Геометрический смысл

Все темы данного раздела:

Понятие определителя n-го порядка. Вычисление определителя в 2-го и 3-го порядка.
Итак, пусть дана квадратная таблица, состоящая из чисел, расположенных в n строках (горизонтальных рядах) и в n столбцах (вертикальных рядах). С помощью этих чисел по некоторым пр

Теорема Лапласа ( о разложении определителя по элементам строки или столбца) (без доказательства)
Теорема Лапласа. Пусть D – определитель n-го порядка, в котором произвольно выбраны k строк (или столбцов), где 1 ≤k ≤ n – 1. Тогда определитель

Понятие ранга матрицы.
Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля. Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

Системы линейных уравнений.Теорема Кронекера-Капелли ( о совместимости системы).
Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной а

Необходимость
Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что

Достаточность
Пусть . Возьмем в матрице

Решение.
Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы

Общее решение неоднородной СЛАУ. Метод Гаусса рения СЛАУ. Вид общего решения неоднородной СЛАУ.
Решение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. В общем случае число уравнений системы p не совпадает с числом неизвестных переменных n:

Решение.
Найдем ранг основной матрицы системы . Воспользуемся методом окаймляющих миноров. Минор втор

Решение.
Коэффициент a1 1 отличен от нуля, так что приступим к прямому ходу метода Гаусса, то есть, к исключению неизвестной переменной x1 из всех уравнений системы, кром

Операция сложения двух векторов - правило треугольника.
Покажем как происходит сложение двух векторов. Сложение векторов и

Сложение нескольких векторов - правило многоугольника.
Основываясь на рассмотренной операции сложения двух векторов, мы можем сложить три вектора и более. В этом случае складываются первые два вектора, к полученному результату прибавляется третий векто

Операция умножения вектора на число.
Сейчас разберемся как происходит умножение вектора на число. Умножение вектора на число k соответствует растяжению вектора в k раз при k

Свойства операций над векторами.
Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов

Скалярное произведение векторов и его свойства.
Скалярным произведением двух векторов называется действительное число, равное произведению длин умножаемых векторов на косинус угла между ними. Скалярное произведение вект

Скалярное произведение в координатах.
Покажем как скалярное произведение вычисляется через координаты векторов в прямоугольной системе координат на плоскости и в пространстве. Определение. Скалярным произведен

Свойства скалярного произведения.
Для любых векторов и

Векторное произведение векторов и его свойства.
Векторным произведением двух векторов и

Координаты векторного произведения.
Сейчас дадим второе определение векторного произведения, которое позволяет находить его координаты по координатам заданных векторов и . Определение. В прямоугольной системе коорди

Свойства векторного произведения.
Так как векторное произведение в координатах представимо в виде определителя матрицы , то на

Общее уравнение прямой.
Вид уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает следующая теорема. Теорема. Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и

Уравнение прямой в отрезках.
Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой вида , где x и y - переменные, а k и b – некото

Нормальное уравнение прямой.
Если в общем уравнении прямой вида числа А, В и С таковы, что длина век

Уравнение плоскости.
Теорема. Всякое уравнение вида , где A, B, C и D – неко

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку.
Еще раз повторим, что точка принадлежит плоскости, которая задана в прямоугольной системе ко

Свойства операций над множествами
Свойства перестановочности A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A Сочетательное свойство (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩

Предел функции.
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассма

Теоремы о пределах.
Теорема 1.(о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела. Следствие. Если две функции f(x) и

Замечательные пределы и их следствия.
Первый замечательный предел имеет вид: На практике чаще встречают

Следствия

Определение дифференцируемости.
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции. Функция называется дифференцируемой в некоторой точке, если она имеет в этой точке конечную производную, и

Правило дифференцирования.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Геометрический смысл производной. Уравнение касательной.
Углом наклона прямой y = kx+b называют угол , отсчитываемый от полож

Геометрический смысл производной функции в точке.
  Рассмотрим секущую АВ графика функции y = f(x) такую, что точки А и В имеют соответственно координаты

Решение.
Функция определена для всех действительных чисел. Так как (-1; -3) – точка касания, то

Необходимые условия экстремума и достаточные условия экстремума.
Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых

Достаточные признаки экстремума функции.
Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.

Условия монотонности и постоянства функции.
Условие (нестрогой) монотонности функции на интервале. Пусть функция имеет производную в каж

Определение первообразной.
Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство

Проверка.
Для проверки результата продифференцируем полученное выражение: В итоге получи

Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции являе

Определение
Пусть определена на

Свойства определенного интеграла.
Основные свойства определенного интеграла. Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирован

Формула Ньютона-Лейбница ( с доказательством).
Формула Ньютона-Лейбница. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо рав