Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю.
Для визначеності припустимо, що мінор р-того порядку не рівний нулю знаходиться в лівому верхньому куту.
| М |
Треба довести, що ранг матриці дорівнює р.
Для цього треба довести два факти:
1) в матриці А є р-лінійно-незалежних стовпців;
2) всі інші стовпці через них лінійно виражаються.
1) Доведемо, що лінійно незалежними (за нашим припущенням) є перші р стовпців матриці. Припустимо супротивне, що перші р стовпців матриці лінійно залежні. Тоді з означення лінійної залежності випливає, що існують числа , що виконується рівність:
Розглянемо цю рівність покомпонентно:
І компонента -
р компонента -
………………………………………………
компонента -
З перших р рівностей випливає що стовпці мінора М - лінійно залежні. Доведемо, що тоді мінор М дорівнює нулю.
Розглянемо два випадки.
а) р = 1 тобто М = - лінійно залежний, а звідси випливає що .
б) р≥2 В цьому випадку лінійна залежність означає, що в мінорі М існує стовпець, що є лінійною комбінацією інших стовпців, а тоді за властивістю визначників мінор М = 0
Отже, ми прийшли до суперечності умові. Отже, перші р стовпців матриці А- лінійно незалежні.
Для доведення другого факту побудуємо визначник.
| i=1,2,…,s k=p+1,…n |
Доведемо, що при всіх таких і та к визначник
Для доведення розглянемо два випадки:
1) . В цьому випадку як визначник з двома рівними рядками.
2) . В цьому випадку , бо визначник стає мінором р + 1 порядку матриці А, а тоді за умовою, він дорівнює нулю.
Розкладемо визначник за останнім рядком:
.
Розв'яжемо цю рівність відносно ,
.
Надамо всі значення
Це означає, що к- тий стовпець матриці А є лінійною комбінацією перших р-стовпців. Оскільки к набуває значень , то ми довели, що всі стовпці, починаючи з р + 1 є лінійними комбінаціями перших р- стовпців.
Що і треба було довести
Таким чином за означенням ранг дорівнює р.
Наслідкиз теореми про ранг:
Наслідок 1.
Максимальна кількість лінійно-незалежних рядків матриці дорівнює максимальному числу лінійно-незалежних стовпців матриці, тобто дорівнює рангу матриці.
Доведення:
Розглянемо довільну матрицю А
Нехай максимальна кількість лінійно-незалежних стовпців = р, тобто
Треба довести, що максимальна кількість лінійно-незалежних рядків = р.
Для доведення побудуємо транспоновану матрицю
1) Доведемо, що ранг матриці А' дорівнює р.
З того, що випливає (з теореми про ранг), що в матриці А є мінор р - того порядку, не рівний нулю, , а всі мінори більш високих порядків дорівнюють нулю.
Всі мінори матриці А в транспонованому вигляді знаходяться в матриці А'. Відомо, що при транспонуванні визначник не змінюється.
Тому в матриці А' є мінор р - того порядку не рівний нулю, а всі мінори більш високих порядків дорівнюють нулю. З теореми про ранг випливає, що
Тоді за означенням в матриці А' лише р лінійно незалежних стовпців, а вони є рядками матриці А
Наслідок 2.
Для того щоб визначник дорівнював нулю. Необхідно, щоб його рядки (стовпці) були лінійно незалежними.
Доведення:
Нехай визначник . Треба довести, що його рядки (стовпці) лінійно-залежні
Розглянемо матрицю, що відповідає цьому визначнику
Доведемо, що
Припустимо супротивне, що , тоді з теореми про ранг випливає, що в А існує мінор d п - того порядку, не рівний нулю.
А за умовою . Ми отримали суперечність. Звідси випливає, що
Тоді за означенням рангу в матриці А лише р лінійно незалежних стовпців, інші n-р є їх лінійними комбінаціями. Тобто, загалом стовпці лінійно залежні.
Тепер ми можемо сформулювати необхідну і достатню умову рівності визначника нулю.