рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Математика
- /
- Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства
Реферат Курсовая Конспект
Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства
Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства - раздел Математика, Алгебра И Аналитическая Геометрия ...
Алгебра и аналитическая геометрия
Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства.
Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел, которые нельзя менять местами. Квадратная матрица - таблица, у которой число строк и число столбцов одинаково. Определитель может быть только у квадратной матрицы.
а) Сложение матриц - поэлементная операция
б) Вычитание матриц - поэлементная операция
в) Произведение матрицы на число - поэлементная операция
г) УмножениеA*Bматриц по правилустрока на столбец(число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы
Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сijматрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т.е.
Покажем операцию умножения матриц на примере
Свойства операций над матрицами
A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)
λ(A+B)=λA+λB
A(B+C)=AB+AC
(A+B)C=AC+BC
λ(AB)=(λA)B=A(λB)
A(BC)=(AB)C
(A')'=A
(λA)'=λ(A)'
(A+B)'=A'+B'
(AB)'=B'A'
Понятие определителя n-го порядка. Вычисление определителя в 2-го и 3-го порядка.
Числа называют элементами определителя (1) (первый индекс означает номер… Воображаемая прямая, соединяющая элементы определителя, у которых оба индекса одинаковы, т.е. элементыТеорема Лапласа ( о разложении определителя по элементам строки или столбца) (без доказательства)
Теорема Лапласа Пусть в определителе порядка n выбраны нами k строк. Тогда сумма произведений… Теорему проиллюстрируем на примере определителя четвёртого порядка. Выберем первую и третью строки, из них составим…Понятие ранга матрицы.
Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы . Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М1 = 1,…Системы линейных уравнений.Теорема Кронекера-Капелли ( о совместимости системы).
Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.Доказательство (условия совместности системы)
Необходимость
Достаточность
Следствия
- Количество главных переменных системы равно рангу системы.
- Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
Решение СЛАУ методом Крамера.
Пример.
Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера 
.
Решение.
ИмеемОбщее решение неоднородной СЛАУ. Метод Гаусса рения СЛАУ. Вид общего решения неоднородной СЛАУ.
Такие СЛАУ могут не иметь решений, иметь единственное решение или иметь бесконечно много решений. Это утверждение относится также к системам… Прежде чем находить решение системы линейных уравнений необходимо установить…Пример.
Выясните, имеет ли система линейных уравнений 
решения.
Решение.
Так как все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг основной… В свою очередь ранг расширенной матрицы равен трем, так как минор третьего порядкаПример.
Найдите решение системы уравнений 
методом Гаусса.
Решение.
Неизвестную переменную x1 исключили, переходим к исключению x2. К левым и…Геометрические векторы и операции над ними.
Операция сложения двух векторов - правило треугольника.
Сложение векторов и происходит так: от произвольной точки A откладывается вектор , равный , далее от точки B откладываеься вектор , равный , и… Проиллюстрируем сложение не коллинеарных векторов на плоскости по правилу…Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.
Сложение нескольких векторов выполняется следующим построением. От произвольной точки А плоскости или пространства откладывается вектор, равный… Сложение нескольких векторов на плоскости таким способом называется правилом…Операция умножения вектора на число.
Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k > 1 или сжатию в раз при 0 < k < 1, при k = 1 вектор остается… К примеру, при умножении вектора на число 2 нам следует вдвое увеличить его…Свойства операций над векторами.
1. Свойство коммутативности . 2. Свойство ассоциативности сложения .Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярное произведение векторов и будем обозначать как . Тогда формула для вычисления скалярного произведения имеет вид , где и - длины векторов и… Из определения скалярного произведения видно, что если хотя бы один из… Вектор можно скалярно умножить на себя. Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его длины, так как по…Скалярное произведение в координатах.
Определение. Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном… То есть, для векторов на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного…Свойства скалярного произведения.
Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и… Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения . По… Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.Векторное произведение векторов и его свойства.
Векторное произведение векторов и обозначается как . К началу страницыКоординаты векторного произведения.
Определение. В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное… Это определение дает нам векторное произведение в координатной форме.Свойства векторного произведения.
Для примера докажем свойство антикоммутативности векторного произведения. По определению и . Нам известно, что значение определителя матрицы изменяется… Пример.Задачи аналитической геометрии. Уравнение прямой на плоскости.
Общее уравнение прямой.
Теорема. Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y вида , где А, В и С… Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.Уравнение прямой в отрезках.
Для примера построим прямую линию, заданную уравнением в отрезках вида . Отмечаем точки и соединяем их. Детальную информацию об этом виде уравнения прямой на плоскости Вы можете получить в статье уравнение прямой в…Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Определение углового коэффициента прямой дается через определение угла наклона прямой к положительному направлению оси Ox. Определение. Углом наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс в данной прямоугольной декартовой системе координат Oxy…Нормальное уравнение прямой.
Часто можно видеть другую форму записи нормального уравнения прямой: , где и - действительные числа, представляющие собой направляющие косинусы… Для примера приведем общее уравнение прямой . Это общее уравнение прямой…Уравнение плоскости.
Всякое уравнение вида , где A, B, C и D – некоторые действительные числа, причем А, В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в… Доказательство. Как видите, теорема состоит из двух частей. В первой части нам дано уравнение и нужно доказать, что оно определяет…Общее уравнение плоскости, проходящей через точку.
Пример. Принадлежат ли точки и плоскости, общее уравнение которой имеет вид . Решение.Дифферинциальное исчесление
Множества и операции над множествами. Числовые множества. Отображения. Элементарные отображения.
Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.
Операции над множествами
Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.
Объединением (суммой)множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}
Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}
Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}
Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}
Свойства операций над множествами
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A Сочетательное свойство (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)Предел функции.
Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела . 2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к…Теоремы о пределах.
Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот… Теорема 2.Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке , то: 1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.Замечательные пределы и их следствия.
На практике чаще встречаются модификации первого замечательного предела в виде где, k – коэффициент.Следствия
Определение дифференцируемости.
В силу геометрического смысла производной следующие два свойства равносильны друг другу: 1) функция дифференцируема при ; 2) график этой точки имеет…Правило дифференцирования.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого…Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.
Геометрический смысл производной функции в точке.
Рассмотрим секущую АВ графика функции y = f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты и , где - приращение аргумента. Обозначим…Пример.
Составить уравнение касательной к графику функции 
в точке (-1; -3) и определить угол наклона.
Решение.
Находим производную и вычисляем ее значение в точке : Так как значение производной в точке касания есть угловой коэффициент касательной, а он равен тангенсу угла наклона,…Исследование функции при помощи производной (общая схема).
1.
a. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
b. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
2. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.
3. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
4. Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
5. На основании проведенного исследования построить график функции.
Примеры. Исследовать функции и построить их графики.
. - Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.
Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.
Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).
. Критические точки: x1 = 1; x2= –1.
а) Вертикальных асимптот нет
б) 
. Асимптота – y = 0.
· 
.
- D(y)=(–∞; +∞). Точек разрыва нет.
Пересечение с осью Ox: 
.
. - а) Вертикальных асимптот нет
б)
.
Наклонных асимптот нет.
· 
.
- D(y)=(0; +∞). Функция непрерывна на области определения.
Пересечение с осью 
: 
- а)
.
Вертикальная асимптота x = 0.
б)
.
Наклонная асимптота y = 0.
Необходимые условия экстремума и достаточные условия экстремума.
Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему…Достаточные признаки экстремума функции.
Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке… если при и при , то - точка минимума.Условия монотонности и постоянства функции.
Док-во. Необходимость. Если f(x) монотонно возрастает, то для любых , при выполняется . Достаточность. Пусть для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. … Случай монотонного убывания рассматривается аналогично.Понятие первообразной. Свойства и примеры.
Определение первообразной.
Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество… Пример. Найти первообразную функции , значение которой равно единице при х =… Решение.Проверка.
В итоге получили подынтегральную функцию, значит, интегрирование выполнено правильно. В последнем переходе была использована формула синуса двойного… Теорема о структуре: Пусть - некоторая первообразная для на . Тогда множество всех первообразных для на имеет вид .Свойства первообразной
Первообразная суммы равна сумме первообразных
Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции первому классу Бэра и выполнение для неё свойства ДарбуУ заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.
Методы нахождения первообразных.
Определенный интеграл. Определение и геометрический смысл.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Определение
Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует… Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.Геометрический смысл
Определённый интеграл как площадь фигурыСвойства определенного интеграла.
Свойство 2. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых…Формула Ньютона-Лейбница ( с доказательством).
Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Обозначим эту функцию ,… где . Перепишем это равенство в виде . Если вспомнить определениеВычесление определенных интегралов.
Пример.
Вычислить определенные интегралы 
Решение.
На отрезке 
подынтегральная функция непрерывна, следовательно, интегрируема. Найдем
множество первообразных функции 
:
Возьмем первообразную 
и по формуле Ньютона-Лейбница получим
На отрезке [-1; 1] подынтегральная функция не ограничена, так как 
, то есть, не
выполняется необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Более того, не является первообразной функции на отрезке [-1; 1], поскольку точка 0, принадлежащая отрезку, не входит в область определения функции. Следовательно, не существует определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции на отрезке [-1; 1].
В этом моменте надо быть очень внимательным, и перед применением формулы Ньютона-Лейбница обязательно нужно убедиться, действительно ли функция y = F(x) является первообразной функции y = f(x) на отрезке интегрирования.
Несобственные интегралы. Определение и примеры.
Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].
Несобственные интегралы I рода
Примеры
Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
Несобственные интегралы II рода
Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции
Пример
– Конец работы –
Используемые теги: Алгебра, Аналитическая, Геометрия, Понятие, Матрица, операции, над, матрицами, Свойства0.123
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.228 сек.
Новости и инфо для студентов