Одним з важливих розділів даного курсу є загальна теорія лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця теорія ґрунтується на понятті рангу системи векторів, арифметичному просторі. Тому попередньо слід вивчити векторний простір і пов’язані з ним поняття лінійної залежності, базису. Поняття абстрактного векторного простору є природним узагальненням геометричного простору, який в деякому ступеню вивчався в середній школі під назвою площина і простір. Але в шкільному курсі формально-алгебраїчний підхід до "вектора" ґрунтувався на прямокутних координатах точок (кінця і початку) вектора, (тобто первинним було поняття координат точки). В даному курсі розглядається інша концепція, яка приводить до узагальнення поняття площини, простору, до n-вимірного векторного простору.
При розгляданні "Векторної алгебри" на площині і в просторі, доведеться розв’язувати систему лінійних алгебраїчних рівнянь, тому ми почнемо з методу Гаусса, розв’язування таких систем. Цей метод не потребує попередніх знань.
1.1 Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод послідовного виключення невідомих (метод Гаусса).
Запишемо загальну систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Домовимось позначати коефіцієнти при невідомих . Перший індекс вказує номер рівняння, другий індекс – номер невідомого. Невідомі (змінні) позначатимемо буквами , а вільні члени – .
Тоді систему рівнянь з невідомими можна записати у вигляді:
| (1) |
Означення 1. Розв’язком системи (1) називається упорядкована система n чисел, після підстановки яких замість відповідно, кожне рівняння перетворюється на правильну числову рівність.
Означення 2.Система (1) називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок. Якщо ж система не має жодного розв’язку, вона називається несумісною.
Сумісні системи підрозділяються також на визначені і невизначені.
Означення 3.Сумісна система називається визначеною, якщо вона має лише один розв’язок. В іншому разі сумісна система називається невизначеною.
Основні задачі теорії лінійних рівнянь такі:
1. Дослідити систему на сумісність.
2. Сумісну систему дослідити на визначеність і невизначеність.
3. Дати алгоритми розв’язування.
Суть розв’язування систем рівнянь полягає в тому, щоб звести всі рівняння до рівнянь вигляду:
(2)
або до розв’язування одного рівняння з декількома невідомими з подальшим розв’язуванням рівнянь виду (2).
Інструментом розв’язування системи є елементарні перетворення.
Означення 4.Елементарними перетвореннями системи (1):
1) перестановка двох рівнянь;
2) множення обох частин деякого рівняння на число, не рівне 0;
3) додавання до одного з рівнянь іншого рівняння, в подумках помноженого на деяке число.
Означення 5. Дві системи вигляду (1) з однаковою кількістю невідомих називаються еквівалентними, якщо вони або обидві несумісні, або, у разі сумісності, мають однакові розв’язки.
Для самостійного доведення сформулюємо теорему:
Теорема.Елементарні перетворення приводять до еквівалентних систем.
Перейдемо до дослідження системи (1) лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса.
Вважатимемо, що . Якщо це не так, цього можна досягти за рахунок або перестановки рівнянь, або за рахунок перенумерації невідомих. Зробимо такі елементарні перетворення над системою (1):
до рівняння + -ше рівняння
до рівняння + -ше рівняння
………………………………………….
до S рівняння + -ше рівняння
У результаті цих перетворень отримаємо еквівалентну систему
Зауваження.Могло трапитись, що у системі з’явилося рівняння:
(3)
У цьому випадку система , а тому і еквівалентна до неї , несумісна.
Могло трапитись і таке:
(4)
Це рівняння можна задовольнити будь-яким набором чисел. Тому його можна викинути з системи.
У системі вважатимемо, що . Цього можна досягти за рахунок або перестановки рівнянь, або за рахунок перенумерації невідомих. Зробимо такі елементарні перетворення над системою :
до -го рівняння + -ге рівняння
………………………………………….
до -го рівняння + -ге рівняння
Тоді отримаємо таку еквівалентну систему:
Продовжуючи аналогічним чином, на останньому кроці отримаємо систему:
Формально треба дослідити три випадки:
1)
У цьому випадку в останньому рівнянні невідомі оголосимо вільними у тому сенсі, що їм можна надавати будь-які значення. Тоді з останнього рівняння знайдемо , отже передостаннє рівняння і всі інші послідовно стають рівняннями виду (2) . У цьому випадку система має безліч розв’язків, тобто невизначена.
2)
Система набуває вигляду:
Звідси
У цьому випадку на кожному кроці послідовно отримаємо рівняння вигляду (2). Математики кажуть, що систему зведено до трикутного вигляду. Система є визначеною.
1)
Легко показати, що це неможливо. Припустимо супротивне , наприклад . Тоді останнє рівняння стає таким:
Ми отримали систему нееквівалентну початковій, що суперечить попередній теоремі.
Отже, метод Гаусса вирішує основні задачі в теорії лінійних рівнянь:
1. Дослідження системи на сумісність. Система буде несумісною, якщо в процесі перетворень ми отримаємо рівняння, в якому коефіцієнти при всіх невідомих рівні нулю, а вільний член - відмінний від нуля. Якщо ж ми такого рівняння не зустрінемо, то система буде сумісною.
2. Сумісна система рівнянь буде визначеною, якщо вона зводиться до трикутного вигляду, і невизначеною, якщо зводиться до вигляду , ( ).
3. Отримано алгоритм розв’язування системи алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса), поданий вище.
1.2 Поняття вектора, лінійні операції над векторами.
Розглянемо в просторі (на площині) множину всіх направлених відрізків. В цій множині можна по-різному ввести означення рівності напрямленнях відрізків і отримати три поняття вектора.
Означення 1.Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо:
1) вони колінеарні (знаходяться на одній або паралельних прямих);
2) мають однаковий напрямок;
3) мають однакові довжини.
Означення 2.Вільним вектором називається множина всіх рівних між собою в сенсі означення 1 напрямлених відрізків.
Введемо іншим чином означення рівності.
Означення 1'.Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо:
1) вони колінеарні;
2) мають однаковий напрямок;
3) знаходяться на одній прямій;
4) мають однакові довжини.
Означення 2'.Ковзним вектором називається множина всіх рівних між собою у сенсі означення 1' напрямлених відрізків.
Означення 1''. Два напрямлених відрізки називаються рівними, якщо :
1) в них рівні довжини;
2) знаходяться на одній прямій;
3) однаково направлені і мають спільний початок.
Означення 2''. Зв'язаним вектором називається множина рівних між собою в сенсі означення 1'' напрямлених відрізків.
З останнього означення випливає, що зв'язаний вектор дорівнює лише собі. В даному курсі розглядатимемо лише вільні вектори.
Над векторами вводяться дві основні лінійні операції :
1) додавання векторів;
2) множення вектора на число.
Означення 3.Сумою двох векторів і , називається вектор, що умовно позначається , початок якого знаходиться в початку вектора , кінець – у кінці вектора , за умови, що початок вектора знаходиться в кінці вектора .
Означення 4.Добутком вектора а на число к називається вектор, що умовно позначається і має такі властивості:
1)
2) , якщо , і , якщо
3) не має певного напрямку, якщо .
Властивості лінійних операцій (довести самостійно).
1. – комутативність додавання.
2. – асоціативність додавання.
3. Існує так званий нульовий вектор , тобто такий, для якого
для довільного вектора .
Зрозуміло, що початок і кінець нульового вектора збігаються, тобто він має нульову довжину, а напрямок цього вектора невизначений.
4. Для будь-якого вектора існує так званий протилежний вектор , тобто такий, що .
Вектори та мають протилежні напрямки та однакові довжини.
5. для довільного вектора .
6. – асоціативність множення на число.
7. – дистрибутивність.
8. – дистрибутивність.
1.3 Поняття лінійно залежних і лінійно незалежних систем векторів.
Означення. Лінійною комбінацією векторів називається вектор де pi- будь-які числа.
Означення 1.Система векторів називається лінійно залежною, якщо принаймні один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших.
Інакше кажучи, .
Означення 2.Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують числа , серед яких принаймні одне , що виконується рівність:
.
Теорема.При перше і друге означення лінійно залежної системи еквівалентні.