Def.Говорят, что в линейном пространстве задана линейная функция (линейная форма), если поставлено в соответствие числотакое что:
1) (11.1)
2) (11.2)
Найдем выражение линейной функции в координатах. Пусть - базис
Согласно (11.1) и (11.2) имеем:
где
Таким образом, линейная функция представляется линейной формой:
(11.3)
Любая билинейная функция представляется билинейной формой:
где (11.5)
Def.Матрица где называется матрицей билинейной формы.
Рассмотрим как изменяется матрица билинейной формы при переходе к новому базису.
Пусть в базисе билинейная форма имеет вид где И пусть новый базис, в котором где В базисе матрица билинейной формы а в базисе матрица билинейной формы Пусть матрица перехода от базиса к базису
Обозначим Тогда Тогда
(11.6)
Это равенство в матричной форме имеет вид
, (11.7)
где матрица перехода от базиса к базису
Def.Билинейная форма называется симметрической, если
В этом случае т.е. матрица билинейной формы будетсимметрической. Верно и обратное. Если матрица некоторой билинейной формы симметрическая, то и билинейная форма симметрическая.
Def.Если в симметрической билинейной форме положить то получим квадратичную формуВ этом случае билинейная форма называется полярной к
Очевидно, чтоматрица квадратичной формы всегда симметрическая.
Th. 11.1 | По квадратичной форме однозначно определяется породившая ее билинейная форма. |
Доказательство.
Пусть
Отсюда
(11.8)
Нахождение билинейной формы полярной к заданой квадратичной форме называется поляризацией квадратичной формы.
Из (11.5) следует, что любая квадратичная форма в заданном базисе задается формулой:
где (11.9)