Доведення.

Нехай задано довільний визначник:

 

Доведемо, що

Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком.

 

 

 

Цей визначник за властивістю 4 дорівнює 0.

Застосуємо до j-го рядка визначника наслідок з теореми Лапласа.

 

Залишилось довести, що . Ці рівності випливають з того, що при побудові алгебраїчних доповнень до елементів j-го рядка цей рядок викреслюється, а визначники d і d₁ відрізняються лише j-тим рядком.

Означення. Визначником системи називається визначник складений з коефіцієнтів при невідомих.

Теорема Крамера. Нехай задано систему n алгебраїчних рівнянь з n невідомими, визначник якої не нульовий. Тоді невідома x_k дорівнює дробу, знаменником якого є визначник системи, а чисельником також є визначник, який можна отримати з визначника системи заміною k-го стовпця стовпцем вільних членів.

Доведення. Розглянемо систему

(1)
з визначником системи

 

(2)

 

Помножимо обидві частини 1-го рівняння на А_1k, 2-го на А_2k, n-го на А_nk.

Тоді отримаємо

 

k=1,2,…,n (3)

 

Введемо в розгляд деякий визначник.

 

 

 

Застосуємо до k-го рядка цього визначника наслідок теореми Лапласа

Застосуємо лему, тоді з рівності (3) маємо

 

Отже

 

Теорему Крамера доведено.

3 Векторний простір