Мы определили что Покажем, что такое определение корректно. Для этого докажем, что , т.е. Или
(5.5)
Неравенство (5.5) носит название неравенства Коши-Буняковского.
Доказательство.
Рассмотрим вектор где Согласно аксиоме 4 скалярного произведения векторов
Преобразуем выражение, стоящее в левой части неравенства, на основании аксиом 1-3 скалярного произведения:
Значит, для квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства,
Отсюда вытекает неравенство (5.5) .
В частности для евклидова пространства направленных отрезков это неравенство очевидно.
Для пространства непрерывных на функций неравенство
Коши-Буняковского принимает вид