Уравнение плоскости в пространстве

Уравнению первой степени на координатной плоскости соответствует в координатном простанстве уравнение

(14.1)

Th. 14.1

Каждое уравнение вида (14.1) определяет в пространстве плоскость наоборот, любая плоскость в координатном пространстве может быть задана уравнением (14.1)

Доказательство этой теоремы полностью моделирует доказательство соответсвующего утверждения для прямой на плоскости (проведите его самостоятельно, используя рис. 14.1).

Рис. 14.1

Рис. 14.2

Уравнение (14.1) называется общим уравнением плоскости, вектор – нормальным вектором плоскости.

Если плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору (рис. 14.1), то ее уравнение можно записать в виде:

(14.2)

Плоскость однозначно определяется точкой и двумя векторами и (неколлинеарны). Векторы и называются направляющими векторами плоскости. Пусть – текущая точка плоскости радиус вектор точки радиус-вектор точки (рис. 14.2).

тогда и только тогда, когда векторы компланарны. А поскольку неколлинеарны, то можно разложить по этим векторам, т.е. имеет место равенство:

Учитывая, что получаем:

(14.3)

Уравнение (14.3) называется векторным уравнением плоскости.

Т.к. тоуравнение (14.3) в координатной форме принимает вид:

(14.4)

Уравнения (14.4) называются параметрическими уравнениями плоскости.

Условие компланарности векторов можно выразить через смешанное произведение этих векторов: , или в координатной форме:

(14.5)

Уравнение (14.5) – уравнение плоскости, проходящей через точку с заданными направляющими векторами и

Плоскость однозначно определяется тремя точками не лежащими на одной прямой. В этом случае и – направляющие векторы плоскости Тогда из уравнения (14.5) получаем: