Доведення. - раздел Математика, Алгебра та геометрія Нехай Найвищий Порядок Мінорів, Що Не Дорівнюють Нулю Є Число Р. Це Означає, ...
Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю.
Для визначеності припустимо, що мінор р-того порядку не рівний нулю знаходиться в лівому верхньому куту.
М
Треба довести, що ранг матриці дорівнює р.
Для цього треба довести два факти:
1) в матриці А є р-лінійно-незалежних стовпців;
2) всі інші стовпці через них лінійно виражаються.
1) Доведемо, що лінійно незалежними (за нашим припущенням) є перші р стовпців матриці. Припустимо супротивне, що перші р стовпців матриці лінійно залежні. Тоді з означення лінійної залежності випливає, що існують числа , що виконується рівність:
Розглянемо цю рівність покомпонентно:
І компонента -
р компонента -
………………………………………………
компонента -
З перших р рівностей випливає що стовпці мінора М - лінійно залежні. Доведемо, що тоді мінор М дорівнює нулю.
Розглянемо два випадки.
а) р = 1 тобто М = - лінійно залежний, а звідси випливає що .
б) р≥2 В цьому випадку лінійна залежність означає, що в мінорі М існує стовпець, що є лінійною комбінацією інших стовпців, а тоді за властивістю визначників мінор М = 0
Отже, ми прийшли до суперечності умові. Отже, перші р стовпців матриці А- лінійно незалежні.
Для доведення другого факту побудуємо визначник.
i=1,2,…,s
k=p+1,…n
Доведемо, що при всіх таких і та к визначник
Для доведення розглянемо два випадки:
1) . В цьому випадку як визначник з двома рівними рядками.
2) . В цьому випадку , бо визначник стає мінором р + 1 порядку матриці А, а тоді за умовою, він дорівнює нулю.
Розкладемо визначник за останнім рядком:
.
Розв'яжемо цю рівність відносно ,
.
Надамо всі значення
Це означає, що к- тий стовпець матриці А є лінійною комбінацією перших р-стовпців. Оскільки к набуває значень , то ми довели, що всі стовпці, починаючи з р + 1 є лінійними комбінаціями перших р- стовпців.
Що і треба було довести
Таким чином за означенням ранг дорівнює р.
Наслідкиз теореми про ранг:
Наслідок 1.
Максимальна кількість лінійно-незалежних рядків матриці дорівнює максимальному числу лінійно-незалежних стовпців матриці, тобто дорівнює рангу матриці.
Доведення:
Розглянемо довільну матрицю А
Нехай максимальна кількість лінійно-незалежних стовпців = р, тобто
Треба довести, що максимальна кількість лінійно-незалежних рядків = р.
Для доведення побудуємо транспоновану матрицю
1) Доведемо, що ранг матриці А' дорівнює р.
З того, що випливає (з теореми про ранг), що в матриці А є мінор р - того порядку, не рівний нулю, , а всі мінори більш високих порядків дорівнюють нулю.
Всі мінори матриці А в транспонованому вигляді знаходяться в матриці А'. Відомо, що при транспонуванні визначник не змінюється.
Тому в матриці А' є мінор р - того порядку не рівний нулю, а всі мінори більш високих порядків дорівнюють нулю. З теореми про ранг випливає, що
Тоді за означенням в матриці А' лише р лінійно незалежних стовпців, а вони є рядками матриці А
Наслідок 2.
Для того щоб визначник дорівнював нулю. Необхідно, щоб його рядки (стовпці) були лінійно незалежними.
Доведення:
Нехай визначник . Треба довести, що його рядки (стовпці) лінійно-залежні
Розглянемо матрицю, що відповідає цьому визначнику
Доведемо, що
Припустимо супротивне, що , тоді з теореми про ранг випливає, що в А існує мінор d п - того порядку, не рівний нулю.
А за умовою . Ми отримали суперечність. Звідси випливає, що
Тоді за означенням рангу в матриці А лише р лінійно незалежних стовпців, інші n-р є їх лінійними комбінаціями. Тобто, загалом стовпці лінійно залежні.
Тепер ми можемо сформулювати необхідну і достатню умову рівності визначника нулю.
За час існування спеціальності quot Прикладна математика quot у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу quot Алгебри та геометрія quot витримується один із дидактичних принципів від простого до...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Доведення.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Векторна алгебра
Одним з важливих розділів даного курсу є загальна теорія лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця теорія ґрунтується на понятті рангу системи векторів, арифметичному просторі. Тому поперед
Доведення.
Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2.
Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1):
.
Дод
Теорему доведено.
Означення.Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли .
З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно
Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему.
Доведемо, що вектори колінеарні.
Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності).
Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні.
Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Н
Доведення.
Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає.
Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо
Теорему доведено.
Зауваження. Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів.
1.5 Поняття базису простору
Доведення.
Доведемо цю теорему в просторі.
Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор .
Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної
Теорему доведено.
Означення.Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису.
1.6 Афінна система координат.
I. Скалярний добуток
1. Скалярна проекція вектора на вісь.
Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку.
Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u.
Означ
II. Векторний добуток
1. Поняття векторного добутку
Введемо спочатку поняття 1)правої та 2)лівої трійки векторів.
Означення 1. Упорядкована трійка векторів a, b, c називається п
Доведення.
Припустимо, що знайшовся такий векторний простір V, у якому декілька різних нульових елементів: і .
Розглянемо суму .
За означенням нульового вектора : .
За означенням ну
Доведення.
Припустимо, що у деякому векторному просторі Vзнайшовся вектор , для якого є декілька різних протилежних елементів: та .
Розглянемо суму . Скористуємось також асоціативністю додавання.
Доведення
Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n.
При це очевидно: 1,2;
2,1.
Зробимо індуктивне припущення: вважатимемо правильним дане твердження пр
Доведення.
При доведенні слід розглянути 2 випадки.
1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч:
Зауважимо, що після транспозиції положення та від
Теорему доведено.
2.2 Підстановки n-го степеня.
Означення.Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе.
Будемо записувати
Доведення.
Нехай, наприклад, і-ий рядок буде лінійною комбінацією s інших рядків
Застосовуючи властивість 7, ми подамо наш визначник у вигляді суми виз
Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
Лема(про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ).
Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени вход
Доведення.
Нехай задано визначник d.
Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це б
Доведення.
Нехай задано довільний визначник:
Доведемо, що
Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком.
&n
Доведення.
Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V.
1. Доведення можливості розкладання.
Розглянемо систему – лі
Доведення.
Розглянемо рівність (*) з означення лінійно залежної і лінійно незалежної системи:
З'ясуємо, при яких вона виконується:
З цієї векторної рівності о
Доведення.
Для зручності доведення цієї властивості введемо символ .
Нехай задано суму однотипних доданків
Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для
Теорема.
Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему.
Доведення:
Необхід
Теорема.
1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r <n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною
Доведення.
Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно.
Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1).
Розглянемо систему в вигля
Доведенння твердження.
Нехай Н= – множина розв’язків системи (1),
– множина розв’язків системи (2).
Нехай - окремий розв’язок системи (1).
Розглянемо суму з будь-яким розв’язком однорідної сист
Закони множення.
1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А .
А= , В= .
А×В
Доведення.
Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд
С = .
Вище було доведено,
Доведення.
Небхідність. Нехай матриця А має псевдообернену праву. Треба довести, що матриця А – рядковоневиродженна, тобто r A = s .
З того, що існує , випливає А × = Е (s&acut
Побудова множини комплексних чисел.
Відомо,що існує взаємнооднозначна відповідність між точкою прямої і дійсними числами. Але маючи дійсні числа, неможна розв¢язати навіть таке просте рівняння .
Тоді спробували побудува
Полярна система координат.
Означення.Полярною системою координат називають систему координат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсо
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов