Достаточные признаки экстремума функции. - раздел Математика, Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства Для Нахождения Максимумов И Минимумов Функции Можно Пользоваться Любым И...
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.
Первое достаточное условие экстремума.
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда
если при и при , то - точка максимума;
если при и при , то - точка минимума.
Другими словами:
если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;
если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.
Алгоритм.
Находим область определения функции.
Находим производную функции на области определения.
Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.
Пример.Найти экстремумы функции . Решение. Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x = 2. Находим производную:
Нулями числителя являются точки x = -1 и x = 5, знаменатель обращается в ноль при x = 2. Отмечаем эти точки на числовой оси
Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x = -2, x = 0, x = 3 и x = 6.
, следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично
Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.
Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума. В точке x = -1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x = -1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции . В точке x = 5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x = -1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции . Графическая иллюстрация.
Ответ: .
Второй достаточный признак экстремума функции. Пусть ,
если , то - точка минимума;
если , то - точка максимума.
Как видите, этот признак требует существования производной как минимум до второго порядка в точке . Пример.Найти экстремумы функции . Решение. Начнем с области определения:
Продифференцируем исходную функцию:
Производная обращается в ноль при x = 1, то есть, это точка возможного экстремума. Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1:
Следовательно, по второму достаточному условию экстремума, x = 1 - точка максимума. Тогда - максимум функции. Графическая иллюстрация.
Ответ: . Третий достаточный признак экстремума функции. Пусть функция y = f(x) имеет производные до n-ого порядка в -окрестности точки и производные до n+1-ого порядка в самой точке . Пусть и . Тогда,
если n – четное, то - точка перегиба;
если n – нечетное, то - точка экстремума.
Причем,
если , то - точка минимума;
если , то - точка максимума.
Пример. Найти точки экстремума функции . Решение. Исходная функция является целой рациональной, ее областью определения является все множество действительных чисел. Продифференцируем функцию:
Производная обращается в ноль при , следовательно, это точки возможного экстремума. Воспользуемся третьим достаточным признаком экстремума. Находим вторую производную и вычисляем ее значение в точках возможного экстремума (промежуточные вычисления опустим):
Следовательно, - точка максимума (для третьего достаточного признака экстремума имеем n = 1 и ). Для выяснения характера точек находим третью производную и вычисляем ее значение в этих точках:
Следовательно, - точка перегиба функции (n = 2 и ). Осталось разобраться с точкой . Находим четвертую производную и вычисляем ее значение в этой точке:
Следовательно, - точка минимума функции.
Графическая иллюстрация.
Ответ: - точка максимума, - точка минимума функции.
Понятие матрица операции над матрицами и их свойства... Матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя... а Сложение матриц поэлементная операция...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Достаточные признаки экстремума функции.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Понятие ранга матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы
Решение.
Найдем ранг основной матрицы системы . Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Минор втор
Решение.
Коэффициент a1 1 отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x1 из всех уравнений системы, кром
Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.
Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий векто
Операция умножения вектора на число.
Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.
Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k
Свойства операций над векторами.
Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение вект
Скалярное произведение в координатах.
Покажем как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.
Определение.
Скалярным произведен
Координаты векторного произведения.
Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и .
Определение.
В прямоугольной системе коорди
Общее уравнение прямой.
Вид уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает следующая теорема.
Теорема.
Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и
Свойства операций над множествами
Свойства перестановочности
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Сочетательное свойство
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩
Предел функции.
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассма
Теоремы о пределах.
Теорема 1.(о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.
Следствие. Если две функции f(x) и
Определение дифференцируемости.
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и
Свойства определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла. Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирован
Формула Ньютона-Лейбница ( с доказательством).
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо рав
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов