Условия монотонности и постоянства функции. - раздел Математика, Алгебра и аналитическая геометрия. Понятие матрица, операции над матрицами и их свойства Условие (Нестрогой) Монотонности Функции На Интервале. Пусть Функция...
Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция была монотонно возрастающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для . Для того, чтобы функция была монотонно убывающей на интервале , необходимо и достаточно выполнение условия для .
Док-во. Необходимость. Если f(x) монотонно возрастает, то для любых , при выполняется .
Достаточность. Пусть для , . По формуле конечных приращений Лагранжа , т.е. монотонно возрастает на .
Случай монотонного убывания рассматривается аналогично.
В случае, рассмотренном в Теор.8.2.1, мы не исключаем для функции возможность оставаться постоянной на некотором подынтервале ( и, как следствие, для её производной быть равной нулю на этом подынтервале). Если эту возможность исключить, получим условия строгой монотонности функции на интервале:
Теор.8.2.2. Условие строгого возрастания функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каждой точке интервала . Для того, чтобы эта функция строго возрастала на интервале , необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
для ;
не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала.
Док-во. Необходимость. Если f(x) строго возрастает, то, по теор.8.2.1 для ; при этом не обращается тождественно в нуль ни на каком подынтервале этого интервала, так как в этом случае по теор.8.1 была бы постоянной на этом подынтервале, что противоречит условию строгого возрастания.
Достаточность. Если выполняются условия теоремы, то, по теор.8.2.1, f(x) не убывает. Предположим, что для двух точек и интервала значения функции равны: . Тогда, вследствие неубывания f(x), для , т.е. постоянна на на этом интервале, что противоречит второму условию теоремы.
Случай строгого убывания рассматривается аналогично
Понятие матрица операции над матрицами и их свойства... Матрица это прямоугольная таблица составленная из чисел которые нельзя... а Сложение матриц поэлементная операция...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Условия монотонности и постоянства функции.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Понятие ранга матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.
Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы
Решение.
Найдем ранг основной матрицы системы . Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Минор втор
Решение.
Коэффициент a1 1 отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x1 из всех уравнений системы, кром
Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.
Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий векто
Операция умножения вектора на число.
Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число.
Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k
Свойства операций над векторами.
Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение вект
Скалярное произведение в координатах.
Покажем как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве.
Определение.
Скалярным произведен
Координаты векторного произведения.
Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и .
Определение.
В прямоугольной системе коорди
Общее уравнение прямой.
Вид уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает следующая теорема.
Теорема.
Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и
Свойства операций над множествами
Свойства перестановочности
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Сочетательное свойство
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩
Предел функции.
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассма
Теоремы о пределах.
Теорема 1.(о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.
Следствие. Если две функции f(x) и
Определение дифференцируемости.
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и
Достаточные признаки экстремума функции.
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.
Определение первообразной.
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство
Проверка.
Для проверки результата продифференцируем полученное выражение:
В итоге получи
Свойства определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла. Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирован
Формула Ньютона-Лейбница ( с доказательством).
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо рав
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов