Общее уравнение плоскости, проходящей через точку.
Общее уравнение плоскости, проходящей через точку. - раздел Математика, Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства Еще Раз Повторим, Что Точка ...
Еще раз повторим, что точка принадлежит плоскости, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве общим уравнением плоскости , если при подстановке координат точки в уравнение оно обращается в тождество.
Пример.
Принадлежат ли точки и плоскости, общее уравнение которой имеет вид .
Решение.
Подставим координаты точки М0 в общее уравнение плоскости: . В результате приходим к верному равенству, следовательно, точка лежит в плоскости.
Проделаем такую же процедуру с координатами точки N0: . Получаем неверное равенство, поэтому, точка не лежит в плоскости, определенной общим уравнением плоскости .
Ответ:
М0 лежит в плоскости, а N0 – не лежит.
Из доказательства теоремы об общем уравнении плоскости виден один полезный факт: вектор является нормальным вектором плоскости . Таким образом, если мы знаем вид общего уравнения плоскости, то мы сразу можем записать координаты нормального вектора этой плоскости.
Пример.
Плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz задана общим уравнением плоскости . Запишите координаты всех нормальных векторов этой плоскости.
13. Решение.
Нам известно, что коэффициенты при переменных x, y и z в общем уравнении плоскости являются соответствующими координатами нормального вектора этой плоскости. Следовательно, нормальный вектор заданной плоскости имеет координаты . Множество всех нормальных векторов можно задать как .
Ответ:
Теперь рассмотрим обратную задачу – задачу составления уравнения плоскости, когда известны координаты ее нормального вектора. Очевидно, что существует бесконечно много параллельных плоскостей, нормальным вектором которых является вектор . Поэтому, зададим дополнительное условие, чтобы обозначить одну конкретную плоскость. Будем считать, что точка принадлежит плоскости. Таким образом, задав нормальный вектор и точку плоскости , мы зафиксировали плоскость (смотрите раздел способы задания плоскости в пространстве). Получим общее уравнение этой плоскости.
Общее уравнение плоскости с нормальным вектором имеет вид . Так как точка лежит на плоскости, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, следовательно, справедливо равенство . Вычтем из левой и правой части равенства левую и правую части равенства соответственно. При этом получаем уравнение вида , которое является общим уравнением плоскости, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор плоскости.
Это уравнение можно было получить и иначе.
Очевидно, что множество точек трехмерного пространства определяют требуемую плоскость тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны. То есть, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: .
Пример.
Напишите уравнение плоскости, если в прямоугольной системе координат Oxyz в пространстве она проходит через точку , а - нормальный вектор этой плоскости.
Решение.
Приведем два решения этой задачи.
Из условия имеем . Подставляем эти данные в общее уравнение плоскости, проходящей через точку :
Теперь второй вариант решения.
Пусть - текущая точка плоскости. Находим координаты вектора по координатам точек начала и конца: . Для получения требуемого общего уравнения плоскости осталось только воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов и :
Ответ:
Существует множество аналогичных задач на составление общего уравнения плоскости, в которых сначала требуется найти координаты нормального вектора плоскости. Самые распространенные из них это задачи на нахождение уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно заданной плоскости и задачи на составление уравнения плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к заданной прямой.
Понятие матрица операции над матрицами и их свойства... Матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя... а Сложение матриц поэлементная операция...
Понятие ранга матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы
Решение.
Найдем ранг основной матрицы системы . Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Минор втор
Решение.
Коэффициент a1 1 отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x1 из всех уравнений системы, кром
Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.
Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий векто
Операция умножения вектора на число.
Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.
Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k
Свойства операций над векторами.
Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение вект
Скалярное произведение в координатах.
Покажем как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.
Определение.
Скалярным произведен
Координаты векторного произведения.
Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и .
Определение.
В прямоугольной системе коорди
Общее уравнение прямой.
Вид уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает следующая теорема.
Теорема.
Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и
Свойства операций над множествами
Свойства перестановочности
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Сочетательное свойство
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩
Предел функции.
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассма
Теоремы о пределах.
Теорема 1.(о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.
Следствие. Если две функции f(x) и
Определение дифференцируемости.
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и
Достаточные признаки экстремума функции.
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.
Свойства определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла. Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирован
Формула Ньютона-Лейбница ( с доказательством).
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо рав
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
принадлежит плоскости, которая задана в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве общим уравнением плоскости 
, если при подстановке координат точки 
и 
плоскости, общее уравнение которой имеет вид 
.
. В результате приходим к верному равенству, следовательно, точка 
. Получаем неверное равенство, поэтому, точка 
является нормальным вектором плоскости 
. Запишите координаты всех нормальных векторов этой плоскости.
заданной плоскости 
. Множество всех нормальных векторов можно задать как 
.
. Вычтем из левой и правой части равенства 
, которое является общим уравнением плоскости, проходящей через точку 
определяют требуемую плоскость тогда и только тогда, когда векторы 
перпендикулярны. То есть, тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: 
.
, а 
- нормальный вектор этой плоскости.
. Подставляем эти данные в общее уравнение плоскости, проходящей через точку 
по координатам точек начала и конца: 
. Для получения требуемого общего уравнения плоскости осталось только воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов 
:
Новости и инфо для студентов