Обратная матрица

Def. Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если А-1А=А А-1=Е.

Def. Матрица А называется невырожденной, если , в противном случае она называется вырожденной.

Th.6.1 Любая невырожденная матрица имеет обратную, которая находится по формуле: (6.1) где - алгебраические дополнения к элементам матрицы

Доказательство.

Докажем, что вырожденная матрица не имеет обратной.

Пусть и . Тогда с одной стороны , а с другой стороны . Противоречие. Значит, для вырожденной матрицы не существует обратной.

Проверим, что матрица заданная формулой (5.1) действительно является обратной к А. Для этого убедимся, что А-1А=А А-1=Е.

Найдем элемент матрицы В:

.

Если то и Если же то и Таким образом,

Аналогично доказываем, что

Свойства обратной матрицы:

 
  2. .
  3. .
  4. .
 

Доказательство.

Свойство 1 вытекает непосредственно из определения.

Докажем свойство 2. По определению обратной матрицы .

. Поскольку то .

Докажем свойство 3.

.

.

По определению – обратная матрица для матрицы , т.е. .

Докажем свойство 4.

и Значит, по определению матрица – обратная матрица для , т.е.