рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

II. Векторний добуток

II. Векторний добуток - раздел Математика, Алгебра та геометрія 1. Поняття Векторного Добутку Введемо Спочатку Поняття 1)Прав...

1. Поняття векторного добутку

Введемо спочатку поняття 1)правої та 2)лівої трійки векторів.

Означення 1. Упорядкована трійка векторів a, b, c називається правою, якщо з кінця останнього вектора поворот від першого до другого спостерігається проти годинникової стрілки, якщо ж за годинниковою, то трійка векторів називається лівою.

Тепер можна ввести поняття векторного добутку.

Означення 2. Векторним добутком векторів і називається вектор, що умовно позначається через і задовольняє умови:

1) ( – кут між векторами і );

2) вектор є ортонормованим і до вектора , і до вектора .

3) трійка векторів , , є правою.

 

2. Геометричні та алгебраїчні властивості векторного добутку.

Геометричні властивості пов’язані з векторним добутком містять дві наступні теореми.

Теорема 1. (про геометричний зміст довжини векторного добутку).

Довжина векторного добутку дорівнює добутку довжин цих векторів на синус кута між ними.

Доведення. (навести доведення).

Теорема 2. Для того щоб два вектори були колінеарними необхідно і достатньо, щоб їх векторний добуток дорівнював нульовому вектору.

Доведення. (навести доведення).

Розглянемо алгебраїчні властивості векторного добутку:

1) (антикомутативність);

2) ;

3) (дистрибутивність);

4) .

Доведення. (навести доведення).

Рекомендації щодо доведення дистрибутивності векторного добутку.

Крім доведення, поданого в основному підручнику [1] (література, навчально-методична), можна запропонувати більш геометричне доведення [9]. Наведемо його.

Отже треба довести, що .

Ця рівність очевидна, коли принаймні один з векторів нульовий.

Нехай тепер усі вектори ненульові. Проведемо спочатку доведення, в окремому випадку, коли . Для цього опишемо геометричну побудову вектора . До довільної точки O простору прикладемо вектори і . Через точку O проведемо площину перпендикулярну :

 
A
 
 
C
O
A’’
A’
 
.

 

 

Спроектуємо точку А на площину, отримаємо вектор . Повернемо в площині за годинниковою стрілкою на кут g w:val="UK"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , отримаємо вектор . Доведемо, що вектор . Насправді ці вектори мають однакову довжину, тому що

,

.

Доведемо, що ці вектори однаково напрямлені. Вектор є перпендикулярним до площини векторів і (до на основі теореми про три перпендикуляри, до за означенням перпендикулярності прямої та площини). Вектор є також перпендикулярним до векторів і за означенням. Отже вектори і перпендикулярні до однієї площини, а тому колінеарні. Залишилося довеси, що вони однаково напрямлені. Це випливає з того, що за побудовою поворот від вектора до вектора спостерігається з кінця вектора проти годинникової стрілки. Тому трійка векторів , , є правою. Трійка векторів , , є також правою за означенням векторного добутку.

Перейдемо до доведення рівності .

Прикладемо до точки О вектори , , , . За правилом трикутника побудуємо вектор . Спроектувавши точки А і В, отримаємо вектори . Повернемо їх в площині на кут g w:val="UK"/></w:rPr><m:t>2</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> за годинниковою стрілкою. Отримаємо вектори .

 

 

 
А
В
С
А’
B’
O
A’’
B’’

 

 


За означенням додавання векторів маємо . Але з наведеної вище конструкції випливає, що

. А тому з попередньої рівності випливає:

.

Доведемо дистрибутивність в загальному випадку. Для цього подамо , де – вектор одиничної довжини того ж напряму, що і . Тоді можна записати

,

що і треба було довести.

 

3. Вираз координат векторного добутку через координати векторів.

Нехай вектори і в ортонормованому базисі мають розкладання .

Треба знайти координати вектора .

Для того щоб це зробити, треба попередньо скласти таблицю множення

 

 

 

Доведення таблиці множення (навести доведення).

Використовуючи таблицю множення, доведемо, що розкладання вектора в базисі має вигляд:

 

Доведення (навести доведення).

 

III. Мішаний добуток.

1. Поняття мішаного добутку

Означення 1. Мішаним добутком трьох векторів , , називається скалярний добуток двох векторів векторного добутку і вектора : .

 

2. Геометричні та алгебраїчні властивості.

Теорема 1 (про геометричний зміст мішаного добутку). Мішаний добуток векторів , , дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах , , , зведених до спільного початку, зі знаком (+), якщо трійка векторів , , – права, і зі знаком (-), якщо вона ліва.

 

Доведення (навести доведення).

З цієї теореми можна отримати наслідок.

Наслідок. Для того щоб три вектори були компланарними необхідно і достатньо, щоб їх мішаний добуток дорівнював нулю.

Наслідком теореми 1 є також така алгебраїчна властивість

 

(Навести доведення цієї властивості).

Оскільки з доведеної рівності виходить, що квадратні дужки можна поставити будь-як, то домовились позначати мішаний добуток так .

Що стосується інших алгебраїчних властивостей, то є наслідками скалярного і векторного добутку.

Наприклад, можна довести, що

(Навести доведення)

 

3. Вираз мішаного добутку через координати векторів.

Нехай в ортонормованому базисі вектори мають такі розкладання:

.

Треба знайти вираз через координати векторів.

Користуючись властивостями скалярного і мішаного добутків, можна довести таку формулу:

 

IV. Подвійний векторний добуток.

1. Поняття подвійного векторного добутку.

Означення. Подвійним векторним добутком трьох векторів називається векторний добуток двох векторів вектора і вектора : .

Алгебраїчні властивості подвійного векторного добутку є наслідками алгебраїчних властивостей векторного добутку.

Існує зв’язок між подвійним векторним добутком і лінійними операціями над векторами. Цей зв’язок здійснюється за формулою

 

Доведення. (Довести цю формулу)

1.8 Поняття лінійного простору.

Означення 1. Говоритимемо, що у множині М визначена внутрішня бінарна алгебраїчна операція, якщо будь-якій упорядкованій парі елементів за деяким правилом ставиться у відповідність однозначно визначений елемент zϵM.

Означення 2. Говоритимемо, що в множині M визначена зовнішня операція над множиною P, якщо будь-якій парі елементівставиться у відповідність однозначно визначений елемент множини М.

Операція додавання векторів (геометричних) відноситься до внутрішніх операцій і операція множення геометричного вектора на число є прикладом зовнішньої операції, визначеної в множині геометричних векторів над множиною дійсних чисел.

Означення 3.Векторним або лінійним простором називається непорожня множина V, в якій визначено дві операції над множиною дійсних чисел: внутрішня, що умовно називається додаванням, і зовнішня, що умовно називається множенням на дійсне число, і виконується 8 умов:

1. – комутативність додавання.

2. – асоціативність додавання.

3. ( x).

4. – для довільного елемента існує протилежний до нього.

5. – серед множини дійсних чисел є таке, що не змінює у добутку вектор.

6.

7.

8.

Означення 4.Елементи множини V, що є векторним простором, називаються векторами.

Приклад 1. Всі геометричні вектори простору (площини) утворюють векторний простір відносно традиційних операцій додавання геометричних векторів і множення вектора на число. Дійсно, виконання всіх вимог означення 3було обґрунтовано у векторній алгебрі.

Приклад 2. (арифметичний простір)

За множину V візьмемо множину всіх упорядкованих чисел.

 

Числа назвемо компонентами вектора.

Cумою векторів і назвемо вектор, утворений сумою відповідних компонент: .

Добутком вектора на число назвемо вектор .

Можна показати за означенням, що арифметичний простір є лінійним простором.

Контрприклад.За множину Vвізьмемо ту ж саму множину, що у прикладі 2. Операцію додавання введемо за тим же правилом. Операцію множення на число введемо іншим чином, а саме: добутком вектора на число назвемо вектор .

В цій множині не виконується лише вимога 7.

 

 

Бачимо, , отже ця множина не є лінійним простором.

Приклад 3. Розглянемо множину многочленів степеня не вищого за .

Операції додавання многочленів та множення на число вводиться традиційним способом.

Легко перевірити виконання всіх вимог означення, тому дана множина є векторним простором відносно введених операцій.

Контрприклад.Розглянемо множину многочленів лише -го степеня, тобто таких, коефіцієнт при старшому члені яких ненульовий.

У цьому випадку множина не є векторним простором, тому що в цій множині не визначена операція додавання.

Дійсно, наведемо два многочленів, сума яких не є многочленом -го степеня:

Наприклад, сума та є многочленом 1-го степеня.

Приклад 4.Розглянемо множину всіх функцій, що визначені на проміжку . Додавання і множення функцій на число введемо традиційним способом, як у математичному аналізі. При цьому також виконуються всі вимоги означення векторного простору, тому дана множина відносно введених операцій є векторним простором.

Приклад 5.Розглянемо множину всіх функцій, що є неперервними на проміжку . Додавання і множення функцій на число введемо традиційним способом, як у математичному аналізі. Легко переконатися, що при цьому виконуються всі інші 8 вимог означення векторного простору. Тому множина таких функцій відносно введених операцій є векторним простором.

 

1.9 Найпростіші властивості векторного простору.

Властивість 1. У довільному векторному просторі існує лише один нульовий вектор.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Алгебра та геометрія

За час існування спеціальності quot Прикладна математика quot у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу quot Алгебри та геометрія quot витримується один із дидактичних принципів від простого до...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: II. Векторний добуток

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Векторна алгебра
  Одним з важливих розділів даного курсу є загальна теорія лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця теорія ґрунтується на понятті рангу системи векторів, арифметичному просторі. Тому поперед

Доведення.
Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2. Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1): . Дод

Теорему доведено.
Означення.Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли . З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно

Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Доведемо, що вектори колінеарні. Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності).

Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні. Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Н

Доведення.
Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає. Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо

Теорему доведено.
Зауваження. Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів. 1.5 Поняття базису простору

Доведення.
Доведемо цю теорему в просторі. Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор . Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної

Теорему доведено.
Означення.Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису. 1.6 Афінна система координат.

I. Скалярний добуток
1. Скалярна проекція вектора на вісь. Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку. Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u. Означ

Доведення.
Припустимо, що знайшовся такий векторний простір V, у якому декілька різних нульових елементів: і . Розглянемо суму . За означенням нульового вектора : . За означенням ну

Доведення.
Припустимо, що у деякому векторному просторі Vзнайшовся вектор , для якого є декілька різних протилежних елементів: та . Розглянемо суму . Скористуємось також асоціативністю додавання.

Доведення
Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n. При це очевидно: 1,2; 2,1. Зробимо індуктивне припущення: вважатимемо правильним дане твердження пр

Доведення.
При доведенні слід розглянути 2 випадки. 1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч:   Зауважимо, що після транспозиції положення та від

Теорему доведено.
2.2 Підстановки n-го степеня. Означення.Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе. Будемо записувати

Доведення.
Нехай, наприклад, і-ий рядок буде лінійною комбінацією s інших рядків       Застосовуючи властивість 7, ми подамо наш визначник у вигляді суми виз

Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
Лема(про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ). Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени вход

Доведення.
Нехай задано визначник d.   Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це б

Доведення.
Нехай задано довільний визначник:   Доведемо, що Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком. &n

Доведення.
Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V.   1. Доведення можливості розкладання. Розглянемо систему – лі

Доведення.
Розглянемо рівність (*) з означення лінійно залежної і лінійно незалежної системи:   З'ясуємо, при яких вона виконується:   З цієї векторної рівності о

Доведення.
Для зручності доведення цієї властивості введемо символ . Нехай задано суму однотипних доданків   Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для  

Доведення.
Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю. Д

Теорема.
Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему. Доведення: Необхід

Теорема.
1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r <n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною

Доведення.
Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно. Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1). Розглянемо систему в вигля

Доведенння твердження.
Нехай Н= – множина розв’язків системи (1), – множина розв’язків системи (2). Нехай - окремий розв’язок системи (1). Розглянемо суму з будь-яким розв’язком однорідної сист

Закони множення.
1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А . А= , В= . А×В

Доведення.
Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд С = . Вище було доведено,

Доведення.
Небхідність. Нехай матриця А має псевдообернену праву. Треба довести, що матриця А – рядковоневиродженна, тобто r A = s . З того, що існує , випливає А × = Е (s&acut

Побудова множини комплексних чисел.
Відомо,що існує взаємнооднозначна відповідність між точкою прямої і дійсними числами. Але маючи дійсні числа, неможна розв¢язати навіть таке просте рівняння . Тоді спробували побудува

Полярна система координат.
Означення.Полярною системою координат називають систему координат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсо

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги