Для зручності доведення цієї властивості введемо символ .
Нехай задано суму однотипних доданків
Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для
Доведемо таку властивість:
Для цього доведемо, що . Для доведення проведемо підсумування за стовпцями
Отже
Тепер перейдемо до доведення попередньої властивості транзитивності.
Нехай задано системи:
| (1) |
| (3) |
| (2) |
За умовою (1) лінійно виражається через (2). Тоді за означенням - є лінійною комбінацією векторів системи (2)
(i=1,2,…,S) (4)
За умовою (2) лінійно виражається через (3), тому
Підставимо (5) в (4), тоді отримаємо
Отже доведено, що система векторів (1) лінійно виражається через систему (3).
Наслідок. Якщо система векторів (1) еквівалентна системі (2), а система (2) еквівалентна системі (3), то системи (1) і (3) еквівалентні.
Транзитивність еквівалентних систем доводиться повторенням двічі наведених міркувань.
3.3 Поняття рангу матриці. Теорема про ранг матриці.
Розглянемо довільну матрицю.
Кожний стовпець матриці можна розглядати як упорядковану -ку чисел, тобто матриця - це система п-векторів -вимірного арифметичного простору.
Використовуючи цю інтерпретацію і означення рангу системи векторів приходимо до доцільності такого означення.
Означення.Рангом матриці називається кількість стовпців, що входить до максимальної лінійно незалежної підсистеми стовпців матриць.
Або в скороченому вигляді можна дати таке формулювання.
Означення.Рангом матриці називається максимальна кількість лінійно-незалежних стовпців.
Теорема про ранг матриці.Найвищий порядок мінорів матриці, що не дорівнюють нулю, дорівнює рангу матриці.