Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V.
1. Доведення можливості розкладання.
Розглянемо систему – лінійно залежну за означенням базису. Тоді існують числа , серед яких . Доведемо, що саме .
Припустимо, що . Тоді .
Це означає, що вектори базису лінійно залежні, що суперечить означенню. Отже і виконується .
З рівності випливає можливість доведення, адже:
2. Доведення єдиності розкладання.
Припустимо, що існує вектор , для якого існує декілька різних розкладань:
(1)
(2)
Для визначеності нехай . Помножимо рівність (2) на -1 і додамо до (1).
Отже, ми отримали, що базисні вектори є лінійно залежними, що суперечить означенню базиса.