (ab).

238. Запишіть степінь у вигляді добутку:

а)6⁴; (-7)⁶; 1,2⁵; а)a⁵; (2х)³; (bc)⁴.

Знайдіть значення степеня:

239. а)12²; б)4⁴; в) (-0,7)³; г)(-1,5)⁴;

д) е) є) ж)(-0,02)³.

240. а)2⁵; б) (-3)⁴; в) (-1)⁵; г)0,4³;

д)1,1³; е)0,04³; є) ж)

Обчисліть:

241. а)6 × (-2)⁴; б)6 × (-2⁴); в) 5 × (-3)³; г)5 × (-3³);

д)5³ - 5²; е)(-6 × 0,5)⁵; є) 0,1³ - 0,1²; ж)(15 - 16)¹⁰.

242.а)(3 - 7)⁴; б)2 × (-7³); в) 2⁶ + (-3)³; г)(-4 + 3)⁹.

243. Знайдіть значення виразу:

а)а²; (-а)²; -а², якщо а = 3; б)а³; (-а)³; -а³, якщо а = 10.

244. Знайдіть значення виразу:

а)2а³ + 1, якщо а = -2; а = 0; а = 2; б)(х + 1)⁴, якщо х = -2; х = 2.

Рівень Б

Заповніть таблицю:

245. n 246. n

n⁴ n³

4ⁿ 3ⁿ

Порівняйте значення виразів:

247. а)(5 × 2)² і 5² × 2²; б) (2 + 3)³ і 2³ + 3³;

в)7⁴ - 6⁴ і 5⁴; г) 5³ + 21³ і 26³.

248.а)(7 - 5)² і 7² - 5²; б) (10 : 2)³ і 10³ : 2³;

в)14² + 19² і 33²; г) 12⁴ - 3⁵ і 12³ + 3⁶.

Знайдіть значення виразу:

249. b⁴ + b³ + b² + b + 1, якщо b = -2; b = -1; b = 0; b = 1; b = 2.

250. х⁵ - х⁴ + х³ - х² + х, якщо х = -1; х = 0; х = 2.

Подайте у вигляді квадрата або куба числа:

251. 27; 144; -125; 216; 0,125; 0,001;

252. 64; 1000; -8; 6,25; 0,008;

253. Доведіть, що вираз набуває лише додатних значень:

а) а² + 1; б)а¹⁰ + 5; в)(а - 2)² + 2; г)(а + 4)⁴ + 0,5.

Рівень В

254. Знайдіть значення виразу, якщо а = 0; а = 1; а = -1:

а)а + а² + а³ + … + а⁹⁹ + а¹⁰⁰ (ця сума має 100 доданків, кожен з яких є степенем числа а; показники степенів ¾ усі натуральні числа від 1 до 100 включно);

б)а + а² + а³ + … + а⁹⁸ + а⁹⁹; в)аа²а³ … а⁹⁹а¹⁰⁰; г)аа²а³ … а⁹⁸а⁹⁹.

255. Знайдіть найменше значення виразу:

а) а² + 1; б)а⁴ - 2; в)(а - 1)² + 12; г)(2а + 2)⁴ - 5.

Для якого значення а значення виразу є найменшим?

256. 1) Доведіть, що вираз набуває лише додатних значень:

а) х² +(х + 1)²; б)(х - 2)² + (х - 1)⁸; в) х⁴ + |х + 1|.

2)Розв’яжіть рівняння:

а) х² +(х + 1)² = 0; б)(х - 2)² + (х - 1)⁸ = 0; в) х⁴ + |х + 1| = -1.

257.Знайдіть останню цифру числа 987⁹⁸⁷.

Вправи для повторення
а)5х - 3 = 3х + 17; б)7х + 32 = 12х + 25; в) 2(х - 11) - 5(5 - 2х) = –23; г) 8(-3х + 4) + 14(3 + 2х) = 4 + 2х. 259.Футбольна команда у 15 матчах набрала 23 очка, програвши 6 матчів. У скількох матчах команда здобула перемогу і…
Усно

261.Подайте у вигляді степеня добуток:

a)b⁴b³; c³c; 7²× 7⁵; 3¹⁰× 3; б)a²а³а⁴; 2× 2³× 2⁴.

262.Подайте у вигляді степеня частку:

a)а⁶ : а²; b⁸ : b³; б)7²⁰ : 7¹⁷; 11⁸ : 11.

263.Піднесіть до степеня:

a)(m³)⁴; (n¹⁰)²; (b¹⁵)⁴; б)(pq)²; (2b)³; (abc)⁴.

Рівень А

Подайте у вигляді степеня добуток:

264. a)a⁵а²; б)b⁴b⁶; в) yy⁷;

г) x²⁵x⁷³;д) 2⁸× 2¹²; е) 0,3¹⁵× 0,3;

є)5³× 5× 5⁴; ж)3⁴× 3× 3⁶× 3; з)b⁵bb²b⁴.

265.a)m³m⁶; б)y⁷y⁵; в) c⁵c; г) b¹⁵b²⁵;

д) 10⁵× 10¹⁰; е) 2,5× 2,5³; є)2× 2²× 2⁷; ж)a²a⁴aa².

Подайте у вигляді степеня частку:

266. a)х¹⁰ : х³; б)а¹⁵ : а⁵; в)5²⁸ : 5²¹; г) 0,1⁸ : 0,1².

267. a)с¹² : с⁹; б)b²⁶ : b⁸; в)4¹⁷ : 4¹⁵; г) 0,7¹⁰ : 0,7⁴.

268.Подайте степінь b¹⁵ у вигляді добутку двох степенів з основою b чотирма способами.

269.Подайте степінь х¹² у вигляді добутку двох степенів, одним з яких є: х; х²; х⁴; х⁷; х⁹.

270. а) Подайте у вигляді степеня з основою b:(b³)³;(b⁴)⁵; (b⁵)⁷; (b²⁵)⁴.

б) Подайте у вигляді степеня з основою ab:a³b³;a⁵b⁵.

271.а) Подайте у вигляді степеня з основою m: (m⁵)³; (m²)⁷; (m⁵)⁴.

б) Подайте у вигляді степеня з основою mn:m²n²;m⁷n⁷.

Піднесіть до степеня:

272. а) (ab)⁵; б)(4c)²; в) (-2x)³; г) (-0,1a)²;

д) (3xy)³; е) (-2mn)⁵; є)(mnk)⁸; ж)(4abcd)⁴.

273.а) (st)⁷; б)(-3b)³; в) (-2mn)⁴; г) (5klm)³.

Знайдіть значення виразу:

274. а) 5⁸: 5⁵; б) 0,2⁹: 0,2⁷; в)(-2)⁷: (-2)⁴; г)(3²)³: 3⁴;

д) 8⁷: 8⁵- 3²× 3; е)1,5⁹: 1,5⁸- 0,5².

275. а) 4¹⁸: 4¹⁵; б) 0,5⁸: 0,5⁶; в)3⁵: 3²+ 4⁶: 4⁴; г)(10²)²- 5⁶: 5³.

Рівень Б

Подайте у вигляді степеня:

276. а) 2⁴× 16; б) 3⁷: 27;

в)0,5⁴× 0,25; г)0,001× 0,1⁵.

277. а) 9³× 81; б) 64× 2³;
в)3¹⁰: 81; г)1,21× 1,1⁴.

Знайдіть значення виразу:

278. а) 2⁴× 5⁴; б) 4³× 25³; в)0,5⁶× 2⁶; г)1,25⁵× 2⁵× 4⁵;

д) е) 16³ : (4¹² : 8⁴);

є) (0,5¹⁸ : 0,5⁶) × (2¹⁶ : 2⁴); ж)

279. а) 5³× 2³; б) 8²× 125²; в)0,25⁹× 2⁹× 2⁹; г)

д)(27⁸ : 9⁵): (9⁴ × 3²); е)

280. а)Подайте z²⁰ у вигляді степеня з основою z²; z⁴; z⁵; z¹⁰.

б)Подайте 2²⁰ у вигляді степеня з основою 4; 16; 32.

281.а)Подайте c¹² у вигляді степеня з основою с²; с³; с⁴; с⁶.

б) Подайте 3¹² у вигляді степеня з основою 9; 27; 81.

282.Подайте у вигляді степеня з основою а:

a)a^ma²; б)aa^k; в) (a^m)²; г) (a³)^k.

Спростіть вираз:

283. а) (а³a⁴)⁵; б)(a⁷: а)³; в)(а²)³× (а⁴)⁴; г)(а⁵)⁵: (аа⁴)².

284.a)(a⁵a⁶)²; б)(a⁸: a⁵)⁵; в) (a⁴)²× (a²)⁴; г) (a⁶)³: (a³)².

Рівень В

285.Подайте у вигляді степеня з основою а:

а) б)
в) г)

286. Доведіть, що куб натурального числа, кратного 3, ділиться на 27.

287.Що більше: 2³⁰⁰ чи 3²⁰⁰?

288.Обчисліть:

289. Доведіть, що значення виразу 43⁴³ × 42⁴³ – 33³³ × 37³³ ділиться на 5.

Вправи для повторення
а)2х - 3 – (3х + 1); б)6а + 3 – 2(а – 2); в) –2(b - 1) + 3(5 - 2b) – 17; г) 5(-3c + 5) + 4(3 – c) – 4 + 19c. 291.Скільки одержимо числових виразів, якщо у виразі 2х - 5у змінній х надаватимемо значень 1, 3, 5, 7 або 9, а…
Одночлен та його стандартний вигляд
а, b3, 5, 32, 9аb2, -2x4y3, m2n і 3 + 2а, а - b, 5 + х2.
Усно

294.Які з наведених виразів є одночленами:

a) б)-3abc; в) ; г) а+ b;

д) -m; е) 0,3; є)3a³bc³ab; ж)b?

295.Назвіть одночлени стандартного вигляду та їхні коефіцієнти:

2a²ba; 52аb; 0,03ас⁴; x; -y; 1,4a; 4,8; 5ab× 3cd.

296.Знайдіть степінь одночленів:

4a²b²; x³y⁵; 0,1a²b³с⁴; 7xy²; 6a²;-y³; 4a; cd; 15.

297.Перемножте одночлени:

a)2a і 3b; б)4с² і 2с; в)5a²b і ab; г)-хy² і 2x.

Рівень А

Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його степінь і коефіцієнт:

298. a)4x²yx; б)5abc × (-2) ; в) 0,4а² × 4а³b;

г) x³y² × 3x; д) -5c³d × 0,8c²d; е) 0,7c × 4с × с²; є)-6аbс × b³.

299.a)14y⁵y; б)-0,3cc³c; в) аb × 3а²; г) 0,5aa³ × 2aa².

Виконайте множення одночленів:

300. а) 5a × 4b; б) -3а² × 5а³; в) 0,3а²b × 2b;

г) -4ax² × 3bx³; д) m³n × (-6mn²); е) 8а²bc² × ;

є) -4,3ax × (-2a²) × 5x; ж) xy × (-5xy²) × (-4); з) -3cd × (-2dc²) × cd.

301. а) 2m × 12mn⁵; б) -cd × 8c⁴d; в) 7a³b²c × 0,8abc³;

г) -6n³k × k; д)-ab × (-5ab²) × 2b; е)1,5xy × (-2x²y³) × x²y.

Піднесіть одночлен до степеня:

302. а) (3a³b)³; б)(-2mn²)⁴; в) г) (-0,5mn³k⁴)².

303.а) (-5mn²)²; б)(3a³b⁶)³; в) (-xy²z³)⁵; г) (2ab⁴c³)⁴.

304.Подайте одночлен 8х²у³ у вигляді:

а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є: 4х²у²; 8ху; -2ху³.

305.Подайте одночлен 6b³c³ у вигляді:

а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є: 2b²c²; 6bc; -3bc³.

Рівень Б

Спростіть вираз:

306. а) б) (3а²b)³ × 0,01b²;

в) г) (-4a²b³)² × (-ab³)²;

д) е)

307. а) б)

в) (-a²b)³ × (-3a³b)²; г)

308.Як зміниться площа квадрата, якщо його сторону збільшити втричі?

309.Як зміниться об’єм куба, якщо його ребро збільшити удвічі?

310.Подайте одночлен 64a⁶b¹⁸ у вигляді:

а) добутку двох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку трьох одночленів стандартного вигляду;

в) добутку двох одночленів, одним з яких є -4a⁴b⁶;

г) квадрата одночлена стандартного вигляду;

д) куба одночлена стандартного вигляду.

311.Подайте одночлен 16x¹²y⁸ у вигляді:

а) добутку трьох одночленів стандартного вигляду;

б) добутку двох одночленів, одним з яких є -2x³y⁷;

в) квадрата одночлена стандартного вигляду;

г) четвертого степеня одночлена стандартного вигляду.

312.Для деяких значень змінних значення виразу m²n³ дорівнює 2. Знайдіть для тих же значень змінних значення виразу:

а)6m²n³; б)m⁴n⁶; в)4m⁸n¹²; г)-3m⁶n⁹.

Знайдіть значення виразу:

313. а) (2а²b)²× аb³, якщо а = 2; b = 5;

б) (xy²z)³× xzy⁸, якщо x = y = -1; z = 7;

в) (a²bc²)²× abc × b², якщо a = b = -0,5; c = 3.

314. а) (-mn²)³× 10m⁴n, якщо m = 4; n = 0,25;

б) (2abc⁴)²× 0,25(ab)⁶, якщо a = b = 14; c = -0,1.

Рівень В

315.Подайте одночлен у стандартному вигляді:

a) б)

в) г)

316.Знайдіть значення виразу:

а) якщо х = у = 2; n = 80;

б), якщо а = 0,1; b = 2; k = 51.

317. Мило має форму прямокутного паралелепіпеда. За тиждень користування всі його розміри зменшились удвічі. У скільки разів зменшився об’єм мила?

Вправи для повторення
а) 2(х – 1) + 3(2 – х) = 2; б) 319. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки: а)7с - 5 + (3с + 1 - 8с); б)2а + 8 – (3а + 12 – 6а);
МНОГОЧЛЕНИ

Многочлен та його стандартний вигляд
Одночлени, які складають многочлен, називають членами цього многочлена. Наприклад, членами многочлена 2а2 - 3аb - 2b + 5 є 2а2, -3аb, -2b і 5. Многочлен, який складається з двох членів, називають двочленом, многочлен, який складається із трьох членів, ¾…
Усно

338.Які з наведених виразів є многочленами:

a)3a³+ bc²- ab; б)3х + 5; в) а;

г) а² + ; д) m(2n - k); е) (x - 3y)³;

є) ж) -2k; з) 4,5?

339.Назвіть подібні члени многочлена:

а)4a - 3 - a + 1,5 ; б)4xy+ 4х+ 4y;

в)3n²+ 4n - 2n² + n - 1; г)a²+ ab + b²+ ba.

340.Назвіть многочлени стандартного вигляду та знайдіть їх степені:

а)с²+ 4с - 2; б)x+ y+ 1; в)х;

г) 6a- a²+ 5a + 2; д)4y- y × 2y; е) bс+ 3.

341.Подайте многочлен у стандартному вигляді:

а) 4а+ 3 + а - 2; б) 2аba+ 3; в) x+ y + 2x - y.

Рівень А

Запишіть многочлен у стандартному вигляді та знайдіть його степінь:

342. а) 3х- 2 + 2х - 5; б) 1,2а + а+ 3,5 - 2а - 4;

в) 4m + 3 + n - 3 - n + 2m; г) x²+ x + 2x² - 3x+ 3;

д) -3а³ + 5а² - 5а³ - 3а² + 7а; е) -b² × 5b - 3b³+ 2b × 3b - 2b².

343.а) 5а+ 6 - 3а - 4; б) 10k + 5,5 - 2,5k - 4,5k;

в) 2x² + 3x + x² - 3x - 3 + 2x; г) -2b³+ 3b + 2b² - 3b³+ b.

344.Розташуйте члени многочлена за спаданням показників степенів:

а) 5x - 4х³+ 5 + х²- 3x⁴; б) 3а⁶+ 5а - 7а²- 2а⁴ - 2а⁷- 4.

345.Розташуйте члени многочлена за зростанням показників степенів:

а) 6b³+ 2b - 1 + 3b⁴+ b²; б) x⁵+ 2x⁶ - 3x- 3x⁴ + 2 + 8x⁸.

Знайдіть значення многочлена:

346. а) 2а²+ 3а - 2, якщо а = 2;

б) 3x - х²+ 1 + 2х²- 3x, якщо x = -1,1;

в) 5ab - а²+ 4ab + а², якщо a = -0,5; b = 4.

347. а) 4x²+ 9x - 4x + 2, якщо x = 2;

б) 2bc+ 2,5bc - 3 - 5bc, якщо b = 1,5; c = -4.

Рівень Б

Запишіть многочлен у стандартному вигляді та знайдіть його степінь:

348. а)4x²y - 6х²y - 3 + 0,3x²y;
б)1,2abc + а²b - 0,8abc - а²b;

в) 3x² × 0,4x - 0,9x³+ x × 4y - 2xy;

г)7a⁵b - 4b⁵a + 8а⁵b - 3а⁵ - 5аb⁵.

349.а) -3,5аb - а²b + 3 + аb + 3а²b; б) -5c³d - 2c²dс + c³d - 1.

Знайдіть значення многочлена:

350. а)6х⁴- 4x²- 8x⁴ + 3x²+ 2x⁴+ 1, якщо x = -1,2;

б) -4a²b³ + 7ab³- ab³a + b²ab - 8ab³, якщо a = -0,5; b = 2.

351. а)3a⁷- 3a⁴+ 6 - 4a⁷ + 5a⁴+ a⁷, якщо a = -3;

б) 2m⁴n² + 4m²n²m²- 8nm⁴n + 4m²n, якщо m = -0,5; n = 4.

Запишіть у вигляді многочлена число, яке має:

352. а)а сотень, b десятків і с одиниць; б)m тисяч, n сотень і k одиниць.

353. а)а десятків і b одиниць;б)а тисяч, b десятків і с одиниць.

Рівень В

354. Запишіть у вигляді многочлена n-цифрове число, записане за допомогою однієї цифри а.

355. Чи існують такі цілі значення х, для яких значення многочлена 4x² + 2x + 11 є парним числом?

356.Доведіть, що для цілих значень х значення многочлена x⁵- 6x² + 1 не дорівнює нулю.

357. Семицифрове число ділиться на 7. Крайні цифри цього числа поміняли місцями. Чи ділиться одержане число на 7?

Вправи для повторення
а)4a - 3 + (3a + 5 - 2a); б)2x + 12 – (4x + 12 – 3x); в) (-3a + 4b) – (2a - 1) + 6b; г) (-4x + 4) - (3x – y) - (2 + 2y). 359. Розв’яжіть рівняння:
Усно

361.Знайдіть суму многочленів:

a)2a²- а і а²- 3a; б)4х + 1 і х² + 2х + 4.

362.Знайдіть різницю многочленів:

а)5a²+ 4a і 4a² + 2a; б)5y²+ 4y + 4 і 4y²+ 4y.

Рівень А

363.Дано два многочлени: 3х²+ 2х - 5 і 2х²- 2х + 3. Запишіть та подайте у вигляді многочленів стандартного вигляду: а) суму цих многочленів; б) різницю першого і другого многочленів; в) різницю другого й першого многочленів.

364.Запишіть суму та різницю многочленів 6y²- 4y + 3 і 5y²+ 6y - 3. Подайте суму та різницю у вигляді многочленів стандартного вигляду.

Знайдіть суму многочленів:

365. a)2a³- 4a²+ а і а³+ 3a² - 2a + 2; б)5х + 2; -х² + 4х - 3 і 3х²- 4;

в)a²- 2ab+ b² і a²+ 2ab+ b²; г)4xy - 6х; 2x - 6хy і - xy - x.

366. а) -3х⁴ + 5х² - 5 і х⁴ - 3х²+ 4; б) -2b² - 3; 3b²+ 2 і -2b² + 1.

Знайдіть різницю многочленів:

367. а)3с³+ 3с²- 4с + 1 і 2с³- 3с²+ с - 5;

б)5х³- 4х²+ 3х- 4 і 7х³- 4х²+ 3х + 11;

в)2а²- 8а+ 5 і 2а²- 2а - 5;

г) -а⁴ + 3а² + 3 і 2а⁴ - 5 + 3а³.

368.а)4х³+ 3х²+ х- 4 і 2х³- х²+ 2х + 7;

б)-4m³+ 4m²+ m- 1 і -4m³+ 4m²+ m + 1;

в)5a²+ 3a+ 6і 8a³+ 2а²+ 6.

369.Знайдіть суму та різницю многочленів:

а) а+ b і а- b; б) а- b і b- a.

Спростіть вираз:

370. а) 4а- (5a²+ 3a- 2); б) 4,5аb+ 3а + (-2,6аb - 2,9);

в) (4т²-3m + n) -(-5m+m²-3n); г) x²+ y - (2x² - y) - (-3x²+ y).

371.а) (-а + а²) - (3а²- 2 + 2a); б) (7x³ - 4x) - (8x - 3x³) - (x³ + x).

Розв’яжіть рівняння:

372. а) 2x² - 3x - (2x - 4 + 2x²) = 0; б)-х³- 4- (4х - х³+ 4) = 0.

373. а) -5х + х² + 3 - (х + х²) = 0; б) 3x² + 4x + 6 - (-6x+ 3x² - 2) = 0.

Рівень Б

Спростіть вираз:

374. а) (-2a²b³ + ab³)- (a²b³ - 3аb³) - (4ab³ - 4a²b³);

б) 3x⁵+ x⁴ - (2x- 3x⁴ + 12) - (3x⁵+ 2x⁴ - 3)- (3x⁴ + 2);

в) 5xy - (x²+ 4xy - (-x² + xy));

г) -4a²+ b + (-7b- 2 + а²- (2a² - (b - 1))).

375.а) 7х⁴- (4x²- x⁴+ 3x) - (-3x²+ 8x⁴+ 2x);

б) 6ab+ 3b² - (1 + 2b²) - (-2ab - 3b²) + 1;

в) 2n²+ 3n - (-3n- 1 + 2n²- (n - 1 - n²)).

376. Знайдіть такий многочлен Р, при якому рівність є тотожністю:

а)Р + (2х²+ х - 2) = -х²+ 1;

б) Р - (х²- 3x + 3) = 3x - 1;

в) (4х²- 2x + 1) - Р = х² - 2x + 1.

377. Знайдіть многочлен, який у сумі з многочленом 2x²+ x - 4 дає многочлен 3x + 2.

Розв’яжіть рівняння:

378. а) 4x² - (5x - 10 + x²) = 3x²; б)-(х⁴- 1)- (3- 5х⁴+ 4х) = 4х⁴ + 5.

379. а) -(1 + 2х - х²) - (3х + 5) = х²; б) 2 - (-6 + x- 4x³) = 4x³ + x + 4.

Рівень В

380. Доведіть, що сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6.

381. Доведіть, що сума чотирьох послідовних непарних чисел ділиться на 8.

382. Учитель задав на уроці цікаву задачу. Кількість хлопців, які розв’язали задачу, виявилась такою ж, як і кількість дівчат, які її не розв’язали. Кого у класі більше: тих, хто розв’язав задачу, чи дівчат?

383. Знайдіть такі числа а і b, щоб сумою многочленів x²– аbx + 3 і
ах²+ 2x – 4 був многочлен 3x – 1.

Вправи для повторення
а) б) в) 385. Спростіть вираз: а) а2b3 × 2ab2; б) (4a2b)2 × 2ab2; в) (-3xy2)3 × 2(xy)2.
Множення одночлена на многочлен
2а(а2 - 3а + 4) = 2а × а2 - 2а × 3а + 2а × 4 = 2а3 - 6а2 + 8а. Отже, добутком одночлена 2а і многочлена а2 - 3а + 4 є многочлен 2а3 - 6а2 +… За цим правилом можна множити і многочлен на одночлен. Наприклад:
Усно

388.Виконайте множення:

a)a(а + 1); б) а(а²- 2a); в)х(х² + х - 4);

г)(a+ 4) × a; д) (b+ 2a) × b; е)(y²+ 4y + 4) × y.

Рівень А

Перемножте вирази:

389. а)х(2х - 5); б)2а²(5а + 3); в)b(4b²+ 3b);

г) -а²(a² - 2a + 1); д) 4с²(2с³ - с² + 5); е) -аb(2a - 3b - 2);

є) (х² - 5х) × х²; ж) (-y³ + 5y³) × (-4y); з) (y²- x - 3) × 2xy.

390.а)а(2а + 3); б)3х(х²- 4х + 3); в)-2b(b² + 2b - 3);

г)3с²(-2с⁴ + с²+ 3); д) (-3n² + 2n) × 2n; е) (2a²- 2a - 5) × (-3a).

Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:

391. a)-х(4х - 3) + 3; б)(5а + 2) × (-4а) + 10а²;

в)a²(2a³+ а) - 2a³; г)4x(2x - 3x²) - 8x² - 2x.

392. а) -3а²(а - 1) - 3а²; б) 2b(3b²- 2) - 2b³ + 1.

Спростіть вираз:

393. а)a(2a+ b) - ab; б)4y(2x - y) - 8xy + 2y²;

в) 2(4т²-3) + m(-8m-3); г) -х(2x - y) - (-2x²+ xy).

394.а)c(c²+ 3с) - 3c²; б)-5х(x²+ 3х- 4) - 20х;

в)2а(3а- 4b) + 8аb- 2а²; г) -4аb + 2а(2b + 3) - 6а.

Розв’яжіть рівняння:

395. а)2(2х - 1) + 3 = х - 2; б) 9 - 4(1 - 2х) = 10х;

в)-1,5(6х + 1) + 3х = 3; г) 4х(1 - 2х) + 8х² = 24.

396.а)2 + 3(5х - 3) = 8х; б) 24 - 2(2х + 6) = х.

Рівень Б

Спростіть вираз:

397. а) 2a(-а + 2а²) - 4(а³+ 2a - 2);

б) 5x³(3x³ - 2x + 1) - x²(8x² + 5x);

в) -8m³n(mn²- mn - n²) - (2mn)³; г) 2xy²- x(6x + 6y² - 1) +

д)2ab(5c + 2а) - a(4ab - bc); е) -5x³y(2x²y + 4y³x) - 4x⁴(2xy² - 5y⁴).

398.а)a²(1 + 2a+ b²) - (a²b² + a²); б)4xy(2x - y) - 2х(4xy - 1);

в)-2т²n³(4mn²- 8m²n)- (4т²n²)²; г)

399.Доведіть, що для всіх значень х вираз x²(x- 2) - x(x²+ 2) + 2x(1 + x) + 3 набуває одного й того ж значення.

400. Доведіть, що значення виразу x(x²+ 2y) - y(y+ x) + y(y - x) не залежать від значень y.

401.Доведіть, що для кожного від’ємного значення а значення виразу
а²(а³- а²+ а - 1) - а(а⁴- а³ + а²- а + 1) є додатним.

402.Доведіть, що для будь-яких значеннь х, y та z значення виразу
x(x - y + z) + y(y - z + x) + z(z - x + y) є невід’ємним.

Доведіть тотожність:

403. а)a(b - c) + b(c - a) + c(a - b) = 0;

б)a(b² - bc + c²) + ab(c - b) + ac(b - c) = abc;

в)х⁴(х³- х²)- х³(х⁴- х³) + х²(х⁵- х⁴) - х(х⁶- х⁵) = 0;

г) ab(c - ab) + bc(a - bc) + ca(b - ca) + a²b²+ b²c²+ c²a² = 3abc.

404.а)x(x - yz) + y(y - zx) + z(z - xy) + 3xyz = x²+ y²+ z²;

б) a(a⁴ - 2a³ + 3a²)- a²(a³ - a² + 2a) + a³(a - 1) = 0.

Розв’яжіть рівняння:

405. а)5(3х - 6) + 4(3 - 2х) = 5х - 8; б) 0,4(2х - 7) + 1,2(3х + 0,7) = 1,6х;

в)х(3 + 2х + 4х²) - 2х²(2х + 1) = 9; г)2,5х - 2х(1,5х + 1) = 1 – 3х².

406.а)-5(4х + 3) + 3х = -12(х - 5); б)9(х - 3) - 4(7 - 3х) - 3 = –8х;

в)3х²(х + 1) - (3х³+ 3х² + х – 1) = 0; г)1,2х(х + 2) – 3(0,4х²+ 1) = 0,6.

407. а) б)

408.а) б)

409.Сума двох чисел дорівнює 10, а сума їх добутку і квадрата меншого
числа дорівнює 15. Знайдіть ці числа.

410.Знайдіть площу прямокутника за такими даними: його довжина у 2,4 разу більша від ширини; якщо ширину прямокутника збільшити на 2 см, то площа збільшиться на 24 см².

411. Дано три ділянки прямокутної форми. Довжина першої ділянки удвічі більша від її ширини. Друга ділянка має таку ж ширину, як перша, а
довжину на 4 м більшу, ніж перша. Третя ділянка має таку ж довжину, як перша, а ширину на 4 м більшу, ніж перша. Знайдіть площу першої ділянки, якщо площа другої ділянки менша від площі третьої на 40 м².

Рівень В

412. Спростіть вираз (n ¾ натуральне число):

а)xⁿ^{+ 2}(xⁿ^{+ 3} - 1) - xⁿ(xⁿ^{+ 5} - x²);

б)аⁿ^{+ 1}(аⁿ^{+ 1} - 4) - аⁿ(аⁿ^{+ 2} – 4a + 1);

в)xⁿ(xⁿ⁺¹(xⁿ^{+ 2} + xⁿ^{+ 1}(x² - x + 1))).

413.Доведіть тотожність:

а(1 + а + а²+ … + а⁹ + а¹⁰) - (1 + а + а²+ … + а⁹ + а¹⁰) = а¹¹- 1.

414.Доведіть, що значення виразу

3xⁿ^{+ 2}уⁿ^{+ 1}(2x²у³ - 4xу + 6) - 2xⁿ^{+ 1}уⁿ(3x³у⁴ - 6x²у² + 9ху),

де n ¾ натуральне число, не залежать від значень x і у.

415. Учні 7 класу прийшли до театру. В антракті всі вони побігли в буфет. Кожен хлопець купив пиріжок, а кожна дівчина ¾ булочку. Якби кожна дівчина купила пиріжок, а кожен хлопець ¾ булочку, то вони разом витратили б на 50 к. менше. Пиріжок дорожчий від булочки на 10 к. Кого було більше — хлопців чи дівчат — і на скільки більше?

416.У банці було 3 л спирту. З неї відлили х л спирту і долили таку ж кількість води. Потім, коли спирт і вода змішалися, з банки відлили х л суміші. Скільки літрів спирту залишилося в банці?

Вправи для повторення
418.З міста А до міста В одночасно виїхали легковий автомобіль і автофургон. Коли через 2,5 год легковий автомобіль прибув до міста В, автофургону… 419*.Пірати захопили скриню із золотими монетами й вирішили поділити здобич… 420.Виконайте множення одночленів:
Множення многочлена на многочлен
(a + b)(c + d) = (a + b)x = ax + bx. Повернувшись до заміни х = c + d, матимемо: ax + bx = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Усно

422.Виконайте множення:

a)(a+ 2)(b + 1); б) (a+ b)(c- d); в)(x+ y)(a + b - c).

Рівень А

Перемножте многочлени:

423. а)(x+ 2)(y + z); б)(b+ а)(c - 3);

в)(m- 4)(n + k); г) (a - b)(x - y);
д) (2a - 3b)(2с + 5); е) (4a + 6b)(3d - 2c);

є) (x + y)(a - 5b + 2); ж) (2 - c)(a - b - 2); з) (m- n + 1)(k + l).

424.а)(a + b)(c + 3); б)(2x + y)(3 - 3z); в)(a - 2b)(3х- 4y);

г) (m + n)(a - b + 1); д) (a + b - 2)(с + 5); е) (2x- y - 1)(a - 3b).

Перетворіть вираз у многочлен стандартного вигляду:

425. a)(a+ 3)(4a - 3); б)(5b - 4)(3b- 2);

в)(a²+ 3a - 4)(3a- 2); г)(n - m)(n + 4m);

д)(a- 6b)(2a- b); е)(4c - 3d)(3c+ d).

426. а) (а - 2)(а + 3); б) (3x+ 2)(2x- 1);

в)(a+ 5b)(a- b); г)(4x - 3y)(x- 2y).

Спростіть вираз:

427. а)(3a - 4)(2a+ 1) + 5a; б)(y+ 3)(y - 4) - y(y - 1);

в) (2x- 5)(2x+ 3) - 4(x²- x); г) (a²+ a - 2)(а+ 3) + 6 - 4а²;

д) (a+ b)(a-3b) + 2ab; е) (-х + 4y)(2x - y) + 2x²- 9xy.

428.а)(x+ 2)(2x+ 3) - 2x²; б)(a - 4)(3a- 4) + 16a - 16;

в)(a+ 2b)(3а- 4b) + 3аb- 3а²; г) -7mn + (m + 5n)(2m - 3n).

Розв’яжіть рівняння:

429. а)(х - 1)(х + 2) - x²= 3; б) (2y - 1)(2 - y) + 2y² = 1.

430. а)(х + 3)(х - 1) - х² = 5; б) 5х²+ (1 - х)(5х + 2) = 5.

Рівень Б

Перетворіть вираз у многочлен стандартного вигляду:

431. а) (-3а + 2)(2а²+ 2a - 3); б) (3x² - 2x + 1)(2x² + 5x);

в) (n² - n + 3)(n² + 2n + 2); г)(2b² - 3b - 2)(4b² + b - 4);

д)(c + 2)(c + 3)(c -5); е) (2x + 1)(2x - 5)(x²+ 3x + 2);

є) ж)

432.а) (4а + 3)(а²- 4a + 2); б) (b² - 2b + 3)(3b² - 2b + 1);

в) (x - 2)(x + 5)(x - 4); г) (2y - 3)(y+ 2)(4y² + 3y - 3);

д) е)

433. а) (а + b)(а²+ 5ab - b²); б) (4x² - 3xy + y²)(2x - 7y);

в) (3n² - 2nm - m²)(3n - 2m); г) (3a - 2b)(а - 2b)(a² + 2ab).

434.а) (2x + y)(x²+ 2xy - 2y²); б) (a - b)(а + 2b)(3a - 2b).

Спростіть вираз:

435. а)(3a- 1)(2a+ 5) + (2a- 5)(3a+ 1);

б)(x + 7)(8x- 1) - (2x+ 3)(4x- 1);

в) (a- 2)(1 - 2a+ 2a²) - 2(a³- 3a² - 1);

г)(a² - 2ab + 4b²)(a + 2b) - a³- b³;

д)(3xy²- 7x²y)(3xy²- 2x²y)+ (3xy)³- (3xy²)².

436.а)(4x- 3)(3x+ 4) + (2x- 3)(3x+ 1);

б)(2b - 7)(4b- 1) - (8b- 3)(b + 1);

в) (x + 3y)(x² - 3xy + 9y²) - 18y³;

г)(a + b)(a + b - 1) - a(a - 1) - b(b - 1).

Розв’яжіть рівняння:

437. а)(х - 1)(х - 3) = (х - 2)(х + 3);

б) (2y - 1)(1 - y) + (y + 1)(2y - 3) = 0;

в) (0,5х - 3,5)(6х + 2) + 30х = 3х(х - 3) - 26;

г)

438.а)(х + 6)(х - 4) = (х - 5)(х + 4);

б)(0,5x + 7)(4x- 1) - (x+ 14)(2x- 1) = 9;

в)

Доведіть, що значення виразу не залежать від значень х:

439. а)(х + 1)(х + 4) - (х + 2)(х + 3);

б) (1 - х)(2 - х)(3 - х) + (x - 4)(x² - 2x + 3).

440. (х - 3)(x² + 7x - 3) - (х + 2)(x² + 2x - 28).

Доведіть, що для кожного цілого значення k значення виразу:

441. (2k + 1)(3k + 2) - (2k - 1)(3k - 2) ділиться на 14.

442. (3k + 2)(4k - 3) - (2k + 3)(k - 2) ділиться на 10.

443.Доведіть, що вираз (а² + 3)(а²- 1) - (а² + 4)(а²- 2) набуває лише додатних значень.

Доведіть тотожність:

444. а)(х+ 3)(х²- 1) = (х²+ 2х - 3)(х+ 1);

б) (a - b)(b - c)(c - a) = ab(b - a) + bc(c - b) + ca(a - c).

445.а)(а + 2)(а²- 2а - 3) = (а- 3)(а²+ 3а + 2);

б)(a + b)(b - c) - (a - b)(b + c) = 2(b² - ac).

446.Знайдіть три послідовних цілих числа, квадрат найменшого з яких на 11 менший від добутку двох інших чисел.

447.Довжина прямокутника в 1,8 разу більша від ширини. Якщо довжину прямокутника збільшити на 3 см, а ширину зменшити на 2 см, то площа зменшиться на 9 см². Знайдіть довжину і ширину прямокутника.

448.Довжина прямокутника на 4 см більша від ширини. Якщо довжину прямокутника зменшити на 1 см, а ширину збільшити на 2 см, то площа збільшиться на 10 см². Знайдіть довжину і ширину прямокутника.

Рівень В

449. Спростіть вираз (х - а)(х - b)(х - с)...(х - z), що є добутком 26 множників, у яких від змінної х віднімаються змінні, позначені всіма 26 буквами латинського алфавіту.

450. Спростіть вираз (n ¾ натуральне число):

а)(aⁿ+ bⁿ)(aⁿ - bⁿ + 1) - a²ⁿ+ b²ⁿ; б)(1 + 2ⁿ^{+ 1})(5 - 2ⁿ^{+ 1}) + 4ⁿ^{+ 1}.

451. Доведіть тотожність:

а)(a + b + c)(a²+ b²+ c²- ab - bc - ca) = a³+ b³+ c³- 3abc;

б)a³+ b³+ c³= 3abc, якщо a+ b+ c= 0.

452. а)Одне із цілих чисел при діленні на 6 дає в остачі 2, а друге ¾ в остачі 3. Доведіть, що добуток цих чисел ділиться на 6 без остачі.

б)Числа a, b і c при діленні на 4 дають відповідно в остачі 1, 2 і 3. Доведіть, що число abc + 2 ділиться на 4 без остачі.

453.Дано чотири послідовних цілих числа. Що більше — добуток найменшого і найбільшого із цих чисел чи добуток інших двох чисел — і на скільки більше?

454. Дві ділянки прямокутної форми мають рівні площі. Довжина другої ділянки на 2 м менша, ніж довжина першої, а ширина другої ділянки на 1 м більша, ніж ширина першої. Доведіть, що довжина першої ділянки удвічі більша від ширини другої.

455.Дано два многочлени:

х⁴ + 987х³ – 876х² + 765х – 654 і 9876х⁴ – 9800х² – 75.

Чому дорівнює сума коефіцієнтів многочлена стандартного вигляду, який є добутком даних многочленів?

Вправи для повторення
457.Моторний човен проплив 72 км, рухаючись 3 год проти течії річки і 2 год — за течією. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість човна у… 458.Від пристані А до пристані В катер плив на 20 хв довше, ніж від В до А.… 459. Розв’яжіть рівняння:
Усно

462.Знайдіть спільний множник членів многочлена:

a)8+ 4b; б)15х - 10; в) 3а+ 3ab;

г) а² - 2а; д) mn - n² + n; е) 18a⁴b³ - 6a²b².

463.Чи правильно розкладено на множники многочлен:

а)6a+ 6 = 6(a + 0); б)6a+ 6 = 6(a + 6); в) 6a+ 6 = 6(a + 1);

г) 4xy- 2y= y(4х- 2); д) 4xy- 2y= -y(-4х+ 2); е) 4xy- 2y= 2y(2х- 1)?

Рівень А

Винесіть за дужки спільний множник:

464. а)3a+ 3b; б)3a+ 6; в)9a- 18b;

г)-6a+ 6b; д)3y²+ 3y- 6; е) -15с- 10.

465.а)5a+ 5; б)5a+ 15b; в)15x- 25y;

г)2x- 4y + 8z; д)-7k+ 7m; е) -4m- 2n.

Розкладіть на множники і зробіть перевірку:

466. а) 4а+ 12; б) 5аb+ 10а; в) 4аb- 2b.

467.а) 2b - 8a; б) 6xy + 24x; в) 9mn- 6m.

Розкладіть на множники:

468. а) ax+ bx; б) ym - yn;в) -ca + cb; г) -xz- yz.

469.а) km+ kn; б) -xa + ya;в) -bx - ax; г) ta- tb.

470. а) 9ах - 9bx; б) 3ay - 6y; в)-7аb + 14b;

г) 10x² - 15х³; д) 32b² - 24b⁴; е) -8c³- 10c⁵.

471.а) 5хy - 5y; б) 8ac - 6ab; в)c² + c⁵;

г)3x² + 9x; д) 15y² - 12y⁴; е)-24n - 18n³.

472. a) а³ + 3а²- 10a; б) 4x⁵ - 8x³+ 4x²; в) -9a⁵ - 27a³ + 18a⁴.

473.a) 2x⁴ - x³- x²; б) 2c - 4c²+ 8c³; в) -5b⁴ + 10b²+ 5b⁵.

Знайдіть значення многочлена:

474. а)х³- 1,5x², якщо x = 2,5; б) xy + y², якщо x = -0,3; y = 10,3.

475. а)2,4a²- a³, якщо a = 1,4; б) m² + mn, якщо m = 2,8; n = 7,2.

Розв’яжіть рівняння:

476. а)х² - 5х = 0; б)5х² + 15х = 0.

477.а)х² + 2х = 0; б)4х - 2х² = 0.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

478. а) a²b³ + ab⁴- a²b⁴; б) 36x⁴y³- 48x⁶y⁴;

в) 24a²b³ - 16a³b³ - 40a³b²; г) -3m⁴n⁶+1,2m⁵n⁵ - 4,2m⁵n⁶;

д) х³y⁴z² - х²y³z³ + х³y³z⁴; е) abc²+ ab²c - a²bc.

479.а) 2x⁴z³ + 4x⁴z⁴- 4x⁴z⁵; б) 45a⁴b² - 60a³b³ + 75a²b⁴;

в) -3,6m²n⁵ + 5,4m³n⁴ - 9m²n⁴; г) х⁵y³z⁴ - х³y⁵z⁴ + х³y³z⁵.

480. а) a(m + k)- b(m + k); б) 2a(x - y)+ 3(x - y);

в) x(a - 2b + 1)+ y(a - 2b + 1); г) m(a - b)+ 3(b - a);

д) a²(n - 3)- 5(3 - n); е) (x - 2)²+ 4(x - 2);

є) 2x(a - b)- (a - b)²; ж)4x(a + b)+ 2х(a + b)².

481.а) m(x - k)- n(x - k); б) c(a + b + 2)+ 3(a + b + 2);

в) a(s - t)+ b(t - s); г) 2(a - b)- x(b - a);

д) (m - 4)²- 5(m - 4); е) x(m - n)+ 2(m - n)².

Знайдіть значення многочлена:

482. а) xy²- y², якщо x = 3; y = 0,5;

б) а² + ab - а, якщо а = b =

483. а) m²n + m², якщо m = -0,5; n = 88;

б) ху - у² + у, якщо х = у =

Розв’яжіть рівняння:

484. а)4y + 0,2y² = 0; б)0,6х² - 0,24х = 0; в) х² - х = 0.

485.а)0,4х - 2х² = 0; б)1,5х² + 0,3х = 0; в)х - х² = 0.

Доведіть, що значення виразу:

486. а)19⁸ - 19⁷ ділиться на 18; б)49⁹ + 49¹⁰ ділиться на 50;

в)3× 7⁶ - 7⁵ ділиться на 20; г)3¹⁰ + 2× 3¹² + 3¹¹ ділиться на 22.

487. а)11⁹ + 11⁸ ділиться на 12; б)5¹² - 2× 5¹⁰ ділиться на 23.

Рівень В

488.Винесіть за дужки спільний множник:

а) aⁿ + aⁿ^{+ 2}; б) 2ⁿ^{+ m} + 2ⁿ; в)4a²ⁿ - 4aⁿ;

г)a²ⁿbⁿ + aⁿb²ⁿ; д) хⁿ + 2хⁿ^{+ 2}+ 3хⁿ^{+ 3}; е)х^2m + 2х^m + х^m^{+ 2}.

489. Доведіть, що значення виразу:

а)15× 16⁷ - 4¹⁴ ділиться на 14; б)3× 2¹⁵ + 2¹² - 2¹⁴ ділиться на 21.

490.Доведіть, що коли:

а) a + b = 4, то a³b² + a²b³- 4a²b²= 0;

б) a² + b² = 3ab, то a⁴b² + a³b³+ a²b⁴= 4a³b³;

в) x + y + 2 = xy, то x⁴y⁴ - x³y⁴- x⁴y³ = 2x³y³.

491. Номер автобусного квитка складається з шести цифр. Квиток вважають «щасливим», якщо в його номері сума перших трьох цифр дорівнює сумі трьох останніх. Доведіть, що:

а) якщо квиток з номером є «щасливим», то й квиток з номером — «щасливий»;

б) сума номерів «щасливих» квитків і ділиться на 1001;

в) сума номерів усіх можливих «щасливих» квитків ділиться на 1001.

Вправи для повторення
493.Автомобіль мав проїхати деякий шлях, рухаючись зі швидкістю 70 км/год. Якби він їхав зі швидкістю на 5 км/год більшою, то здолав би цей шлях на… 494. Перемножте многочлени: а)(5a – 7b)(4 – b); б) (x2 – y)(7x – y3);
Усно

497.Вкажіть у кожному многочлені групи членів, які мають спільний множник, та назвіть цей множник:

a)ax+ аy + 5x+ 5y; б)2a- 2b + an- bn.

Рівень А

Розкладіть на множники:

498. a)ax+ ay+ 4x + 4y; б)7х + by + 7y + bx;

в)6m- 6n+ am- an; г)6m- 6n- am+ an;

д)ma - na + mb - nb; е)5a - bх - 5b + aх;

є)a + 2nb - b - 2na; ж)4ay+ 3 - 3y- 4a.

499.a)2a+ 2b+ xa + xb; б)ma - mb + 3a - 3b;

в)ka- kb- 5a + 5b; г)6c- ac- ab + 6b;

д)x + y - bx - by; е)7am - 7m + 5ax - 5х.

500. а)a³+ a²+ a + 1; б) x³– 4x²+ 2x – 8;

в) b² - ab - 2b + 2a; г) 10x + xy + 10y + x²;

д) 3a - ax + 3x - x²; е) xya - xy + 5a - 5.

501.а)x³+ 2x²+ x + 2; б) a⁶+ 5a⁴+ 5a² + 25;

в) a² + 2ab + 3a + 6b; г) x²+ 3xa - 2x - 6a.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

502. а)a²+ b²- a³y- ab²y; б)b²n + y² - bny - by;

в)3а²c+ 6а²- 10bc- 5bc²; г)12x²+ 18y+ 10x³+ 15xy;

д) 0,9ay + 1,2y²- 1,2ax- 1,6xy; е) x²yz - x + xy²z²- yz.

503.а)x²y²+ 2y³- ax²- 2ay; б)2a²b + 2c - 4abc - a;

в)6x³y+ 12y²z²+ 9y³+ 8x³z²;г) 0,2mn³- 1,5m²+ 0,6m³n- 0,5n².

504. а)хa- хb+ хc+ 3a- 3b+ 3c; б)ax²- ay² + 4az- 4bx² + 4by²- 16bz;

в)-5a - 5b+ 3na+ 3nb - ma- mb; г)bn²+ cn²- bp+ bp²- cp+ cp².

505.а)a²b+ a + ab²+ b+ 2ab+ 2; б)сa - cb+ c+ ad - bd+ d;

в)2a³+ 2a²b+ 2ab+ 2b² - a - b.

Знайдіть значення виразу:

506. а)p³+ pq²- p²q- q³, якщо p = 1,5, q = 0,5;

б) 2a³- 6ab+ a²b- 3b², якщо a = 8, b = 21;

в)4x³+ 4x²y- 4x²+ 3y³ + 3xy²- 3y², якщо x = y = .

507.а)2a²+ ac- 2ac²- c³, якщо a = 17, c = 4;

б) m³+ m²n - 10m + n³ + n²m - 10n, якщо m = n =

Рівень В

508.Розкладіть на множники: a³ - a² + b³ - b² + a²b + b²a.

509.Дано многочлен x³- х²+ 3x - 3. Доведіть, що для x > 1 він набуває лише додатних значень.

510.Для яких значень х значення многочленна
3x³- 9х²+ 4x - 12 додатні; від’ємні?

511.Розв’яжіть рівняння: (x² - х)(6 + 5x + x²) = x³(х+ 4)- 5.

512.Розкладіть на множники тричлен:

а)a²- 7a+ 10; б)x² + 5x + 4;

в) x²+ 3xy + 2y²; г) а²- 7аb + 12b².

Розв’яжіть рівняння:

513. а) x² - 3x + 2 = 0; б)х²+ 8х+ 15 = 0.

514. а) (x- 2)²+ 6(x- 2)+ 8 = 0; б) (x²- 5x)²+ 10(x²- 5x)+ 24 = 0.

Вправи для повторення
а)33 × 93 - 273; б)45 × 0,255 + 23 × 43 × 0,253; в) 25(26 - 1) - 23(28 - 22); г)33(33 - 4) - 32(34 + 4). 516.За 3 товстих i 5 тонких зошитів Олег заплатив 5 грн. 60 коп. Товстий зошит дорожчий від тонкого на 80 коп. Скільки…
ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕНЕЯ
Помножимо різницю а - b на суму a + b: (a - b)(a + b) = a2 + аb - ab - b2 = a2 - b2. Отже,
Усно

542.Вкажіть правильну рівність:

a)(a- 2b)(a+ 2b) = a²- 2b²; б) (a- 2b)(a+ 2b) = a²+ 4b²;

в)(a- 2b)(a+ 2b) = (a- 2b)²; г)(a- 2b)(a+ 2b) = a²- 4b².

Рівень А

Перемножте многочлени:

543. а)(k- n)(k + n); б)(m- 4)(m + 4);

в)(1 - b)(1 + b); г) (4a + 5b)(4a - 5b).

544.а)(b + c)(b - c); б) (4 + n)(4 - n); в) (3y - 2z)(3y + 2z).

545. а)(b + a)(-a + b); б)(x + y)(-x + y); в)(-1 + b)(1+ b).

Запишіть у вигляді многочлена:

546. а)(y²- 1)(y² + 1); б)(2+ b³)(2 - b³); в)(m- 3m²)(m + 3m²);

г) (2ab + 5)(2ab - 5); д) (4n² + k)(-4n² + k); е) (-a² + 3b)(a² + 3b).

547.а)(a² + 3)(a² - 3); б)(2x³ - 7)(2x³ + 7); в)(6 - 5zt)(6+ 5zt);

г) (-2 + c)(2 + c); д) (4x + 3y)(-4x + 3y); е) (–2a+ 5b)(2a + 5b).

548.Знайдіть значення виразу (x- y)(x + y), якщо:

а)x= 100 і y = 2; б)x= 10 і y = 0,2; в)x= 1 і y = 0,02.

Обчисліть:

549. а)99 × 101; б)198 × 202; в)53 × 47; г) 85 × 95;

д) 10,2 × 9,8; е) 7,7 × 8,3; є) 1,02 × 0,98; ж)4,95 × 5,05.

550.а)49 × 51; б)73 × 67; в)20,5 × 19,5;

г) 9,6 × 10,4; д) 5,03 × 4,97; е) 1,96 × 2,04.

Рівень Б

Спростіть вираз:

551. а)(a + 1)(a - 1) + (2 - а)(2 + a);

б)(b + 3)(b - 3) - (b - 2)(b + 2);

в) (5x- 2x²)(5x+ 2x²) - 25x²;

г)c⁴ - (c² + 8c⁴)(c²- 8c⁴);

д)(3ab- 4c²)(3ab+ 4c²) + (2c)⁴;

е)(-a + 2b)(a + 2b) - (2b + 3a)(2b - 3a);

є) (4- 3b²)(4 + 3b²) - (2- 3b)(8 + 3b³).

552.а)(x + 3)(x - 3) - (x - 4)(x + 4); б) (5- 2с)(5+ 2с) - 2с(1 - 2с);

в)а²(а² +7)(а²- 7) + 49а²; г)(-xy- 2z²)(-xy+ 2z²) - (xy)²;

д)(a + b)(a - b) + (b + c)(b - c) + (c + a)(c - a).

553. а) б)

в) г)

554.а) б)

555. а)(b + 1)(b - 1)(b² + 1); б)(2x - 1)(2x + 1)(4x² + 1);

в)(2 - y)(2 + y)(4 + y²); г) (4 + 3n)(-4 + 3n)(16 + 9n²);

д) (y - 2z)(y + 2z)(y² + 4z²); е) (a - 1)(a + 1)(a² + 1)(a⁴+ 1).

556.а)(3 - c)(3 + c)(9 + c²); б)(z + 5)(z - 5)(z² + 25);

в)(4x - y)(4x + y)(16x² + y²); г) (2 + 3k²)(-2 + 3k²)(9k⁴+ 4).

557. Доведіть, що для кожного цілого значення n значення виразу (8n + 5)(8n - 5) - (7n - 5)(7n + 5) ділиться на 15.

558. Доведіть, що значення виразу (4х + 3)(4х - 3) - (4х - 5)(4х + 5) не залежать від значень x.

Розв’яжіть рівняння:

559. а)(y- 3)(y + 3) + y(2 - y) = 1; б)(2x- 0,5)(2x + 0,5) = x(4x - 0,5);

в) х² + (-4 - х)(-4 + х) = 8(х + 1); г) (-z² + 1)(z² + 1) = 1 - z(1 + z³).

560.а)2x(1 - 8x) + (4x- 1)(4x + 1) = 0; б)(2 - 3y)(2 + 3y) = (9y- 2)(2 - y).

Рівень В

561.Спростіть вираз:

а)(a + b - c)(a - b) + (b + c - а)(b - c) + (c + a - b)(c - a);

б)(a - b)(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶).

562.Доведіть тотожність

(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸) = a¹⁶ - b¹⁶,

якщо a - b = 1.

563.Доведіть, що (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) = 2³² - 1.

564.Розв’яжіть рівняння (x - 1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1) = x⁸ + x.

565. Дано квадрат і прямокутник. Довжина прямокутника на 2 см більша, а ширина — на 2 см менша, ніж сторона квадрата. Що більше — площа квадрата чи площа прямокутника?

Вправи для повторення
567.Вкладник вніс до банку 4000 грн. За перший рік йому нарахували 8% річних, а потім банківський відсоток збільшився. У кінці другого року на… 568*.Сплав міді й цинку, загальна маса якого дорівнює 3,6 кг, містить 45%… 569. Замініть степінь добутком і запишіть одержаний добуток у вигляді многочлена:
Усно

571.Піднесіть до квадрата двочлен:

a)x+ y; б) x- y; в)a+ 1; г)a- 1.

Рівень А

Піднесіть до квадрата:

572. а)(k + n)²; б)(b+ 2)²; в)(с- 4)²;

г) (3 + a)²; д) (5 - b)²; е) (a + 15)²;

є) (x - 0,5)²; ж) (1,2 - c)²; з) (n + 2,5)².

573.а)(b - c)²; б)(x + 4)²; в)(а - 2)²;

г) (3 - n)²; д) (0,3 + z)²; е) (1,5 - b)².

574. а)(2a + 1)²; б)(2с- 5)²; в)(3 - 4a)²;

г) (4c - 0,5)²; д) (2b - 0,5c)²; е) (5х - 0,2)².

575.а)(3b - 1)²; б)(5z + 2)²; в)(6а + b)²;

г) (4x - 5y)²; д) (0,3a + 10b)²; е) (8b - 0,5)².

Спростіть вираз:

576. а)(a + 1)² + (a - 1)²; б)(b + 2)² - 4(b + 1);

в) (5- 2x)² - 25 - 4x²; г)x² - 1 - (x- 1)².

577. а)(4- b)² + 8b - b²; б)(x + 2)² + (x - 2)².

Розв’яжіть рівняння:

578. а)(х + 2)² - х² = 8; б)(x - 3)²- x² = 21.

579.а)(x - 1)² - x² = 11; б)(x + 4)² - x² = 24.

Рівень Б

Піднесіть до квадрата:

580. а)(-b + c)²; б)(-x - y)²; в)(-2а + 3)²;

г)(-4x + 5y)²; д)(-2m - 10n)²; е)(-2,5а + 4)².

581.а)(-m - n)²; б)(-b + 5)²; в)(-3x + y)²;

г)(-4c - 3d)²; д)(-k - 1,5)²; е)(-0,5z + 2)².

Подайте у вигляді многочлена стандартного вигляду:

582. а)(y² + 1)²; б)(2 - х³)²; в)(2m- m²)²;

г) (-4a² + a)²; д) (4a² - аc)²; е) (-4a² - 3b)².

є) (-m² - 0,5nk)²; ж) з)

583.а)(a² + 2)²; б)(2b³ - 4)²; в)(-2x - x²)²;

г) (-2a² + 5аb)²; д) е)

Піднесіть до квадрата:

584. а)(а - b + 1)²; б)(3с - 2а + 3)²; в) (3 - x - 2х²)².

585.а)(2 - x + y)²; б)(-2m + 1 - 3n)²; в)(а²+ 5а + 4)².

Доведіть тотожність:

586. а)(a+ b)²- (a- b)²= 4ab;

б)(2xy)²+ (x²- y²)²= (x²+ y²)²;

в)(a + b + c)² = a² + b²+ c² + 2ab + 2ac + 2bc.

587.а)(a+ b)²+ (a- b)²= 2(a²+ b²);

б)(a - b + c)² = a² + b²+ c² - 2ab + 2ac - 2bc.

Спростіть вираз:

588. а)(2a - 1)² - (2a + 1)²; б)(x² + 1)² - x²(x² + 2);

в)(2n - 1)² + (2n)² + (2n +1)²; г)(a + b- 4)²+ 8(a + b- 2).

589. а)(-a + 2b)² + (a + 2b)²; б)(x² - 3)² + (3x - 1)(2x + 9);

в) (а- b + 1)² - 2(1- b)(1 + а).

Розв’яжіть рівняння:

590. а)(5х+ 4)² = (1 - 5х)²; б)(3x- 5)(3x + 5) = 7 + (3x - 4)²;

в) (2y+ 3)² - (4у - 2)(у - 6) = 16; г) (3x - 1)² + (4x - 1)² = (5x - 1)².

591.а)(2x - 3)² - 3 = (2x + 1)²- 11; б)16y² - (4у - 3)² = 15y- 90;

в)3(x - 1)² - (2 - x)(2 + x) = (2x - 1)².

Рівень В

592.Піднесіть до куба:

а)(а + 1)³; б)(2х - у)³; в) (3m + 4n)³.

593.Спростіть вираз:(a¹⁰ - b¹⁰)²(a¹⁰ + b¹⁰)² - (a²⁰ + b²⁰)².

594.Доведіть, що для кожного натурального значення n значення виразу (5ⁿ + 2)² - 2(5ⁿ + 2)(5ⁿ - 2) + (5ⁿ - 2)² ділиться на 16.

595.Доведіть, що вираз (x² + ху+ y²)² - (x + у)⁴ + 2ху(x + у)² набуває лише невід’ємних значень.

596.Ціле число при діленні на 7 дає в остачі 3. Яку остачу при діленні на 7 дає квадрат цього числа?

597.Ціле число m не ділиться на 5. Доведіть, що число m⁴ - 1 ділиться на 5.

598.Число а є квадратом деякого натурального числа. Чи може запис числа а закінчуватися двома шістками?

Вправи для повторення
600.Одне із чисел на 80% більше від іншого. Якщо від більшого числа відняти 3,4, а до меншого додати 2,2, то одержимо однакові результати. Знайдіть… 601.Робітник і його учень виготовили 81 деталь, до того ж, робітник виготовив… 602. Подайте у вигляді квадратів числа: 81; 441; 625; 3,24; 0,09; 0,36;
Усно

605.Розкладіть на множники:

a)x²- y²; б)p²- 4; в)16- c².

Рівень А

Розкладіть на множники:

606. a)a²- 9; б)b²- 1;в)1 – x²;

г)16- y²; д) 4z² – 36; е)49a²- 9b²;

є)100x²- 121y²; ж)9- a²b².

607.a)b²- 25; б)9c²- 1;в)25- 64y²;

г)36m²- 49n²; д)400- z²; е)81p²- 121q².

Обчисліть:

608. a)45²- 44²; б)81²- 71²;в)138²- 38²; г)6,7²- 3,3².

609.а)29²- 28²; б)205²- 105²;в)78²- 22²; г)9,5²- 8,5².

Знайдіть значення виразу:

610.x²- y², якщо x = 42 і y = 32; x = 2,8 і y = 7,2; x = 54 і y = -46.

611.m²- n², якщо m = 116 і n = 16; m = 5,7 і n = -4,7.

Розв’яжіть рівняння:

612. а) x² - 4 = 0; б)25x² - 16 = 0.

613. а) y² - 36 = 0; б) 100x² - 49 = 0.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

614. а)а⁴- b²; б)25m²- 64n⁸; в)36- 4а⁶с²;

г)0,01- 6,25х⁸у¹⁰; д) a²- 16x⁴y⁸;е) - 0,81a⁴b⁸c¹².

615. а)4a⁸- 25b²c²;б)1,96m²⁰- 0,09n²; в) a⁸b⁴c²- х⁶.

616. а) (a + 2)² - 1; б) (3b - 1)² - 4; в) 16 - (3b + 2)²;

г) (2a - 5)² - 25b²; д) (4x + 3)² - (3x + 2)²; е) (a - 3b)² - (3a + 5b)².

617.а) (2х - 1)² - 9; б) 4a² - (4a + 3)²; в) (4х - y)² - (5x - 2y)².

Знайдіть значення виразу:

618.а²- 4b², якщо a = 3,28 і b = 3,36; a = і b = .

619.9p²- q², якщо p = 2,3 і q = -1,9; p = і q = .

Розв’яжіть рівняння:

620. а) (x + 3)² - 1 = 0; б) (5y - 2)² - 9 = 0;

в) (3z + 5)² - 4z² = 0; г) (2x - 3)² - (3x + 3)² = 0.

621. а) (2x - 5)² - 1 = 0; б) (4y - 7)² - (y + 2)² = 0.

622.Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

а) 4575²- 1425² на 1000;б) 843² - 257² на 200.

Рівень В

623.Візьмемо два числа a і b, що дорівнюють одне одному: a = b. Обидві частини рівності помножимо на a і потім віднімемо від обох частин b². Отримаємо:

a² = ab; a² – b² = ab – b²; (a + b)(a – b) = b(a – b).

Звідси a + b = b. З одержаної рівності, врахувавши, що a = b, матимемо:

b + b = b; 2b = b; .

Отже, отримали, що будь-яке число дорівнює своїй половині.

Знайдіть помилку в проведених міркуваннях.

624.Доведіть, що для будь-якого цілого значення k значення виразу (4k+ 2)² - (4k- 2)² ділиться на 32.

625.Розкладіть на множники:

а)a⁸- b⁸; б)1 - х¹⁶.

626.Розв’яжіть рівняння:

а) x⁴ - 16 = 0; б)x⁸– 1 = 0;

в) (х²+ 4х - 7)² - (х²+ 4х + 7)² = 0.

627.Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, одне з яких при діленні на 5 дає в остачі 3, а інше ¾ 2, кратна 5.

Вправи для повторення
а) б) 629.Батькові 36 років, а синові ¾ 12. а)Через скільки років батько буде удвічі старший від сина?
Усно

632.Розкладіть на множники:

а)x²+ 2xy + y²; б)x²- 2xb + b²; в)x²+ 2x + 1.

Рівень А

Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена:

633. а)p²+ 2pq + q²; б) c²- 2c + 1; в) b² + 4b + 4; г) x²- 6x + 9; д) 36+ 12b + b²; е) 25+ z²- 10z.

634. а) 4a²- 4a + 1; б) 16x²+ 8x + 1; в) 1- 14b + 49b²;

г)4x²+ 12x + 9; д) 25b²- 20b + 4; е) -40b + 16 + 25b².

635. а)4x²+ 4xz + z²; б) m²- 6mn + 9n²; в) 16a²- 8ab + b²;

г) 4c²+ 12ca + 9a²; д) 49x²- 28xy + 4y²; е) 25p²+ 9q²- 30pq.

636.а)x²+ 4x + 4; б) a²- 10a + 25; в) 16- 8b + b²;

г) 9k²- 6k + 1; д) 4b²+ 16b + 16; е) 64- 80s + 25s²;

є) 16a²+ 8ab + b²; ж) 25m²- 20mn + 4n²; з) 9b²+ 16c²- 24bc.

Знайдіть значення виразу:

637. а)x²- 4x+ 4, якщо x = 12; x = 2,1; x = -18;

б) 9a²- 6a+ 1, якщо a = 7; a = -33.

638. 4a²+ 4a+ 1, якщо a = 4,5; a = -5,5.

Рівень Б

Розкладіть на множники:

639. а)0,25m²+ 2mn + 4n²; б) 0,36c²- 0,6cx + 0,25x²;

в)6,25х²+ 1,5xyz + 0,09y²z²; г) 196а⁴x⁴- 2,8a²b²x²y⁴ + 0,01b⁴y⁸;

д)х²+ х + е)a²- a+ .

640.а)0,01a²+ 4ab + 400b²; б) 0,64x²- 0,32xy + 0,04y²;

в)1,44m⁴n²- 1,2m²nk³ + 0,25k⁶; г)p²- p+ .

Знайдіть значення виразу:

641. а)4x²+ 4xy+ y², якщо x = ; y = ;

б) а²- 3а + 2,25, якщо a = 11,5; a = -7,5.

642.m²- 6mn + 9n², якщо m = ; n = .

Розв’яжіть рівняння:

643. а) х² - 8х + 16 = 0; б) у² + 12у + 36 = 0.

644. а) z² - 6z + 9 = 0; б) x² + 10x + 25 = 0.

Рівень В

645.Знайдіть таке число b, для якого даний вираз є квадратом двочлена:

а) 64х² + 80х + b; б)

646.Подайте многочлен у вигляді суми квадратів двох виразів:

а)2у²+ 2y+ 1; б) а⁴+ 3а² + 1;

в)а² + b² + 2a + 2b + 2; г)m² + 2mn + 2n² + 2n + 1.

647.Подайте многочлен 9х² + 6ху + 2у² + 4у + 4 у вигляді суми квадратів двох виразів. Для яких значень х та у значення цього многочлена дорівнює нулю?

648.Розв’яжіть рівняння: (х²+ 4х + 4)² - (х + 2)⁴ = 0.

Вправи для повторення
а) (a2bc2)2 × b2, якщо a = 4; b = -0,3; c = 0,25; б) (5а3b)2 × аb5, якщо а = 0,2; b = 5. 650. Для яких значень х значення виразу (2х + 1)2 - 4(х2 + 3х) дорівнює: 1; -1?
Усно

655.Назвіть неповний квадрат різниці виразів:

a)xі y; б)cі d; в)pі 1; г)2 і c.

656.Назвіть неповний квадрат суми виразів:

a)m і n; б)pі q; в)a і 1; г)3і x.

557.Розкладіть на множники: a)x³ - y³; б)m³ + n³.

Рівень А

Розкладіть на множники:

658. a)p³ - q³; б)b³- 1;в)x³- 27; г)64- y³;

д)b³ + c³; е)a³+ 8;є)1+ y³; ж)125+ b³.

659.a)m³ - n³; б)b³- 8;в)27 - a³; г)1- z³;

д)x³ + y³; е)k³+ 64;є)p³+ 1; ж)27+ c³.

660. a)27x³ - 1; б)1 + 64b³;в)8а³- 27; г)125- 27y³;

д)64m³- 27; е)b³ + ;є) y³- 1; ж) x³+ 1.

661. a)m⁶ - n³; б)a⁹ + b⁶;в)а⁶ + c⁶; г)x¹² - y⁹.

662.a)8z³ + 1; б)1 - 125p³;в)27x³+ 64; г)125c³- 8;

д) a³- 1; е)27m³ + ;є)y³- x⁹; ж)p⁶+ q¹².

Рівень Б

663.Запишіть у вигляді добутку:

a)-a³ + 8; б)-b³- c³;

в)-27 + y³; г)-64- z³.

Розкладіть на множники:

664. а ) 64a³- 27b³; б) p³- 8q³;в)27а⁶- 125;

г)0,001a⁶- b³c³;д)8x⁹+ 125y⁶; е)1000- a³b⁹c¹².

665. а)216b³- 27c³;б)125m³+ n⁶; в)0,064x⁹y⁶z³- 27.

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

666. а) 921³ - 821³ на 100; б) 57³ + 28³ на 85.

667. а) 27³ + 37³ на 64; б) 75³ - 46³ на 29.

Спростіть вираз:

668. а)(a - b)(a² + ab + b²) + b³; б) (x² - 1)(x⁴ + x² + 1) + 1;

в) (a² + b²)(a⁴ - a²b² + b⁴) - а⁶- b⁶;

г)(a + 2)(a² - 2a + 4) - (a - 2)(a² + 2a + 4).

669. а) (x + 3)(x² - 3x + 9) - 27;

б) (b - 1)(b² + b + 1) + (b + 1)(b² - b + 1).

Розв’яжіть рівняння:

670. а) (x - 2)(x² + 2x + 4) = x³ + 4x; б)(y²- 3y + 9)(y + 3) = 6y + y³.

671.а) (1 - x)(1 + x + x²) = x - x³; б)-8z + z³ = (z - 4)(z²+ 4z + 16).

Рівень В

672.Доведіть тотожність:

а)(a + b)(a² - ab + b² + 3a - 3b + 3) = (a + 1)³ + (b - 1)³;

б)a⁴ - b⁴= (a - b)(a³ + a²b + ab² + b³);

в)a⁵ - b⁵= (a - b)(a⁴ + a³b +a²b²+ ab³ + b⁴);

г)a⁵ + b⁵= (a + b)(a⁴ - a³b +a²b²- ab³ + b⁴).

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

673. а) 124⁵ - 74⁵ на 50; б) 87⁵ + 88⁵ на 175.

Вказівка. Використайте тотожності в) і г) задачі 670.

674. а) 6¹⁰ + 8¹⁰ на 100; б) 3¹⁵ - 2²⁰ на 11.

675. Сума і добуток двох чисел відповідно дорівнюють 3,5 і 3. Знайдіть суму кубів цих чисел.

Вправи для повторення
а) (2x - y)(x - 2y) + 5xy; б) (3a - b)(-a + 3b) + 3(a2 + b2); в)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1) - (а2 + 1)2. 677. Обчисліть:
Вправи для повторення
а) (3a + 2b)(4a - b) + 2b2; б) 2x(y + 15x) + (x - 6y)(5y + 2x). 710.Розв’яжіть рівняння: а) ; б)
Усно

715.Знайдіть найменше значення виразу:

а)x²+ 7; б)(а - 6)²; в) (b - 1)²+ 3.

716.Знайдіть найбільше значення виразу:

a)7 - х²; б)1 - (х - 2)²;в)5 - (x + 5)².

За якого значення х вираз набуває найбільшого значення?

Рівень А

Доведіть, що вираз набуває лише невід’ємних значень:

717. а)x²+ 2x + 1; б) 4m²+ 4mn + n² + 3.

718. а) a²- 4а + 4; б) x² - 2xy + y²+ 4.

Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

719. а)245² - 236² на 9; б)438² - 62² на 500;

в)52³ - 36³ на 16; г)75³ + 25³ на 100.

720.а)811² - 712² на 99; б)48³ - 19³ на 29.

За допомогою мікрокалькулятора знайдіть значення многочлена:

721. а)4х³- 6х²+ 5х - 3, якщо х = 5; х = 3,2; х = -2,6;

б)1,2х³+ 2,4х²+ 0,5х - 1, якщо х = 1,7;

в)4,5х⁴+ 4х³- 3,5х² + 2х - 1,8, якщо х = 4.

722.а)15х³- 8х²+ 12х - 30, якщо х = 2; х = 1,2; х = -4;

б)2,4х⁴- 7,2х³- 3,3х² + 4,5х, якщо х = 3.

Рівень Б

Доведіть, що вираз набуває лише від’ємних значень:

723. а)-(а²- 2а + 4); б)-x² + 4x - 5.

724. а) -(х²- 2х + 2); б) -y² + 2y - 4.

Знайдіть найменше значення виразу та значення змінної, для якого вираз набуває найменшого значення:

725. a)x²- 4x + 4; б)х²- 4х + 7.

726. а) a²+ 6a + 9; б) x²- 6x + 10.

Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу ділиться на дане число:

727. а)(n - 2)² + 3n² на 4; б)(n- 2)(2n- 7) - 2n² - 3 на 11.

728.(n+ 2)² - n(n- 2) + 2 на 6.

Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу не ділиться на дане число:

729. а)(n - 5)² + (2n- 3)(2n+ 8) на 5; б)(n- 3)(n²- 3) - (n³ - 1) на 3.

730.(n+ 3)² - (n- 3)² + 3 на 12.

731.Доведіть, що значення виразу 5³³- 5³⁰ ділиться на 124.

Рівень В

732.Знайдіть найбільше значення виразу та значення змінної, для якого вираз набуває найбільшого значення:

a)-x²+ 2x – 8; б)- а² - 4а + 3.

733.Чи може значення виразу a² - 4a + 7 дорівнювати 1?

Розв’яжіть рівняння:

734. а) x² - 7x + 12 = 0; б)х²- х - 12 = 0.

735. а) (x- 1)² + (x- 3)² = 0; б)(x² - 1)² + (x- 1)⁴= 0.

736.Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:

а) 3¹⁰+ 9⁶ на 10; б) 2²⁰+ 2²⁵ - 2²² на 29.

737.Доведіть, що не існує чисел х та у, для яких виконувалася б рівність:

а)х² + у²- 2x - 2у + 3 = 0; б)2х² + 2у²- 2xу - 2x - 2у + 3 = 0.

738.Запишіть число 4 у вигляді суми таких двох доданків, щоб їх добуток був найбільшим.

739. Різниця двох непарних натуральних чисел ділиться на 5. Чи ділиться різниця кубів цих чисел на 10?

Вправи для повторення
741. Турист деяку відстань проплив моторним човном проти течії річки за 1,2 год, а назад повертався плотом протягом 7,2 год. Знайдіть швидкість… 742. Поле, площа якого дорівнює 568 га, поділено на 3 ділянки так, що площа… 743. Для яких значень коефіцієнта а рівняння aх = 3 має єдиний корінь? Чи існує таке значення а, для якого це рівняння…
Усно

768.Нехай x ¾ довжина сторони квадрата, а S ¾ його площа. Чому S є
функцією від х? Яка змінна є незалежною, а яка залежною; яка є аргументом, а яка — функцією? Задайте функцію формулою.

769.Функція задана формулою y = 5x.

а) Яка змінна є незалежною, а яка — залежною; яка є аргументом, а яка — функцією?

б)Яке значення функції відповідає значенню аргументу х = 2; х = -1?

в)Якому значенню аргументу відповідає значення функції у = 5; у = 0?

770.Залежності змінної у від змінної х задані таблицями:

а) x б) х

y у 1; 3 1; 3; 9

(У таблиці б) числам 1, 3, 9 відповідають їхні дільники.) Яка з таблиць задає функцію? Для функції вкажіть область визначення та область значень.

771.Функція задана таблицею:

x -2

y -1

а) Чому дорівнює значення функції, якщо х = -2; х = 1; х = 4?

б) Для яких значень аргументу значення функції дорівнює -1; 7; 3?

в) Яка область визначення функції?

г) Яка область значень функції?

Рівень А

772.Одна сторона прямокутника дорівнює 6 см, а суміжна — x см. За якою формулою можна обчислити площу S прямокутника? Чи задає ця формула функцію?

773.Густина сталі дорівнює 780 кг/м³. Запишіть формулу, за якою можна обчислити масу сталевого куба з ребром ам. Яка область визначення функції, що задається цією формулою? Знайдіть значення функції, якщо а= 0,2.

774.Автомобіль рухається зі швидкістю 75 км/год. За час t год він проходить шлях S км. Задайте формулою шлях S як функцію від часу t. Знайдіть значення функції, якщо t = 2,4.

775. Довжина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 7,5 см, ширина — 4 см, а висота — x см. Задайте формулою об’єм V як функцію від висоти х. Знайдіть значення функції, якщо х = 2,5.

776. Знайдіть значення функції, заданої формулою y = 2x² – x, якщо х = 2; х = 0; х = –1.

777. Знайдіть значення функції, заданої формулою y = 2x + 1, якщо х = 5; х = 0,5; х = –2.

778. Функція задана формулою y = 18 - 3x. Складіть таблицю значень функції для значень аргументу: -3; -2; 0; 1; 6.

779. Функція задана формулою y = 2x² + 1. Складіть таблицю значень функції для значень аргументу: -4; -2; 0; 2; 4.

780. Функція задана формулою y = 4x - 5. Для яких значень аргументу значення функції дорівнює 0; 3?

781. Функція задана формулою y = -2x + 3. Для яких значень аргументу значення функції дорівнює 1; 5?

782.Функція задана таблицею:

х -4 -2

у -2 -1

а) Знайдіть значення функції, якщо х = -2; х = 2.

б) Для яких значень х значення функції дорівнює -1; 1?

в) Яка область визначення функції?

г) Яка область значень функції?

Рівень Б

783.Функція задана формулою y = 12x. Заповніть таблицю:

x -4 -3 1,5 3,5

y –12 –6 -3

784. Функція задана формулою y = x + 6. Заповніть таблицю:

x -12 -6 -24

y -4 -6

785.Велосипедист має подолати шлях від села до автостанції завдовжки 7 км, рухаючись зі швидкістю 10 км/год. Нехай S км — шлях, який залишилося проїхати велосипедистові через t год після початку руху. Задайте формулою шлях S як функцію від часу t. Знайдіть значення функції, якщо t = 0,5. Яка область визначення і область значень цієї функції?

786.Натуральне число m при діленні на 4 дає неповну частку n і остачу 1. Задайте формулою m як функцію від n. Знайдіть значення функції, якщо n = 50. Яка область визначення і область значень цієї функції?

787. Функція задана формулою y = х² - 4x + 2. Для яких значень аргументу значення функції дорівнює: а) 2; б) -2?

788. Функція задана формулою y = х² + 2x - 3. Для яких значень аргументу значення функції дорівнює: а) –3; б) -4?

789. Функція задана формулою y = 3x - 1, де змінна х може набувати значень -6; -3; 0; 3; 6; 9. Задайте цю функцію таблицею.

Рівень В

790.Доведіть, що функція y = х² + 6x + 10 не може набувати від’ємних значень.

791.Знайдіть найменше значення функції y = х² - 4x + 2.

792.Для яких значень аргументу значення функції дорівнюють нулю?

793. Функція задана формулою y = x² + 2ах, де а — деяке додатне число. Чи набуває ця функція від’ємного значення?

Вправи для повторення
795*.Скільки трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 0, 3, 6 і 9, якщо у запису чисел цифри можуть повторюватися? 796. На координатній площині позначте точки A(-4; 0), B(0; 1), C(4; -1) та… 797.Через точку A(3; 0) проведіть пряму, перпендикулярну до осі х, а через точку В(0; 2) — пряму, перпендикулярну до…
Рис. 7

Із графіка видно, що: початкова температура води дорівнювала 20°С; протягом перших 8 хв температура води підвищилась до 100°С, потім протягом 6 хв (від 8 хв до 14 хв) температура води не змінювалась, а протягом наступних 6 хв температура води знизилась до 80°С.

Функція, графік якої зображено на рисунку 7, описує реальний процес зміни температури води. Кажуть, що ця функція моделює даний процес, або що вона є математичною моделлю даного процесу.

Якщо тіло рухається рівномірно зі швидкістю 15 м/с, то шлях S м, пройдений ним за час t с, можна обчислити за формулою S = 15t. У цьому випадку функція, задана формулою S = 15t, є математичною моделлю рівномірного руху.

У сьомому та наступних класах ми ознайомимося з багатьма функціями, які можна використати для моделювання реальних процесів та залежностей між різними величинами.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1.Побудувати графік функції, заданої формулою:

а)y = 0,5x + 1, де -4 £ x £ 4, склавши таблицю значень функції з кроком 1; б)y = 1 – x², де -2 £ x £ 2.

● а)Складемо таблицю значень функції:

x -4 -3 -2 -1

y -1 -0,5 0,5 1,5 2,5

Позначимо точки, координати яких подані в таблиці, на координатній площині. Якщо до цих точок прикласти лінійку, то побачимо, що всі вони лежать на одній прямій. Сполучимо відрізком крайні позначені точки. Цей відрізок і є графіком функції y = 0,5x + 1, де -4 £ x £ 4 (рис. 8).

Рис. 8 Рис. 9

б)Складемо таблицю значень функції:

x -2 -1

y -3 –3

Позначимо точки, координати яких подані в таблиці, на координатній площині. Сполучимо їх плавною лінією. Маємо графік функції, заданої формулою y = 1 – x², де -2 £ x £ 2 (рис. 9). ●

Приклад 2. Чи належить графіку функції y = 2x² точка А(3; 9); В(2; 8)?

● Точка А(3; 9) належатиме графіку даної функції, якщо значення функції для x = 3 дорівнює 9.

Знаходимо: якщо x = 3, то y = 2×3² = 18. Значення функції не дорівнює 9. Отже, точка А(3; 9) графіку функції не належить.

Для точки В(2; 8) матимемо: якщо x = 2, то y = 2×2² = 8. Точка В(2; 8) належить графіку функції. ●

Приклад 3. На рисунку 10 зображено графік функції. Користуючись графіком, заповнити таблицю:

x -6 -2

y -4 -1,5

Рис. 10

● Заповнимо таблицю:

x -6 -2 -6 -5; 8 -4 £ x £ -1; 6

y -4 -1,5 -4 -1,5 ●

Усно

799.Функція задана графіком (рис. 11). Знайдіть значення функції, якщо х = -2. Якому значенню аргументу відповідає значення функції у = 2? Яка область визначення та область значень функції?

800.Чи є лінія, зображена на рисунку 12, графіком деякої функції? Відповідь обґрунтуйте.

801.Функція задана графіком (рис. 13).

а) Знайдіть значення функції, якщо х = -4; х = –2; х = 2.

б)Знайдіть значення аргументу, якому відповідає значення функції у = -2; у = 0; у = 3.

в)Яка область визначення та область значень функції?

г)Чому дорівнюють найбільше та найменше значення функції?

д)Вкажіть нулі функції.

е)Для яких значень х функція набуває додатних значень; від’ємних значень?

Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13

802.На рисунку 14 показано зміну об’єму води в баку залежно від часу.

Рис. 14

а) Скільки води було в баку у початковий момент часу?

б)Скільки води поступило в бак протягом перших 5 хв; 8 хв; 10 хв?

в)Скільки часу об’єм води в баку не змінювався?

г)Протягом скількох хвилин спорожнився бак?

Рівень А

803. На рисунку 15 зображено графік функції. Користуючись цим графіком, заповніть таблицю:

x -3 -2 4,5

y -1,5 –1

Яка область визначення та область значень функції? Чому дорівнює найменше значення функції?Для яких значень х функція набуває додатних значень?

804. На рисунку 16 зображено графік функції. Користуючись цим графіком, заповніть таблицю:

x -2,5 -1

y -1,5

Яка область визначення та область значень функції?Чому дорівнює найбільше значення функції? Вкажіть нулі функції. Для яких значень х функція набуває від’ємних значень?

Рис. 15 Рис. 16

805.Побудуйте графік функції, заданої формулою y = 2x + 1, де -3 £ x £ 3, склавши таблицю значень функції з кроком 1. Чи належать графіку
функції точки A(-2; -3), B(0; -1)? Користуючись графіком, знайдіть: значення функції, якщо х = -1,5; х = 0,5; значення аргументу, якому відповідає значення функції у = 0; у = 1.

806.Побудуйте графік функції, заданої формулою y = -3x - 1, де -2 £ x £ 2, склавши таблицю значень функції з кроком 1. Чи належать графіку функції точки M(0; -1), N(2; 5)?

Побудуйте графік функції, заданої формулою:

807. а)y = де -4 £ x £ 6; б)y = x² – 1, де -2 £ x £ 2.

808.а)y = де -6 £ x £ 4; б)y = x², де –1 £ x £ 3.

809.На рисунку 17 показано графік залежності висоти польоту літака від часу. а)На якій максимальній висоті летів літак? б)Скільки часу літак набирав висоту?

Рис. 17 Рис. 18

810.На рисунку 18 показано графік зміни об’єму води в басейні. а)Який процес зображує цей графік: вода поступає в басейн чи витікає з басейну? б)Скільки води було в басейні в початковий момент часу; через 4 год?

Рівень Б

811.На рисунку 19 зображено графік зміни температури повітря протягом доби.

Рис. 19

а)Якою була температура повітря о 2 год; о 9 год; о 18 год; о 24 год?

б)О котрій годині температура повітря дорівнювала -2°; 0°; 6°?

в)О котрій годині температура повітря була найнижчою; найвищою?

812.На рисунку 20 зображено графік залежності швидкості тіла від часу.

а)Яку швидкість мало тіло через 2 с після початку руху; через 5 с; через 10 с; через 20 с?

б)У який момент часу швидкість тіла дорівнювала 4 м/с; 6 м/с; 8 м/с?

в)У який момент часу швидкість тіла була найменшою?

г)Вкажіть час, протягом якого тіло рухалось зі сталою швидкістю. Який шлях пройшло тіло за цей час?

Рис. 20

813.На рисунку 21 зображено графік руху групи туристів від табору до автостанції.

а)Скільки часу рухалися туристи та який шлях вони подолали? б)Скільки часу витратили туристи на привал? в)З якою швидкістю рухалися туристи протягом перших двох годин; після привалу? г)Яка середня швидкість руху туристів? Рис. 21

814.Графіком функції є ламана ABCD (сукупність трьох відрізків AB, BC і CD), де A(-2; -3), B(0; 3), C(4; 3), D(6; 1). Накресліть графік функції та заповніть таблицю:

х -1 1,33 4,5

у -2 1,5

Яка область визначення та область значень функції? Вкажіть нулі функції. Для яких значень х функція набуває додатних значень; від’ємних значень?

815.Графіком функції є ламана KLMN, де K(-4; 4), L(-2; 2), M(2; 2), N(3; 3). Накресліть графік функції та заповніть таблицю:

х -3 1,25 2,5

у 3,5

Яка область визначення та область значень функції? Чому дорівнюють найбільше та найменше значення функції? Чи має функція нулі? Для яких значень х функція набуває додатних значень; від’ємних значень?

Побудуйте графік функції, заданої формулою:

816. а)y = х(4 - х), де -1 £ x £ 5; б)y = х² + 4х +3, де -3 £ x £ 1.

817. а)y = х² - 2х, де -2 £ x £ 3; б)y = (1 – х)(3 + х), де -2 £ x £ 1.

Рівень В

818.Побудуйте графік функції, заданої формулою:

а)де -3 £ x £ 3;

б)де -3 £ x £ 3.

Вправи для повторення
820. Розв’яжіть рівняння: а) (2х + 3)(4 – (2х + 3)) = 0; б) 821.У першому сплаві є 40% міді, а в другому — 10%. Скільки кілограмів другого сплаву потрібно додати до 10 кг…
Усно

823.Які з даних функцій є лінійними:

а)у = х + 5;б)у = –3х;в)г)у = 8;

д) е)у = 0;є)у = 3 – 7х;ж)у = х² + 4?

824.Лінійні функції задані формулами:

а) у = –5х + 1; б)у = 0,1х; в)у = –3; г)у = 0.

Чому дорівнює коефіцієнт k у кожній із цих формул?

825.Дано дві лінійні функції у = –3х + 1 і у = 2х – 4. Графік якої із цих функцій утворює з додатним напрямом осі х гострий кут; тупий кут?

826.Вкажіть область визначення та область значень функції:

а)у = 3х + 2;б)у = –3х + 2;в)у = 3х; г)у = 2.

827.Яка із заданих функцій є прямою пропорційністю:

а) у = –3х; б) у = х²; в) у = 8х + 1;г) ?

828.Вкажіть правильні твердження:

а)графіком прямої пропорційності є пряма;

б)графік прямої пропорційності проходить через початок координат;

в)якщо k < 0, то графік прямої пропорційності розміщений у І і ІІІ чвертях.

Рівень А

829.Лінійна функція задана формулою у = 2х – 6. Знайдіть значення у, яке відповідає х = –6; х = 0; х = 9. Для яких значень х значення функції дорівнює –3; 0; 7?

830.Лінійна функція задана формулою у = 5х – 1. Знайдіть значення у, яке відповідає х = –4; х = 0; х = 2. Для яких значень х значення функції дорівнює –6; 0; 4?

831.Чи проходить графік функції у = 1,8х + 9 через точку: A(10; 27); B(50; 89), C(–20; –27)?

Побудуйте графік функції, заданої формулою:

832. а)у = 2х – 3;б) у = –0,5х + 1;в)у = 0,5х + 2;г)у = –3х.

833.а)у = х – 2;б)у = –2х + 0,5; в)у = –2,5.

В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

834. а)у = –1,5х; у = –1,5х – 2; у = –1,5х + 2;

б)у = 4; у = 1,5; у = –2.

835. у = 2х; у = 2х – 2; у = 2х + 1.

836.Побудуйте графік функції, заданої формулою у = –1,5х + 1,5. Користуючись графіком, знайдіть:

а)значення у, яке відповідає х = –4; х = 0; х = 2;

б)значення х, якому відповідає у = –3; у = 1,5;

в)нуль функції;

г)значення х, для яких функція набуває додатних значень.

837.Побудуйте графік функції, заданої формулою у = 0,5х – 3. Користуючись графіком, знайдіть:

а)значення у, яке відповідає х = –2; х = 2; х = 4;

б)значення х, якому відповідає у = –2; у = 1;

в)нуль функції;

г)значення х, для яких функція набуває від’ємних значень.

838.Пряма пропорційність задана формулою у = 4х. Заповніть таблицю:

х –3 –1

у –8

839.Пряма пропорційність задана формулою у = –2х. Заповніть таблицю:

х –5 –2

у –4

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:

840. а) у = 4х; б)у = –4х; в)

841.а) у = –3х; б)у = 3х;в)

842.Побудуйте графік функції Користуючись графіком, знайдіть значення аргументу, яким відповідають такі значення функції: –1; 2; 3.

843.Побудуйте графік функції у = 2х. Користуючись графіком, знайдіть значення функції, які відповідають таким значення аргументу: –1,5; 2,5.

844.Чи належить графіку прямої пропорційності у = 14х точка: A(–2; –28); B(0,5; 7);?

845.Які з точок належать графіку прямої пропорційності у = –4х: K(4; –1); M(0,3; –1,2); N(0; –4)?

Рівень Б

Побудуйте графіки функцій та знайдіть координати точки їх перетину:

846. а)у = 4х – 1 і у = 2х + 2;б) у = –3х + 2 і у = х – 2;

в) і у = 1.

847.а)у = 3х – 2 і у = 2х – 1; б) у = –х + 2 і у = 1,5х + 2.

848.Чи перетинаються графіки функцій:

а) у = –2,5х + 1 і у = 2,5х – 1; б)у = 2х + 2 і у = 2х + 3?

Не будуючи графік функції, знайдіть координати точок його перетину з осями координат та нулі функції:

849. а)у = –1,6х + 4;б)у = 0,3х – 21;в)у = –8.

850.а)у = 8 – 2,5х;б)у = –1,6х + 4,8;в)у = 6.

851.Запишіть формулу прямої пропорційності, якщо її графік проходить через точку: а) (1; 17); б) (–2; –4).

852.Функція у = kх для х = 2 набуває значення 7. Знайдіть k.

853.Знайдіть значення функції y = 2,5x, якщо х = –2 та х = 4. Порівняйте дані значення аргументів і відповідні значення функції.

854.На рисунку 31 зображено графік прямої пропорційності. а)Запишіть формулу, якою задається ця функція. б)Вкажіть значення у, які відповідають значенням х ³ 0. 855.В одній системі координат побудуйте графіки функцій у = 3,5 та у = 2х. Для яких значень х точки першого графіка лежать вище від точок другого графіка? Рис. 31

856.Для яких значень х графік функції у = 0,5х лежить нижче від графіка функції у = 2?

857.Одна сторона прямокутника дорівнює 2 см, а друга — х см, де х ³ 1. Запишіть формулу, яка задає площу у прямокутника (у квадратних сантиметрах) як функцію від х. Побудуйте графік цієї функції.

858.У початковий момент часу велосипедист перебував на відстані 60 м до фінішу. На рисунку 32 зображено графік зміни відстані від велосипедиста до фінішу відповідно до зміни часу.

а)Через який час велосипедист досяг фінішу?

б)З якою швидкістю рухався велосипедист?

в)Який шлях проїхав велосипедист за дві останні секунди?

859.На рисунку 33 зображено графік руху двох автобусів, що вирушили з однієї станції.

а)Через який час після відходу першого автобуса вирушив другий?

б)З якими швидкостями рухалися автобуси?

в)На якій відстані від станції другий автобус наздогнав перший?

г)Якою формулою задається шлях, пройдений першим автобусом, залежно від часу?

Рис. 32 Рис. 33

860.Олег і Петро змагалися у плаванні на дистанції 200 м у 50-метровому басейні. На рисунку 34 зображено графіки зміни відстані від хлопців до місця старту.

а)Скільки часу витратив кожен із хлопців на подолання перших 50 м дистанції?

б)Хто переміг у змаганні?

в)На скільки секунд відстав переможений від переможця?

г)Яка середня швидкість руху кожного із хлопців на першій стометрівці?

д)Що означають точки перетину графіків?

Рис. 34

861 Вартість телеграми визначається так: кожне слово коштує 5 к., додають ще 5 к. і до одержаної суми додають 20% для податку на додану вартість. Запишіть формулу для знаходження вартості телеграми, що складається з n слів. Знайдіть вартість телеграми, що складається з 21 слова.

862. Абонентна плата за телефон становить 7 грн. 34 к. Вартість однієї хвилини місцевих розмов дорівнює 2 к., до того ж, вартість 100 хв розмов входить до абонентної плати. Запишіть формулу для знаходження плати за телефон за місяць, якщо протягом місяця абонент здійснював лише місцеві розмови, загальна тривалість яких дорівнює n хв, де n > 100. Знайдіть плату за телефон, якщо n = 320.

Рівень В

863.Знайдіть координати точки перетину графіків функцій:

а)у = 14х – 8 і у = 7х + 8;б) і .

864.Чи проходить графік функції у = х + 4 через точку перетину графіків функцій у = 2х + 5 і у = –5х – 2?

865.Знайдіть таке число а, щоб точка перетину прямих у = ах та у = 6х – 2 мала абсцису 2.

Побудуйте графік функції, заданої формулою:

866. а)у = |x| – 2;б)у = 5 – |x|.

867. а)у = х + 2|x|; б) у = 2х – |x|.

Вправи для повторення
а)(2а - с)2 – (2а + с)2 + 8ас; б)(2 - х2)(х2 + 2) + (х2 - 2)2. 869.Знайдіть значення виразу 4а2 - 4b2, якщо: а)a = 6,75; b = 3,25; б) a = b = .
Рис. 35

878.Графіком функції є ламана ABC, де A(-2; 2), B(1; –1), C(5; 1). Накресліть графік функції. Яка область визначення та область значень функції? Чому дорівнюють найбільше та найменше значення функції? Вкажіть нулі функції. Для яких значень х функція набуває додатних значень; від’ємних значень?

879.Побудуйте графік функції у = –3х – 1. За допомогою графіка знайдіть:

а) значення функції, якщо х = –1,5; х = 1,5;

б) значення х, для якогоу = 5.

Побудуйте графік функції:

880. а)y = 2х + 1, де -3 £ x £ 1; б)y = 0,5х² - 0,5, де -2 £ x £ 2.

881. а)у = –3х; б)у = 1,5х – 1.

882*. а)у = 2|x|;б)у = х + |x|.

883.Виміри прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 1,5 см, 2 см та х см, де х ³ 1. Запишіть формулу, яка задає об’єм паралелепіпеда (у кубічних сантиметрах) як функцію від х. Побудуйте графік цієї функції.

884.Запишіть формулу прямої пропорційності, якщо її графік проходить через точкуA(–3; 1).

885.Графік функції y = kx проходить через точку A(–8; 4). Знайдіть k. Чи проходить графік цієї функції через точку:B(2; –1);

886.Знайдіть координати точок перетину графіка функції у = –4х + 6 з осями координат.

887.Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:

а)у = 3х і у = –3х + 6;б)у = х + 7 і у = 5 – 4х.

888*.В одній системі координат побудуйте графіки функцій та . Знайдіть точки перетину графіків. Використовуючи графіки функцій, розв’яжіть рівняння

889*.Функція задана формулою у = kx + 3.

а)Для яких значень k графік цієї функції проходить через точку (2; 4)?

б) Для яких значень k графік цієї функції паралельний графіку функції у = 5х – 8?

Завдання для самоперевірки № 6

1 рівень

1. Чому дорівнює значення функції у = 2х – 0,5, якщо х = 1,5?

а) 1,5;б)1;в)–2,5;г)2,5.

2. Знайдіть значення функції у = –4х, якщо х = 0,5.

а) –3,5;б)–4,5;в)–2;г)2.

3.Для якого значення аргументу значення функції у = 4х дорівнює 10?

а)40;б)2,5;в)5;г)2,4.

4.Який із графіків є графіком функції у = 3х (рис. 36)?

Рис. 36

5.Яка з точок належить графіку функції у = 2х + 1?

а)A(–4; 9);б)B(4; 9);в)C(4; 7);г)D(–4; –9).

6.Вкажіть правильні твердження:

а)графіком лінійної функції є пряма;

б)формулою у = 5х – 3 задається пряма пропорційність;

в)графік функції у = 2х + 3 проходить через точку (5; 2);

г)функція, графік якої зображено на рисунку 36.г), задається формулою у = 3.

2 рівень

1.Функція задана формулою у = 2х² – 4. Знайдіть значення функції, якщо х = –2; х = 0,5.

2.Функція задана формулою у = –4х – 1. Знайдіть значення аргументу, якому відповідає значення функції –9; 9.

3. Користуючись графіком функції (рис. 37), знайдіть: а)значення функції, якщо х = –3; б)значення аргументу, яким відповідає значення функції –2. 4.Побудуйте графік функції у = –2х. 5.Чи проходить графік функції, заданої формулою у = 4 – х² через точку (3; –5)? Рис. 37

3 рівень

1.Знайдіть область визначення і область значень функції, графік якої зображений на рисунку 37. Для яких значень х функція набуває від’ємних значень?

2.Функція задана формулою у = х² – 6х + 2. Знайдіть значення аргументу, яким відповідає значення функції у = 2.

3.Побудуйте графік функції у = –2х – 2. Вкажіть значення х, яке є нулем функції. Для яких значень х функція набуває від’ємних значень?

4.Знайдіть координати точки перетину графіків функцій у = 3х – 5 і у = 9 – 2х.

5.Графік функції у = kх проходить через точку A(2,5; 5). Чи проходить графік цієї функції через точку B(–3; –6)?

4 рівень

1.Знайдітьнайменше значення функції, заданої формулою у = х² – 6х + 2.

2.Функція задана формулою у = (х – 2)(х + 4). Знайдіть значення аргументу, яким відповідає значення функції у = –5.

3.Чи проходить графік функції у = 0,4х + 1,4 через точку перетину графіків функцій у = 3х + 4 і у = –2х – 1?

4.За допомогою графіків функцій знайдіть значеннях х, для яких значення функції у = –х + 2 більші, ніж відповідні значення функції у = 0,5х + 3,5.

5.Побудуйте графік функції, заданої формулоюу = 2|x| – 1.

Розділ ІV. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ

Є чимало задач, розв’язуючи які, отримують рівняння, що містять не одну, а кілька змінних. У даному розділі ми з’ясуємо, що таке лінійне рівняння із двома змінними та його розв’язок, що таке система двох лінійних рівнянь із двома змінними та її розв’язок, які основні способи розв’язу-вання систем лінійних рівнянь із двома змінними.

— система двох лінійних рівнянь із двома змінними; х = 3, y = 2 — розв’язок цієї системи рівнянь.

§ 7. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ

26. Рівняння із двома змінними

1. Поняття рівняння із двома змінними. Ви вже вмієте розв’язувати лінійні рівняння з однією змінною та рівняння, що зводяться до лінійних. Нагадаємо, що лінійне рівняння з однією змінною ¾ це рівняння виду aх = b, де a і b ¾ деякі числа, а х ¾ змінна.

Розглянемо приклад, який приводить до рівняння із двома змінними.

Нехай відомо, що сума деяких двох чисел дорівнює 8. Якщо одне із чисел позначити через х, а друге ¾ через y, то матимемо рівняння

х + y = 8,

яке містить дві змінні x та y. Таке рівняння називають рівнянням із двома змінними.

Рівняння

3х - 2y = 1, 0х + 4y = 5, x²+ y² = 9, xy = 10

теж є рівняннями із двома змінними. Перші два із цих рівнянь є рівняннями виду aх + by = c, де a, b і с ¾ числа. Такі рівняння називають лінійними рівняннями із двома змінними.

Означення Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду aх + by = c, де x та y ¾ змінні, a, b і с ¾ деякі числа (коефіцієнти рівняння).

2. Розв’язки рівняння із двома змінними.Розглянемо рівняння х + y = 8. Якщо х = 2, y = 6, то це рівняння перетворюється у правильну числову рівність 2 + 6 = 8. Кажуть, що пара значень змінних х = 2, y = 6 є розв’язком рівняння х + y = 8.

Означення Розв’язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, для яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність.

Розв’язками рівняння х + y = 8 є й такі пари чисел:

х = 4, y = 4; х = 4,5, y = 3,5; х = 10, y = -2.

Скорочено ці розв’язки записують так: (4; 4); (4,5; 3,5); (10; -2). У цих записах на першому місці пишуть значення змінної х, а на другому ¾ значення змінної y. Це пов’язано з тим, що змінну х умовно вважають першою змінною, а змінну y ¾ другою.

Щоб знайти розв’язок рівняння із двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і, розв’язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної. Для прикладу знайдемо кілька розв’язків рівняння х + y = 8.

Нехай х = 7, тоді 7 + y = 8, звідки y = 8 - 7; y = 1.

Нехай х = -3, тоді -3 + y = 8, звідки y = 8 + 3; y = 11.

Ми знайшли два розв’язки (7; 1) і (-3; 11). Надаючи змінній х інших значень, одержимо інші розв’язки рівняння. Рівняння х + y = 8 має безліч розв’язків.

Шукати розв’язки рівнянь із двома змінними можна іншим способом, який обумовлюється властивостями рівнянь.

3. Властивості рівнянь із двома змінними. Властивості рівнянь із двома змінними такі ж, як і рівнянь з однією змінною, а саме:

1. У будь-якій частині рівняння можна виконати тотожні перетворення виразів (розкрити дужки, звести подібні доданки).

2.Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

3.Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число.

Розглянемо рівняння

3х + 2y = 9.

Використовуючи властивості рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через іншу, наприклад, y через х. Для цього перенесемо доданок 3х у праву частину, змінивши його знак на протилежний:

2y = -3х + 9.

Поділимо обидві частини одержаного рівняння на 2:

y = -1,5x + 4,5.

Користуючись формулою y = -1,5x + 4,5, можна знайти скільки завгодно розв’язків даного рівняння. Для цього досить узяти довільне значення x і обчислити відповідне значення y. Пари деяких відповідних значень x та y подамо у вигляді таблиці.

x -4 -3 -2 -1

y = -1,5x + 4,5 10,5 7,5 4,5 1,5 -1,5

Пари чисел кожного стовпчика ¾ розв’язки рівняння 3х + 2y = 9.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Знайти значення коефіцієнта а, для яких одним із розв’язків рівняння 3x + аy = -1 є пара чисел (-1; 2).

● Якщо пара чисел (-1; 2) є розв’язком рівняння 3x + аy = -1, то має виконуватися рівність 3 × (-1) + а × 2 = -1. Розв’яжемо одержане рівняння зі змінною а:

-3 + 2а = -1; 2а = -1 + 3; 2а = 2; а = 1.

Відповідь. а = 1. ●

Усно

890.Серед поданих рівнянь назвіть лінійні рівняння із двома змінними:

a)xy = 3; б)х + 2y = 7; в) x+ y² = 4;

г) x - y = 1; д) 12x + 10y = 0; е) 0x - 2y = 3;

є) 3x + 0y = 0; ж) 0x + 0y = 0; з) 0x + 0y = 1.

891.Чи є розв’язком рівняння 2x - y = 3 пара чисел:

а)х = 2, y = 1; б)х = 1, y = 2?

892.Чи є розв’язками рівняння x + 3y = 9 пари чисел (1; 1); (6; 1)?

893.Вкажіть кілька розв’язків рівняння x + y = 7.

Рівень А

894.Які з пар чисел (2; 2), (1; 3), (1; 3,5), (4; -1),
є розв’язками рівняння 3x + 2y = 10?

895.Які з пар чисел (2; 2), (-1; -2), (1; 1), є розв’язками рівняння
4x - 3y = 2?

Знайдіть які-небудь два розв’язки рівняння:

896. а)2x + 3y = 8; б)x - 3y = -1.

897. а) x + 2y = 7; б)3x - y = 2.

Складіть яке-небудь лінійне рівняння, розв’язком якого є пара чисел:

898. а)х = 1, y = 3; б)(-2, 1).

899.а)х = 2, y = 1; б)(2, -2).

Рівень Б

900. З рівняння 2x + y = 5 виразіть:
а) змінну х через змінну y;
б) змінну y через змінну x.

Виразіть з рівняння змінну y через змінну x та знайдіть два які-небудь розв’язки рівняння:

901. а)х- y = 7; б)3х+ 2y = 15.

902.а)2х+ y = 5; б)5х- 2y = 10.

903. Серед розв’язків рівняння 3x + 5y = 16 знайдіть таку пару чисел, яка складається із двох однакових чисел.

904. Знайдіть значення коефіцієнта а в рівнянні ах + 3y = 10, коли відомо, що розв’язком цього рівняння є пара чисел (1; 2).

905. Пара чисел (3; 2) є розв’язком рівняння 2x + by = 12. Знайдіть b.

906. Розв’яжіть рівняння:

а)0х- 2y = 6; б)3х+ 0y = 9.

Рівень В

907. Розв’яжіть рівняння в цілих числах (тобто знайдіть усі пари цілих чисел, які є розв’язками рівняння):

а)2х - 5y = 7; б)3х + 2y = 10; в)-4х + 9y = 6.

Розв’язання. а)Вибираємо змінну, коефіцієнт біля якої має менший модуль, тобто змінну х. Виразимо цю змінну через змінну y:

2х - 5y = 7; 2х = 5y + 7; х = y + .

Перетворимо праву частину одержаного рівняння так:

х = y + = 2y + y + 3 + = 2y + 3 + (y + 1).

Отже,

х = 2y + 3 + (y + 1).

Нехай для деяких цілих значень змінних остання рівність є правильною. Оскільки х та 2y + 3 — цілі числа, то (y + 1) також має бути цілим числом. Отже, y + 1 має ділитися на 2, звідки: y + 1 = 2k; y = 2k - 1, де k ¾ деяке ціле число. Підставивши y = 2k - 1 у формулу для змінної х, матимемо:

х = 2(2k - 1) + 3 + (2k - 1 + 1) = 4k - 2 + 3 + k = 5k + 1.

Якщо х = 5k + 1, y = 2k - 1, то рівняння 2х - 5y = 7 перетворюється у правильну числову рівність. Справді,

2(5k + 1) - 5(2k - 1) = 10k + 2 - 10k + 5 = 7.

Отже, розв’язками рівняння 2х - 5y = 7 є пари цілих чисел: х = 5k + 1; y = 2k - 1, де k ¾ довільне ціле число.

(Надаючи k у формулах для х та y різних цілих значень, одержуватимемо різні цілі розв’язки рівняння 2х - 5y = 7. Наприклад, якщо k = 0, то маємо розв’язок х = 1, y = -1; якщо k = 1, ¾ розв’язок х = 6, y = 1.)

908. Знайдіть усі натуральні розв’язки рівняння 5х + 6y = 57.

909.Знайдіть усі значення а, для яких одним із розв’язків рівняння 2(5а + 1)²х - 5(2а - 1)²у = 7 є пара чисел (2; 5).

Вправи для повторення
911.Перше число становить 40% від другого. Скільки відсотків становить друге число від першого? 912. На координатній площині побудуйте точки А(-2; 2) та B(4; -1). Проведіть… 913. Побудуйте графік функції:
Рис. 38

Взагалі, графіком рівняння aх + by = c, у якому хоча б один з коефіцієнтів а або b відмінний від нуля, є пряма.

Щоб побудувати графік такого рівняння, можна: 1) виразити змінну y через змінну x (якщо це можливо) і побудувати графік відповідної лінійної функції або 2) знайти два розв’язки рівняння, позначити на координатній площині точки, що відповідають цим розв’язкам, і провести через них пряму.

На рисунках 39 і 40 зображені графіки лінійних рівнянь, у яких один з коефіцієнтів біля змінних дорівнює 0:

0x + y = 2, або y = 2; 2x + 0y = 6, або x = 3.

Рис. 39 Рис. 40

Графіком рівняння y = 2 є графік функції y = 2, тобто пряма, паралельна осі х, що проходить через точку (0; 2).

Розв’язками рівняння 2x + 0y = 6 (або х = 3) є всі пари чисел (х; y), у яких х = 3, а у ¾ довільне число. Точки координатної площини, які відповідають таким розв’язкам, утворюють пряму, паралельну осі у, що проходить через точку (3; 0).

Для тих, хто хоче знати більше

Рівняння aх + by = c, у якому а = 0 і b = 0, має вигляд 0х + 0y = c. Якщо с = 0, то будь-яка пара чисел є розв’язком цього рівняння, а його графіком є вся координатна площина. Якщо с0, то рівняння не має розв’язків і його графік не містить жодної точки.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Побудувати графік рівняння 5х + 2y = 4.

● Спочатку знайдемо два розв’язки рівняння.

Нехай х = 0, тоді: 2y = 4; y = 2. (0; 2) ¾ розв’язок.

Нехай х = 2, тоді: 10 + 2y = 4; 2y = -6; y = -3. (2; -3) ¾ розв’язок.

Розв’язки рівняння можна подавати у вигляді таблиці.

х

y -3

На координатній площині позначаємо точки (0; 2) та (2; -3) і проводимо через них пряму. Ця пряма є шуканим графіком.

●

Приклад 2. Побудувати графік рівняння -2y = 3.

● У даному рівнянні маємо одну змінну у. Якщо потрібно побудувати графік такого рівняння, то вважають, що це є лінійне рівняння із двома змінними х та у, в якому коефіцієнт біля змінної х дорівнює 0, тобто 0х - 2y = 3. Графіком рівняння є пряма y = -1,5, яка паралельна осі х і проходить, наприклад, через точку (0; -1,5).●

Усно

914.Назвіть координати кількох точок, що належать графіку рівняння -x + y = 1 (рис. 41). 915.Які з даних точок належать графіку рівняння 2x - y = 1: а)А(1; 1); б)В(2; 1); в)С(0; 1); г)D(0; -1)? 916.Вкажіть координати кількох точок, які належать графіку рівняння x - 2y = 0. 917.Графік якого рівняння зображено на рисунку 42; рисунку 43? Рис. 41

Рис. 42 Рис. 43

Рівень А

918.Які з точок K(-2; 0,5), L(0; 2), M(2; 4), N(3; 0,25) не належать графіку рівняння -3x + 4y = 8?

919.Які з точок А(2; 11), В(3; 12), С(0; 7), D(-1; 5) належать графіку рівняння -2x + y = 7?

Побудуйте графік рівняння:

920. а)x - 3y = 6; б)3x + y = -1; в)x - 2y = 0;

г)4x + y = 0; д)1,5x = 6; е)-0,3y = 0,6.

921.а) x + 2y = 3; б)3x - y = 0;

в)8x = 24; г)0,7y = -2,8.

Рівень Б

922.В одній системі координат побудуйте графіки рівнянь:

а)x + y = 2; б)-x - y = -2; в)2x + 2y = 4.

Що можна сказати прографіки цих рівнянь?

923.В одній системі координат побудуйте графіки рівнянь:

а)x - y = -2; б)x - y = 0; в)x - y = 2.

Що можна сказати прографіки цих рівнянь?

Побудуйте графік рівняння:

924. а)5x - 6y = 4; б)8x + 16y = 24.

925.а) 4x + 7y = 3; б)12x - 4y = 8.

926. На прямій, яка є графіком рівняння 7x - 5y = 9, узято точку, абсциса якої дорівнює 2. Знайдіть ординату цієї точки.

927. На прямій, яка є графіком рівняння 4x + 9y = 1, узято точку, ордината якої дорівнює 1. Знайдіть абсцису цієї точки.

928. Знайдіть значення коефіцієнта а в рівнянні ах + 3y = 4, коли відомо, що графік рівняння проходить через точку (1; 2). Побудуйте графік рівняння.

929. Знайдіть значення коефіцієнта с в рівнянні 5х - 2y = с, коли відомо, що графік рівняння проходить через точку (2; 4). Побудуйте графік рівняння.

Рівень В

930. Чи існує значення а, для якого графіки двох рівнянь а²х + 4y = 5 і (а + 1)х - y = 1 проходили б через точку (1; 1)?

Побудуйте графік рівняння:

931. а) |х| - y = 0; б) |2х| + y = 0;

в) 2|x| – |у| = 0; г)|х + y| = 2.

932. а)(у + 3х)(у – 2х) = 0;б)у² – 10х + 5ху – 2у = 0;

в)(у + 2)² + (у + х)² = 0.

Вправи для повторення
a)7х + ау + 7у + ах; б)(х - 2)2 - 1; в)8x3 + 125y3; г) (a + b + c)2 - (a + b)2. 934.Знайдіть найменше значення функції у =х2 - 8х + 1.
Рис. 44

Спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь, який ми щойно використали, називають графічним.

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь графічним способом, потрібно побудувати графіки рівнянь системи в одній системі координат і знайти координати спільних точок цих графіків.

Якщо в кожному з рівнянь системи хоча б один з коефіцієнтів біля змінних відмінний від нуля, то графіками таких рівнянь є прямі. Оскільки прямі можуть перетинатися, співпадати або бути паралельними, то такі системи рівнянь можуть мати один розв’язок, безліч розв’язків або не мати розв’язків.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати графічно систему рівнянь

● Побудуємо графіки обох рівнянь системи.

5х - 2y = 11 х - 3y = -3

х х -3

y -3 y

Графіки перетинаються в єдиній точці ¾ точці М(3; 2). Отже, система рівнянь має єдиний розв’язок (3; 2). ●

Примітка. Щоб не помилитися, визначаючи за графіками координати точки М, варто перевірити, чи справді знайдені координати є розв’язком системи. Перевіримо: якщо х = 3; y = 2, то 5 × 3 - 2 × 2 = 11 і 3 - 3 × 2 = -3 — правильні рівності. Пара (3; 2) справді є розв’язком системи.

Приклад 2. Скільки розв’язків має система рівнянь

● Побудуємо графіки рівнянь системи.

-2х + y = 2 -6х + 3y = 6

х -1 х -1

y y

Графіки співпадають. Система рівнянь має безліч розв’язків. ●

Приклад 3. Скільки розв’язків має система рівнянь

● Побудуємо графіки рівнянь системи.

х + y = 3 2х + 2y = 3

х х 1,5

y y 1,5

Графіками рівнянь є паралельні прямі (бо ÐOAB = ÐOCD = 45°). Система рівнянь розв’язків не має. ●

Усно

937.Чи є розв’язком системи рівнянь пара чисел:

а) х = 2; y = 1; б)х = 0; y = 0?

938.Скільки розв’язків має система, графіки рівнянь якої зображені на рисунку 45; рисунку 46 (на рисунку 46 прямі паралельні)?

Рис. 45 Рис. 46

Рівень А

Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

939. а) б)

в) г)

940.а) б) в)

941.Чи є пара чисел (-1; 3) розв’язком системи рівнянь:

а) б)

Рівень Б

942.Складіть яку-небудь систему рівнянь, що має розв’язок х = -2; y = 1.

943.Складіть яку-небудь систему рівнянь, що має розв’язок (3; -1).

Скільки розв’язків має система рівнянь:

944. а) б)

в) г)

945.а) б) в)

946.Знайдіть які-небудь два розв’язки системи рівнянь

Рівень В

947.Для яких значень коефіцієнтів а та b розв’язком системи
рівнянь є пара чисел (2; -1)?

948.Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

а) б) в)

Вправи для повторення
а) 2x - 6 = 2(1 - x); б)3(6y - 4) + 2y = 0; в) г) 950.Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу (n + 2)2 - (n - 2)2 ділиться на 8.
Вправи для повторення
а) 2x - 6 - xу + 3у; б)y3 - 10y2 + 25у; в)(a - 2b)2 - 4a2; г)27a3 - b3. 969.Доведіть, що значення виразу 4(а - 2)2 - (2а - 3)2 + 4а не залежать від значень а.
Вправи для повторення
а) сума чисел x та у у 5 разів більша від їх різниці; б) добуток чисел а і b на 12 більший від їх частки; в)сума чисел x та у становить третину їх добутку.
Вправи для повторення
а) (m + 2n)(2m - n) + 2n2; б) a2(b + 5a) + (a - 2b)(2b - 5a2). 1023.Розкладіть на множники: а) a + 3ab - с - 3bс; б)x2 - y2 + 2( x + y);
§ 1

15.a = -3.16.a = 23. 17.Вказівка. Обґрунтуйте, що для х = 2 значення лівої частини рівняння є непарним числом. 20. 375 грн. 21. 148 т. 32. а) 16; б) 1,125; в) г) 33. а)0,2; б)34. а)–1; б)35. а)б)6. 36. а)–3; –2; –1; б)0; 1; 2; 3; 39. а) 54 080 жителів; б) 50 000 жителів. 48. а) 2; б)-35; в)-10,2; г)4. 49. а) 2; б) 0,7; в) -0,1; г) 6. 50. а) 5; б) 2,5; в) 2,5; г) 3,5; д) -4; е) коренів немає. 51.0.52. 4. 53.3.54. а) 1; б)5; в)-2; г)коренем рівняння є будь-яке число. 55. а) б) в) г) 0. 56. а) 10; б) -1; в) -8; г) 57. г) –2; 9; д) 2,5; 5; е) . 58. а) –4; 4; б) –2; 2; в) коренів немає. 59. а) –4; 4; б) –5; 11; в) коренів немає; г) 7; д) –3; 3; е) –16; 16. 60. а) 1; б)61. а) 8; 12; б)-6; -2; в)-1; 1; г)-0,5; 1,5. 62. а)5; б) –3; 2; в) 4; г) коренів немає; д) коренем рівняння є будь-яке недодатне число;е) коренем рівняння є будь-яке невід’ємне число. 63. а) 0; б) коренів немає; в) коренів немає. 64.19. 69.30 яблук.70. 40 кг; 28 кг. 71.18 і 15 комп’ютерів. 72. 784 га; 224 га. 73. 36 і 12 років. 74. 16 і 20 деталей. 75. 300 сторінок. 76. 90 км. 77. а) 9 см; 6 см; 10 см; б) 10,5 см; 5,5 см; 9 см. 78.Олег — 2 грн.; Сергій — 6 грн.; Віталій — 4 грн. 79. 130 кг; 150 кг; 180 кг. 80. 52,5 кг; 45 кг; 37,5 кг. 81. 20 км/год; 16 км/год; 12 км. 82. 66 і 54 яблук. 83. 400 км. 84. 200 км. 85. 30 км. 86.21 км/год. 87.40 км. 88.56 км/год; 60 км/год. 89.56, 14 і 11 років. 90. 60 і 35 книжок. 91.80 семи-
класників. 92. 90 деталей. 93.350 грн. 94. 10 хв; 40 хв. 95.28 учнів. 96. 8 ц, 2 ц. 97. 40 л; 30 л. 98.500 г. 99.38 т. 102. 34. 105.30 способами. 109. в) 2; г)5; д)-2,6; е)4. 110. а) 5; б) -1. 111. а) коренів немає; б)-2; 2. 112. а)0; 4; б)-2; 1. 113. а) 7;
б) –0,6. 114.а = 0. 115. Не існує. 116.108 см². 117.8 см; 12 см; 10 см. 118.70 га. 119.15 км. 120.1,2 год. 121.3 кг; 7 кг. 122.40 л.

Завдання для самоперевірки № 1

1-й рівень.1.в).2.б).3.а); г). 4.б).5.в).2-й рівень.2. а) Один; б) коренів немає; в) один; г) безліч. 3. а) 1; б) 4.5 км/год. 3-й рівень.1.Ні. 2. а) б) 14. 3.51 м; 30 м. 4.5 год. 4-й рівень.2. а) б) –2; 2. 3.300 м. 4.1,5 кг.

§ 2

138. 2400 кг. 139. 160 деталей. 142. а) 22,45; б) 530. 143. а) б) 4,6. 146.х = 2,5. 147.х = –7. 148.х = 2. 161. 120; 5040; 2 нулями; 24 нулями.164. 23 числа. 166. а) 17,6 кг; б) 25 кг. 179. а) 44а + 40; б) 8,5b - 4a;в) -6у + 4;г) -2х - 23у - 6. 180. а) 2х - 11z;б) -14а + 15b - 3. 181. а) -6,9; б) -11; в) 28.182. а) -4; б) 27. 192. а) 28с + 26; б) х - 4,5; в) -6х + 2у + 3z; г) 4а - b; д) -6х + 18; е) 15n - 20. 193. а) 6а + 12; б) 1,5а - 5,4b; в) 12n + 18; г) х - у + 196. а) 1; б) 2. 197. а) –3; б) 0,5. 209. а) –5; 5; б) –7; –3; в) –3. 210. -15; 5; 20. 211. 60 км/год. 212.218. а) 35 - 54а; б) 5х - 10; в) х - 4у - 9; г) 7b + 5; д) -0,1х + 2у -1,2; е) 2,5а + 15. 219. а) -47; б)0,1. 220.13. 221.х = 1,8.

Завдання для самоперевірки № 2

1-й рівень.1. г). 2.б).3.б).4.в).5.в).2-й рівень.1.2а – b. 2.13а + 8,2.
3.–2,5х + 2,75; 0,75. 3-й рівень.1.6а – 2. 2.8,24. 3.4а – 3b. 4-й рівень.1.
2. 8а – 17.

§ 3

249.11; 1; 1; 5; 31.250.-5; 0; 22. 254. а) 0; 100; 0; б) 0; 99; -1; в) 0; 1; 1; г) 0; 1; 1. 258. в) 2; г) -35. 259. 7 матчів виграла, 2 зіграла внічию. 260. -5; -10; -9. 278. а) 10 000; б) 1 000 000; в) 1; г)100 000; д)е) 1; є) 1; ж)279. а)1000; б)1 000 000; в) 1;д)81; е) 282. а) а^m^{+ 2}. 283. а) а³⁵; б) а¹⁸; г) а¹⁵. 284. б) а¹⁵; г) а¹². 290. г) 33. 291.20 виразів. 292.117 км.293. 250 м³. 306. а) -1,25а⁷b⁵; б) 0,27а⁶b⁵; в) -x⁵y⁸; г) 16а⁶b¹²; д) -0,5m¹⁰n⁸; е) 1,1а⁷b⁷с⁷. 307. а) -25m⁴n³; б) -0,1p⁵q³; в) -9а¹²b⁵; г) -1,5x⁹y⁵z⁶. 312. а) 12; б) 4; в) 64; г) -24. 313. а) 400 000; б) 1; в) -32. 314. а) -10; б)256. 315. а) 16x⁴⁸; б) 2x²²ⁿ; в) 8а^{4n + 2}b^{4n + 2}; г)-х^{8n + 5}. 316. а)1; б)0,16. 317.У 8 разів. 318. а) 2; б) –1. 320. 1000 грн. 321. 855 км. 331. а)-2а⁵b; б)a³b³; в)-x⁴y²; г)-112a⁷b⁴; д)-10х⁶z⁵; е)81a¹²b¹⁶с²⁰d⁴; є)-0,2a⁵b⁵; ж)-10х³у⁵; з)-256m⁸n²¹. 333. а)27; б) -320. 334. в)1; г) 256. 337. а)0; б) коренів немає; в)0.

Завдання для самоперевірки № 3

1-й рівень.1.в).2.б). 3.г).4.в).5. г).2-й рівень.1. а) х⁸; б) х⁵;в) х¹⁵;г) х²⁴. 2. а) 44; б) 80;в) 1000. 3. а) 6а⁵; б) -1,5а⁵b⁵; в) 16а⁴с¹². 4. а) 1; б) 20 000. 3-й рівень.1. а) 6³⁶; б) 3⁴⁶;в) 2²⁴. 2. а)36х⁸у⁸; б)63a⁸b¹²с¹²; в)–0,0016m⁴⁷n⁶⁰; г)6,25a¹¹х¹¹. 3. а)Наприклад, 2a²b² × 4a¹⁰b¹⁰ × 8b⁶; б)(–4a⁵b⁸) × (–16a⁷b¹⁰); в)(4a⁴b⁶)³. 4. а) 256; б) 32. 4-й рівень.1. а) 2^{4n + 10}; б) 2^{9n + 22}. 2. а) 1; б) 9. 3.4. 4. а) 0; б) Коренів немає.

§ 4

346. а) 12; б) 2,21; в) -18.347. а) 28; б) 0. 350. а) -0,44; б)-10. 351. а) 168; б) 2. 356.Вказівка. Припустимо, що коли x = n, де n — ціле число, то значення многочлена дорівнює нулю. Тоді правильною є рівність n⁵ – 6n² + 1 = 0. Обґрунтуйте, виходячи з цієї рівності, що 1 має ділитися на n, звідки n = 1 або n = –1. Однак, якщо n = 1 або n = –1, то дана рівність є неправильною. 359. а) -2; б) -0,6; в) 0,5; г) 0,75. 360. 18,4 км/год. 372. а) 0,8; б) -2. 373. а) 0,5; б)-0,8. 374. а) а²b³; б) -х⁴- 2х - 11; в) 2xy - 2х²; г) -5a²- 5b - 3. 375. а) -х²- 5х; б) 8ab + 4b²; в) -n²+ 7n. 376. а) P = -3х²- х + 3; б) Р = х² + 2; в) Р = 3х². 377.-2х²+ 2х + 6. 378. а) 2; б) -1,75. 379. а) -1,2; б) 2. 382.Порівну. 383. а = –1, b = 1. 387. 400 г. 391. б) -10а²- 8а; в) 2а⁵ - а³; г) -12х³- 2х. 392. а) -3а³; б) 4b³ - 4b + 1. 393. а) 2а²; б) -2у²; в) -3m- 6; г)0. 394. а) с³; б) -5х³- 15х²; в) 4а²; г) 0. 395. а) -1; б) 2,5; в) -0,75; г) 6. 396. а) 1; б) 2,4. 397. а) -2а²- 8а + 8; б) 15х⁶- 18х⁴; в) -8m⁴n³ + 8m⁴n²; г) -2х² + x; д) 11аbc; е) -18х⁵у². 398. а) 2а³; б) -4ху²+ 2х; в) -8m³n⁵; г)а²b²- 4а⁴. 405. а)5; б)0,7; в) 3; г) 2. 406. а)-15; б)2; в) 1; г) 1,5. 407. а) -1; б) 4. 408. а) 0; б) 3. 409. 1,5; 8,5. 410. 60 см². 411. 200 м². 412. а) 0; б) -аⁿ; в) х^{3n + 4} + х^{3n + 2}. 415.Хлопців на 5 більше, ніж дівчат. 416. л. Вказівка. Після першого відливання і доливання води в 1 л суміші міститься л спирту. 417. 90 км. 418. 180 км. 419.60 піратів. 427. а) 6а²- 4; б) -12; в) -15; г) а³ + а; д) а²- 3b²; е) -4y². 428. а) 7х + 6; б) 3а²; в)5ab - 8b²; г) 2m²-15n². 429. а) 5; б) 0,6. 430. а) 4; б) 1. 435. а) 12а²- 10; б) 45х – 4; в) 5а; г) 7b³; д) 14х⁴у². 436. а) 18х²- 15; б) -35b + 10; в) х³ + 9у³; г) 2ab. 437. а) 1,8; б) 2; в) -1; г) 2. 438. а) б) 4; в) коренем є будь-яке число. 446.3; 4; 5. 447. 9 см; 5 см. 448. 8 см; 4 см. 449.0. 450. а) аⁿ + bⁿ; б)2ⁿ^{+ 3} + 5. 455. 223. 456.50 коп. 457. 3 км/год. 458. 25,2 км. 474. а) 6,25; б) 103.475. а) 1,96; б) 28. 476. а) 0; 5; б)0; -3. 477. а) 0; -2; б) 0; 2. 478. а)ab³(a+ b - ab); б)12x⁴y³(3 - 4х²y); в)8а²b²(3b - 2ab - 5a); г)-0,6m⁴n⁵(5n - 2m + 7mn); д) x²y³z²(xy - 2z + 7xz²); е) аbc(c + 2b - 4a).479. а)2x⁴z³(1+ 2z - 2z²); б)15a²b²(3a² - 4ab + 5b²); в)-1,8m²n⁴(2n - 3m + 5); г) x³y³z⁴(2x² - y² + 4z).480. а)(m + k)(a- b); г)(a- b)(m - 3); е)(x- 2)(x + 2); є)(a- b)(2х - a+ b); ж)2х(a+ b)(2 + a+ b). 481. а)(x - k)(m- n); в)(s - t)(a- b); г)(a- b)(2 + x); д)(m- 4)(m - 9); е)(m- n)(х + 2m - 2n). 482. а) 0,5; б) 483. а) 5; б) 0. 484. а) 0; -20; б)0; 0,4; в) 0; . 485. а) 0; 0,2; б)0; -0,2; в) 0; 492.12 см; 10 см; 5 см.493.350 км. 496. а) 26,3; б) 1; в) 498. є)(1 - 2n)(a- b); ж)(у - 1)(4а - 3). 499. г)(с + b)(6- a); д)(х+ у)(1 - b); е)(a- 1)(7m + 5x). 500. а)(a + 1)(a²+ 1); б)(x– 4)(x² + 2); в)(b- a)(b - 2); г)(х+ у)(10 + х); д)(3- х)(а + х); е)(а - 1)(ху + 5). 501. а)(х + 2)(х²+ 1); б)(а²+ 5)(а⁴ + 5); в)(а+ 2b)(a + 3); г)(х + 3a)(х - 2). 502. а)(a² + b²)(1- ay); б)(b- y)(bn - y); в)(c+ 2)(3a² - 5bc); г)(2x²+ 3у)(6 + 5х); д)(3y- 4х)(0,3а + 0,4y); е) 503. а) (y² - a)(x²+ 2y); б) (a- 2c)(2ab - 1); в) (2x³ + 3y²)(3y+ 4z²); г)(n² + 3m²)(0,2mn- 0,5). 504. а)(a - b + c)(x + 3); б)(x² - y² + 4z)(a - 4b); в)(a + b)(-5 + 3n - m); г)(b+ c)(n² + p² - p). 505. а)(a + b + 2)(ab + 1); б)(a - b + 1)(с + d); в)(a+ b)(2a² + 2b - 1). 506. а) 2,5; б) 37; в) 0.507. а) 38; б) 508.(а + b - 1)(a²+ b²). 510. Якщо х > 3, то значення многочлена додатні; якщо х < 3, ¾ від’ємні. 511. 1; 5. 512. а)(а- 2)(а - 5); б)(х + 1)(х + 4); в)(x + y)(x + 2y); г) (a - 3b)(a - 4b). 513. а) 1; 2; б)-5; -3. 514. а) -2; 0; б) 1; 2; 3; 4.516. 1 грн. 20 коп. 517. 60 і 35 книжок. 518. 26,5 т; 28 т. 525. а) 12b² - 14b; б) 4x + 8; в) -ab²+ 2a - 1; г) 0; д) 4bc; е) 0. 527. а) -1; б) -1,5; в) 16; г) -31. 530. 7 см; 5 см.531. а) 0,6; б) коренів немає; в) -1. 533. а)(а+ b)(2 + х); б)(х - y)(3 - а); в) (х + 2)(х² + 1); г)(1 - 2y)(0,1x + 0,2y); д) 5(b + 2)(a² - 2bc); е) (4z - 5y)(x² - 5y²). 534. а)(x- 7)(х - 2); б)(х + 2)(x + 6). 535. а) 0; 3; б)0; -2; в) 0; -2,5; г)0; . 536. а) 2; 3; б)-3; -1.537. а) -18; б)85; в) 42. 541. 0,5.

Завдання для самоперевірки № 4

1-й рівень.1.в).2.в).3.б).4. г). 5.в). 6.б).2-й рівень.1. а) 2а - 6; б) –х² - 3х – 1. 2. а) 6х⁴ - 2х³ + 2х²; б) 6а² - 19ab + 10b². 3. а)4х(1 – 3х); б)-10(2 + a);
в)2a²b(1 + 2a– a²). 4.75. 5. а)0; 0,5; б)0; –4. 3-й рівень.1.5х⁴ - 4х² + 3х.
2. а) –3,2х⁷y⁵ + 6,8х⁵y³; б) 2а³ - 7a²b – 6ab² + 8b³. 3. а) 3; б) 0; 1. 4. а)(m – n)(m – 2n + 3); б)(а - х)(аm – х). 4-й рівень.1. а)б) x³ + 6x²y + 11xy² + 6y³. 2. –9. 3. а)–6; б)4. а) б)(х + 2)(х + а). 5.20 см²; 14 см².

§ 5

551. а) 3; б) -5; в) -4х⁴; г) 64с⁸; д) 9а²b²; е) 8а²; є)-6b³ + 24b. 552. а) 7; б) 25 - 2с; в) а⁶; г) -4z⁴; д) 0. 553. а) z² + 1; б) в) -х²-г) 554. а) б) 6b²-555. а) b⁴ - 1; б) 16х⁴ - 1; в) 16 - у⁴; г) 81n⁴- 256; д) у⁴- 16z⁴; е) а⁸- 1. 556. а) 81 - с⁴; б) z⁴ - 625; в) 256x⁴ - у⁴; г) 81k⁸- 16. 559. а) 5; б) 0,5; в) 1; г) 0. 560. а) 0,5; б) 0,4. 561. а) 0; б) a³² - b³². 562.Вказівка. Врахувавши, що a - b = 1, ліву частину рівності можна записати у вигляді (a - b)(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸). 564.-1. 566. 5 км/год. 567. 10%. 568. 1,35 кг. 576. а) 2а² + 2; б) b²; в) -20x; г) 2x- 2. 577. а) 16; б) 2х² + 8. 578. а) 1; б) -2. 579. а) -5; б) 1. 588. а) -8a; б) 1; в) 12n² + 2; г) a² + b²+ 2ab. 589. а) 2a² + 8b²; б) х⁴ + 25x; в) a² + b² - 1. 590. а) -0,3; б) 2; в) 0,5; г) 0,25. 591. а) 1; б) -9; в) -1. 593.-4а²⁰b²⁰. 596.2. 597.Вказівка. Розгляньте можливі випадки: 1) m = 5k + 1; 2) m = 5k + 2; 3) m = 5k + 3; 4) m = 5k + 4, де k ¾ ціле число.

599.48; 60. 600. 12,6; 7. 601.51 і 30 деталей. 616. а)(a + 1)(a+ 3); б)(3b - 3)(3b+ 1); в)(2- 3b)(6 + 3b); г)(2a- 5- 5b)(2a- 5+ 5b); д)(x+ 1)(7х + 5); е)(-2a- 8b)(4a + 2b). 617. а)(2х - 4)(2х+ 2); б)(-2а- 3)(6а + 3); в)(-х+ у)(9х- 3у). 618.-34,4; 619.44; 620. а)-2; -4; б)1; -0,2; в)-5; -1; г)-6; 0. 621. а)2; 3; б)1; 3.
625. а)(a- b)(a+ b)(a²+ b²)(a⁴+ b⁴); б)(1- х)(1+ х)(1+ х²)(1+ х⁴)(1+ х⁸). 626. а)-2; 2; б)-1; 1; в) -4; 0. 629. а) 12 років; б) 6 років. 630.80 км/год. 637. а) 100; 0,01; 400; б) 400; 10 000. 638.100; 100. 641. а) 1; б) 100; 81. 642.643. а) 4; б) -6. 644. а) 3; б) -5. 645. а) 25; б)647.х =у = -2. 648.Коренем є будь-яке число. 649. а) 0,0081; б) 25. 650.0; 0,25. 664. в) (3а² - 5)(9а⁴ + 15а² + 25); е) (10 - аb³c⁴)(100 + 10аb³c⁴ + а²b⁶c⁸). 665. в) (0,4x³y²z - 3)(0,16x⁶y⁴z² + 1,2x³y²z + 9). 668. а) а³; б) x⁶; в) 0; г) 16. 669. а) x³; б) 2b³. 670. а) -2; б) 4,5. 671. а) 1; б) 8. 675. 11,375.676. а) 2х² + 2у²; б) 10ab; в) -a². 677. а) 9; б) 12. 678.105 км. 679. а) 7; -0,6; б) 0; 1; -3. Вказівка. |а| = |b|, якщо a = b або a = -b. 680. г)4а(a - 1)(a + 1); д)х²(х - 1)(х + 1); е)с(а- 3b)(а + 3b); ж)с(3+ b)(9- 3b + b²). 681. г)3y²(y - 1)(y + 1); д)2х(3y - 1)(3y + 1); є)6а(1- b)(1 + b + b²); ж)а³(1- а)(1 + а). 682. б)-(b - с)²; д)а(3а + 1)²; е)m(1- 5m)². 683. в)-6(а – 2b)²; г)х(х - 6)². 684. а) 800; б) 125.685. а) 300; б) 26 000.686. а) -3; 3; б) -0,5; 0,5.687. а) -5; 5; б) -0,2; 0,2.
688. а)(a- n)(a+ n)(a²+ n²); б)(k- 2)(k+ 2)(k²+ 4). 689. а)(х- 1)(х+ 1)(х²+ 1);
б)(3- b)(3+ b)(9+ b²). 690. а)3(m + 8)(n - 3); б)х³(b - 1)(х + 1); в)-4с(а+ 8)(b + 3); г)2y²(y- a)(y - b); д)0,5a(a+ x)(3 - x); е)xy(a- 1)(xy + 5). 691. а)2c(1 + x)(2a + b); б)m(a - b)(m + 3); в)-ab(а+ b)(a + 1); г)0,2x²(x+ 3y)(x - 2). 692. а)(x - y - z)(x - y + z); б) в)(c - 3 - k)(c - 3 + k); г)(2x - y - 2)(2x + y + 2). 693. а)(m + n - k)(m + n + k); б) в)(a - 4 - b)(a - 4 + b); г)(p - q + 5)(p + q - 5). 695.0. 696. а)(a + b)(a - b + 1); б)(x - a)(x + a + 1);
в)(2x - y)(2x + y - 1); г)(x - y)(3,5x + 3,5y - 1). 697. а)(c - b)(c + b + 1); б)(x + y)(1 + x - y); в)(a - x)(a + x + 4,8b). 698. а) 66; б) 19 200. 699. а) 31; б) 20 400. 700. а) -1; 0; 1; б) -0,5; 0; 0,5; в) -2; 2; 4; г) -2; 0,5; 2; д) -1; 0; 1; е) 2. 701. а) -2; 0; 2; б) -0,5; 0; 0,5; в) -3; 1; 3; г) -1; 0,25; 1. 702. а)(х - 2)(х + 4); б)(а - 6)(а - 2);
в)(2с- 3)(2с + 1); г)(x - 5y)(x - y); д)(а + b)(a + 11b); е)(3a - 4b)(3a + 2b).
703. а)(a - b)(2a - 2b + 1); б)3ab(a- b). 704. а) 1; 7; б) -10; -2; в)3; 5; г)-2; 1; 2; 3.710. а) 36; б) -3. 712. 0,4 кг. 713.2,2 кг. 714.50%. 725. а) 0 (якщо х = 2); б) 3 (якщо х = 2). 726. а) 0 (якщо а = -3); б) 1 (якщо х = 3). 732. а) –7 (якщо х = 1); б) 7 (якщо а = -2); 734. а) 3; 4; б) -3; 4. 735. а) Коренів немає; б)1. 737. а) Вказівка. Рівність можна записати у вигляді (x – 1)² + (y – 1)² + 1 = 0. 738. 2 + 2. 739. Так.741.3 км/год. 742.124 га; 186 га; 258 га. 746. а) -27; б) 6х²- 2; в) 29а²; г) -2ab -2bc -2ca; д)2а⁸. 749. а) -5; б) -0,5; в) г) 752. в)х²у²(х - у)(х + у);
д)(с - 1)²(с + 1)²; е)(а- b - 1)(а - b + 1); є)(m+ 4)(9m- 4); ж)(х+ у)(х – у – 1);
з)(а - b)(а + 3b). 754. а)(a- 1)(a+ 1)²(a²- a+ 1); б)(z- 2)(z+ 1)(z²+ 2z+ 4);
в)2(x- 1)²(x²+ х+ 1). 755. а)(х²+ ху+ у²)²(1- х + у)(1 + х- у); б)(х²- 2х+ 2)(х²+ 2х+ 2). 756. а) -3; 0; 3; б) -1; 0; 1;в) -1; 1; 5; г) -1,5; -1; 1. 757. а) коренів немає; б)0; в)1. 762. а) 1; б)16.

Завдання для самоперевірки № 5

1-й рівень.1. г). 2.в).3.в).4.в).5. г). 6.б).2-й рівень.1.–2а + 10; 9. 2. а) 9b² + 24b + 16; б) 4а² - 20a + 25. 3. а) 2; б) -3. 4. а)(3у- 4)(3у + 4);
б) 3(х- у)(х + у); в)(3а - b)(9а² + + 3аb + b²). 5. а)(3а+ 2)²; б)(10а- b)². 3-й рівень.1. а) 98y²; б) –6b² + 5. 3. а)(а³ – 2b²)(а³ + 2b²); б)(0,1а - 3b)(0,01а² + 0,3аb + 9b²); в)0,4а²(а + 1)². 5. а)0; 1,5; б)–5; 7. 4-й рівень.1. а) x⁴ - 8x²y⁴; б) а⁶ - 1. 2. а)(m² + mn + n²)(m - n + 3); б)(а + b + c – x)(а + b + c + x). 3. a)б)–9; –1; 1.

§ 6

787. а) х = 0; х = 4; б) х = 2. 788. а) х = -2; х = 0; б) х = -1. 791.-2.792. -4; 0; 4. 793.Так, наприклад, якщо х = -а. 794. 1 год 10 хв. 795. 192 числа.812. в) t = 0; t = 20; г) 5 £ t £ 10; 50 м. 813. б) 0,5 год; в) 4 км/год; 5 км/год; г) 4 км/год. 819.х = 0,6. 820. а)–1,5; 0,5; б)-1. 821. 5 кг. 855. х < 1,75. 856. х < 4. 864. Так. 865.a = 5. 868. а) 0; б)8 – 4х². 871.25%. 872.27 л; 9 л.873.2,5 км/год. 874. в) х = 0,75. 875. в) 32°F; 212°F. 885.k = -0,5. 888.-1; 2 — корені рівняння. 889. а)k = 0,5; б)k = 5.

Завдання для самоперевірки № 6

1 рівень. 1. г). 2. в). 3. б). 4. б). 5. б). 6. а); г). 2 рівень.1.4; –3,5. 2. 2; –2,5. 3. а) –2;
б) –3; 0. 5. Так. 3 рівень.1. Область визначення: –4 £ x £ 4. Область значень:
–3 £ y £ 3. Функція набуває від’ємних значень, якщо –3,3 < x < 2. 2. 0; 6. 3. x = –1 — нуль функції. Функція набуває від’ємних значень, якщо x > –1. 4. (2,8; 3,4). 5. Так. 4 рівень. 1. y = –7. 2. x = –3; x = 1. 3. Так. 4. x < –1.

§ 7

903.(2; 2).904.4. 905. 3. 906. а) (х; -3), де х ¾ будь-яке число; б) (3; у), де у ¾ будь-яке число. 907. б) х = 2k, y = 5 -3k, де k ¾ будь-яке ціле число; в) х = 9k + 3, y = 4k + 2, де k ¾ будь-яке ціле число. 908. (9; 2); (3; 7). 909. а = 0,2. 910. 8008 одиниць. 911. 250%. 926. 1. 927. -2. 928. -2. 929. 2. 930. Існує: а = 1. 933. а) (x + у)(7 + а); б) (х - 3)(х - 1); г) с(2а + 2b + с). 934. -15. 935. 28; 16. 936. х = 4 - 5k, y = 3k - 1, де k ¾ будь-яке ціле число. 939. а) (4; 2); б) (0; 4); в) (2; 1); г) (-1; 1). 940. а) (1; 1); б) (3; -4); в) (3; 4). 944. а) Безліч; б)немає; в)один; г)безліч. 945. а) Безліч; б)немає; в)один. 947. а = 0; b = 3. 948. а) (-1; 1); б) (-1,5; 3); (1,5; 3); в) (2; 2); (-1; 1). 949. а) 2; б) 0,6;в) 5;г) 3. 951. 953. а) (1; 3); б) (7; -4,5). 954. а) (1; 3); б) (4; 1); в)(3; 1); г) (1; -2); д)розв’язків немає; е)(3; 2). 955. а) (4; 0); б) (3; 5); в)(1,5; -2); г) (3; -1); д)(7; 1); е)(1; -1). 956. а) (2; 1,5); б) (1; -2); в)(20; 0,5); г) (3; 3). 957. а) (1; 0,5); б) (1; -1); в)(2; 10). 958. а) (2; -2); б)(4; 5). 959. (3; -3). 960. а) (3; -2); б) (-11; 65); в)(1; -6); г) розв’язків немає; д) (0,5; 1,5); е) (12; -8). 961. а) (2; 4); б) (-2; -1); в)(-6; -4); г) (5; 3). 963.у = -х + 4. 964.у = -0,5х + 0,5. 965. а) (4; 1); б) (4; 3); в)(5; 2); г) (6; 3); д) 966. а = -1,5. 967. b = 1,5. 968. а) (x - 3)(2 - y); б) у(у - 5)²; в) (-а - 2b)(3a - 2b). 970.1; 49.971.-10. 972. Ні. 973. а) (4; 3); б) (-2; -3); в)(0,5; 1). 974. а) (-1; 2); б) (-2; 4); в)(5; 1). 975. а) (3; -1); б)(0; -2); в) (-1; 3). 976. а) (-1; -1); б)(2; -2); в) (4; -3); г)(0,5; -0,5); д) (1; -1); е) (1; -2). 977. а) (1; -2); б)(5; 6); в) (5; 0,5); г)(6; 4). 978. а) (20; 1); б) в) (48; 55); г) 979. а) (2,5; 10); б)(-2; 4). 980. а) (3,5; 4,5); б) в) г) 981. а) (2,5; 1); б)(16; -23). 982. а) Ні; б)так. 983. а) Так; б)ні. 985. а) (-2; 0); б)(3; -1); (3; 1); в)(0,3; -1,2); г) (-2; 2). 986.Якщо а ¹ 2, ¾ один розв’язок; якщо а = 2, ¾ безліч розв’язків. 987.989.27; 9. 991. 14 і 7 років. 992. 500 грн.993. 3 грн.; 2 грн. 994. 2 грн.; 1 грн. 995. 8 кг; 7 кг. 996. 4 т; 5 т. 997. 57,5; 46,5. 998. 60; 12. 999. 5 двомісних; 9 тримісних. 1000. 11 двомісних; 14 чотиримісних. 1001. 80 км/год; 60 км/год. 1002. 12 і 8 деталей. 1003. 20 і 40 книжок. 1004. 17 і 8 горобців. 1005. 43 км/год; 3 км/год. 1006. 45 км/год; 3 км/год. 1007. 3 палки, 4 галки. 1008. 5 і 7 мішків. 1009. 17 тис. грн.; 7 тис. грн. 1010. 60 т; 42 т. 1011. 53. 1012. 5 км/год; 4 км/год. 1013. 50 км/год; 70 км/год. 1014. 80; 36. 1015. 50 л; 60 л. 1016. 200 грн.; 150 грн. 1017. 180 грн; 270 грн. 1018. 48. 1019. 57 км/год; 51 км/год; 85,5 км. 1020. 42 км; 36 км. 1021. 8 км. 1023. а) (1 + 3b)(а - c); б) (x + y)(x - y + 2); в) (a - 2b)(a + 2b + 1); г) (с - а)(с - 2а). 1034. а) (2; 1); б)(-1; -1). 1035. а) (4; -1); б)(2; -2); в) (0,5; -1). 1036. а) (1; -5); б)(-1; -3); в) (3; 2). 1037.(2; 1). 1038. а)(5; 10); б) (4; 1); в)(1; -3); г) (0,5; 2); д) (6; 15); е) (10; 14). 1039.(-1; 1). 1040. 40 коп.; 1 грн. 20 к. 1041. 8 і 12 монет. 1042. 40 кг; 44 кг. 1043. 2,7; 1,8. 1044. 80 км/год; 100 км/год. 1045. 72 км/год; 96 км/год. 1046. 1 грн.

Завдання для самоперевірки № 7

1 рівень. 1. б). 2. в). 3. в). 4. г). 5. г). 2 рівень.1.(3; 3); (2,6; 2). 2. (3; 1). 3.(5; 3). 4. (2; 0). 5. 2 кг; 5 кг. 3 рівень.1. а = –2. 2. (2; 1). 3. (4; 20). 4. (–1; –5). 5. 6 грн.; 9 грн. 4 рівень. 1. а = 0,2; b = –2,6. 2. (1; 2); (–3; 6). 3. 4. а = 6. 5. 20 т; 50 т.

Задачі за курс алгебри 7 класу

1064. а) -2х² – 9; б) –2с³+ 2. 1065. а) –19m² + 57m; б) 25; в) –11n³ + 5n²; г) 50у⁴ - 20у³. 1070. а) (x – y)(а + 3); б) (x + 1)(xy – 2); в) y(3 - 2a)(3a – x); г) (2х² + 3y²)(4а - 5y).1072. б) (a + 2b)(а – 2b + 1); в) (x – 2y – 2y²)(x – 2y + 2y²). 1073. а) (х - 3)(х + 1); б) (а - 1)(а + 4); в) (х – y)(х - 7y).1079. х = –1. 1080. х = 2. 1082. Ні. 1083.-5. 1085.Перший. 1086. а)15; б) 5; в)-20; г) 2; д)1; е) є)4; ж) –1. 1087. а)0,4; б) 3; в)коренів немає; г)д)–5; е)1088. а)0; 3; б) –0,5; 0; 0,5; в)3; г) –2; 2;
д)–8; 6; е) 7; 8. 1089. а)–1; 4; б) –8; 8. 1090. а)-3; 3; б) 0; в) коренів немає.
1092.1,5. 1094. 37,2. 1095. 3600 л; 1200 л. 1096. 1 год. 1097. 4 кг. 1098. 130 км. 1103. Так. 1106. b = 6. 1110. а) (2; 2); б) (–1; –2); в) (4; 7). 1111. а) (3; 1); б) (0,2; –1,2); 1112. а) б) (–4; –4). 1113.(0,5; –1). 1114.Так. 1115. 1116. k = 10. 1118. 120 і 130 деталей. 1119. 4,5 км/год; 4 км/год. 1120. 7 років; 3 роки. 1121.л; л.

Задачі підвищеної складності

1122. а) Коренів немає; б) 4. 1126. а)Якщо а ¹ 0, то х = 5 : а; якщо а = 0, то коренів немає; б)якщо а ¹ 0, то х = 0; якщо а = 0, то коренем рівняння є довільне число; д)якщо а ¹ 0, то х = 1; якщо а = 0, то коренем рівняння є довільне число;
е)якщо а ¹ 0, то х = –4; якщо а = 0, то коренем рівняння є довільне число. 1127. а) а = 8; б)не існують. 1128. 290 км. 1129. 450 г. 1130. 200 мл.
1131.20 км/год. 1134. 12. 1139. 121 яйце. 1140. 0 або 9. 1151. 72. 1152. а) 5; 0. 1156. а) x = 3a – 6; б) якщо a < 0, то коренів немає; якщо a = 0, то x = 0; якщо a > 0,
то x = –0,25a і x = 0,25a. 1162. а)б)в) (a + b + c)(ab + bc + ac). 1163. 1164. а) –1; 1; б)0,4; в) –1; 1. 1165. а) (a² + 2)(a² + 6); б) (c – 4)(c – 2)(c – 1)(c + 1); в)г)1166. а)б)1167. б)1171. а)m = 1, n = 1; б)m = 5, n = 1; m = 3, n = 3; m = 5, n = 9. 1175. а) –1; 0; 1; б)1.1176. а) 1; –1; 2; –2; б)–1; 1.1179. а)Якщо а ¹ 2, то х = а + 2; якщо а = 2, то коренем рівняння є довільне число; б) якщо а ¹ 2, то x = 2; якщо a = 2, то коренем рівняння є довільне число. 1180. a = –6. 1186.а = 0,2. 1189. а) (–2,5; 0,25); б)(0; 0); (1; 1). 1190. а) (1; 2); (–1; 2); б)(3; 1); (–3; 1). 1192. Якщо а ¹ 0,5, — один розв’язок, якщо а = 0,5, — безліч розв’язків. 1193. a > 0. 1194. 1196. Так. 1197. а) Так; б) ні. 1198. Ні. 1200. Перший і третій. 1201. Так. 1202. Ні.

Предметний покажчик
Властивості — лінійної функції................. 148 — рівнянь з однією змінною.. 10
Навчальне видання

Василь Ростиславович Кравчук

Галина Михайлівна Янченко

АЛГЕБРА
Підручник для 7 класу

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Используемые теги: Василь, Кравчук, Галина, Янченко, Алгебра0.061

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Василь Кравчук, Галина Янченко Алгебра

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

Василь Кравчук, Галина Янченко Алгебра
Усно... Які із записів є рівняннями... а х б х х в г х д х х е х gt...

ТЕМА АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Что такое логика Формальная логика Математическая логика... LOGOS греч слово понятие рассуждение разум... Слово логика обозначает совокупность правил которым подчиняется процесс мышления...

Алгебра экзаменационный 1 курс 1 семестр математика и и нформатика один ответ
Алгебра экзаменационный курс семестр математика и и нформатика... c Системаявляется... один ответ совместной определ нной...

Алгебра и аналитическая геометрия
Понятие матрица операции над матрицами и их свойства... Матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя... а Сложение матриц поэлементная операция...

Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу векторна алгебра
За час існування спеціальності Прикладна математика у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс Алгебри та... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу Алгебри та геометрія витримується один із дидактичних принципів від простого до складного...

Алгебра та початки аналізу
ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД... Бердичівський коледж промисловості економіки та права... Т С Волобуєва Н А Родер...

АЛГЕБРА
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ... ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ... Государственное образовательное учреждение...

По дисциплине Линейная алгебра Реферат: «Поверхности второго порядка»
Федеральное государственное образовательное учреждение... ВПО Ивановская государственная сельскохозяйственная академия им Д Беляева...

АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ... УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ САНКТ ПЕТЕРБУРГ...

Алгебра логики
Простейшим и наиболее широко применяемым примером такой алгебраической системы является множество B состоящее всего из двух элементов... B Ложь Истина... Как правило в математических выражениях Ложь отождествляется с логическим нул м а Истина с логической единицей а...

0.024

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?

Подпишитесь на Нашу рассылку

Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail

Новости и инфо для студентов

Свежие новости
Актуальные обзоры событий
Студенческая жизнь

Соответствующий теме материал

Похожее
По категориям
По работам

Линейная алгебра Алгоритм решения произвольной СЛАУ... Точные методы решения СЛАУ...
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ... Введение Настоящее пособие предназначено для знакомства с основами линейной алгебры и содержит разделы посвященные теории матриц и теории систем линейных...
И естественнонаучных дисциплин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт Петербургский государственный... Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения...
ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР Матрицы Начальные сведения Рассматриваем новый математический объект... Операции над матрицами...
Рабочая программа дисциплины Линейная алгебра КАЛИНИНГРАДСКИЙ ФИЛИАЛ... факультет ЭКОНОМИКА И УПРАВЛЕНИЕ...

Розділ ІV. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ
Є чимало задач, розв’язуючи які, отримують рівняння, що містять не одну, а кілька змінних. У даному розділі ми з’ясуємо, що таке лінійне рівняння із двома змінними та його розв’язок, що таке система двох лінійних рівнянь із двома змінними та її розв’язок, які основні способи розв’язу-вання систем лінійних рівнянь із двома змінними.
	— система двох лінійних рівнянь із двома змінними; х = 3, y = 2 — розв’язок цієї системи рівнянь.