Вправи для повторення

949.Розв’яжіть рівняння:

а) 2x - 6 = 2(1 - x); б)3(6y - 4) + 2y = 0;

в) г)

950.Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу
(n + 2)² - (n - 2)² ділиться на 8.

951*.Кожен із 28 туристів розмовляє англійською або французькою мовами. Відомо, що англійською мовою розмовляють 20 туристів, а французькою — 15. Яка ймовірність того, що навмання вибраний турист розмовляє і англійською, і французькою мовами?

952.З рівняння 2х - 3y = -4 виразіть:

а) змінну х через змінну y;б) змінну y через змінну x.

29. Розв’язування систем лінійних рівнянь
способом підстановки

Розглянемо правильну рівність 7 + 2 = 9. Якщо у цій рівності число 2 замінити числовим виразом 2(3 - 2), значення якого дорівнює 2, то одержимо правильну рівність 7 + 2(3 - 2) = 9. Навпаки, якщо у правильній рівності 7 + 2(3 - 2) = 9 вираз 2(3 - 2) замінити його значенням 2, то одержимо правильну рівність 7 + 2 = 9.

На цих властивостях числових рівностей базується розв’язування систем лінійних рівнянь способом підстановки. Розглянемо приклад.

Нехай треба розв’язати систему рівнянь

(1)

З першого рівняння системи виразимо змінну у через змінну х:

y = 3 - 2х.

Підставимо у друге рівняння системи замість y вираз 3 - 2х. Одержимо систему

(2)

Системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки (доведення у рубриці «Для тих, хто хоче знати більше»). Друге рівняння системи (2) має лише одну змінну х. Розв’яжемо його:

3х - 6 + 4х = 8; 7х = 14; х = 2.

У перше рівняння системи (2) підставимо замість х число 2 і знайдемо відповідне значення у:

y = 3 - 2 × 2 = -1.

Пара чисел (2; -1) ¾ розв’язок системи (2), а також і системи (1).

Спосіб, використаний для розв’язання системи (1), називають способом підстановки.

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь способом підстановки, потрібно: 1) виразити з якого-небудь рівняння системи одну змінну через іншу; 2) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної одержаний вираз; 3) розв’язати одержане рівняння з однією змінною; 4) знайти відповідне значення іншої змінної.

Для тих, хто хоче знати більше

Доведемо, що системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки.

Нехай пара чисел (a; b) ¾ довільний розв’язок системи (1). Тоді правильними є числові рівності 2а + b = 3 і 3а - 2b = 8, а отже, і рівність b = 3 - 2a. Замінимо в рівності 3а - 2b = 8 число b виразом 3 - 2a, одержимо правильну рівність 3а - 2(3 - 2a) = 8. Оскільки рівності b = 3 - 2a і 3а - 2(3 - 2a) = 8 є правильними, то пара чисел (a; b) є розв’язком системи (2). Ми показали, що довільний розв’язок системи (1) є розв’язком системи (2).

Навпаки, нехай пара чисел (с; d) ¾ довільний розв’язок системи (2). Тоді правильними є числові рівності d = 3 - 2c і 3c - 2(3 - 2c) = 8. Замінимо в рівності 3c - 2(3 - 2c) = 8 вираз 3 - 2c числом d, одержимо правильну рівність 3c - 2d = 8.
З рівності d = 3 - 2c випливає, що 2c + d = 3. Оскільки рівності 2c + d = 3 і 3c - 2d = 8 є правильними, то пара чисел (c; d) є розв’язком системи (1). Ми показали, що довільний розв’язок системи (2) є розв’язком системи (1).

Отже, системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки.

Системи рівнянь із двома змінними, які мають одні й ті ж розв’язки, називають рівносильними. Отже, розв’язуючи систему рівнянь (1), ми замінили її рівносильною системою (2).

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь

● Виразимо з першого рівняння змінну у через змінну х:

5y = 4х - 7; y =

Підставимо у друге рівняння системи замість у вираз і розв’яжемо одержане рівняння:

3х + 4 × = -18;

15х + 4(4х - 7) = -90;

15х + 16х - 28 = -90;

31х = -62;

х = -2.

Знайдемо відповідне значення змінної у:

у = = -3.

Відповідь. (-2; -3). ●

Приклад 2.Для яких значень коефіцієнта а система рівнянь не має розв’язку?

● Виразимо із другого рівняння змінну х через змінну у: х = 2у + 3.

Підставивши у перше рівняння системи замість х вираз 2у + 3, одержимо рівняння:

3(2у + 3) - ау = 2.

Далі матимемо:

6у + 9 - ау = 2; 6у - ау = 2 - 9; (6 - а)у = -7.

Останнє рівняння не має коренів лише у випадку, коли коефіцієнт біля у дорівнює нулю: 6 - а = 0; а = 6. Для цього значення а система рівнянь не має розв’язку.

Відповідь. а = 6. ●

Приклад 3. Графіком функції є пряма, що проходить через точки A(–1; 2) і B(2; 5). Задати цю функцію формулою.

● Пряма є графіком лінійної функції. Нехай шукана лінійна функція задається формулою у = kx + b, де k і b — поки що невідомі числа. Оскільки графік функції проходить через точки A(–1; 2) і B(2; 5), то повинні виконуватися дві рівності

2 = k × (–1) + b і 5 = k × 2 + b.

Розв’язавши систему знайдемо: k = 1, b = 3. Отже, функція задається формулою у = х + 3. ●

Рівень А

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

953. а) б)

954. а) б) в)

г) д) е)

955.а) б) в)

г) д) е)

Рівень Б

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

956. а) б)

в) г)

957.а) б) в)

Знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь, не виконуючи
побудов:

958. а)х - у = 4 і х + 2у = -2; б)5х - 2у = 10 і 3х - 4у = -8.

959.7х + 4у = 9 і 2х + 5у = -9.

Знайдіть розв’язки системи рівнянь:

960. а) б)

в) г)

д) е)

961.а) б)

в) г)

962.Доведіть, що графіками рівнянь 4х - 2у = 5 і 6х - 3у = 6 є паралельні прямі.

963.Графіком функції є пряма, що проходить через точки A(–2; 6), B(3; 1). Задайте цю функцію формулою.

964.Графіком функції є пряма, що проходить через точки A(–3; 2), B(3; –1). Задайте цю функцію формулою.

Рівень В

965.Розв’яжіть систему рівнянь:

а) б)

в) г)

д)

966.Для яких значень коефіцієнта а система рівнянь не має розв’язку?

967.Для яких значень коефіцієнта b система рівнянь має безліч розв’язків?