1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r <n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною.
2. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення дорівнює n (rA=r =n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є визначеною.
Доведення.Нехай задано систему
За умовою rA=r =n
Рівність рангів означає, що в матриці і є лише р лінійно незалежних стовпців. Для визначенності, нехай це будуть перші р стовпців. Це також означає, що в матриц і лише р - лінійно-залежних рядків. Нехай для визначенності це будуть перші р - рядків. тому мінор р - того порядку, не рівний нулю розташований у лівому верхньому куту. Для системи (1) з попередньої інформаії випливає, що в ній лише р - лінійно незалежних рівнянь, причому за нашим припущенням це перші р з них, а інші s-р рівнянь є їх лінійними комбінаціями, тому за допомогою елементарних перетворень їх можна перетворити на рівняння такого типу , отже їх можна відкинути.
В отриманій системі ліворуч запишемо ті невідомі, коефіцієнти при яких утворюютъ визначник р-того порядку, не рівний нулю. За нашим припущенням це перші р. Отже, отримаемо систему
| (4) |
Будемо розглядати цю систему, як систему р рівнянъ з р невідомими і з визначником, що не дорівнює нулю. Застосуємо теорему Крамера. Тоді матимемо для :
| (5) |
Розглянемо два випадки.
1) Нехай p<n. Тоді існують вільні невідомі в тому сенсі, що їх можна задавати довільно. Тобто, в цьому випадку система має безліч розв’язків, а тому є невизначеною.
2) Нехай p=n. Покладемо в (5) :
Тобто в цьому випадку вільних невідомих система не має, тому система має один розв’язок , а тому є визначеною.
З формули (5) отримаємо співвідношення (**) для однорідної системи, важливе для наступного розділу.
Означення.Однорідною системою лінійних алгебраїчних рівнянь називається лінійна система, вільні члени якої дорівнюють нулю.
Запишемо формулу (5) для однорідної системи:
Розкладемо цей визначник за елементами k-того стовбця
Розкриємо всі дужки, зведемо подібні, тоді отримаємо:
.
4.3 Однорідна система рівнянь. Фундаментальна система розв'язків однорідної системи рівнянь.
Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(1)
Використовуючи знак підсумовування, і-те рівняння системи (1) можна записати в вигляді
А тоді всю систему (1) можна подати в вигляді
Для системи (1) розв’яжемо задачі, які ставляться в теорії лінійних алгебраїчних рівнянь:
1) питання сумісності;
2) питання визначеності і невизначеності.
Зрозуміло, що будь-яка однорідна система має розв’язок (0,0,…,0) (його називають нульовим або тривіальним), тому однорідна система завжди сумісна. Цей же результат випливає з теореми Кронекера-Капеллі, яка виконується для будь-якої однорідної системи.
З’ясуємо умови визначеності однорідної системи, застосувавши вже відомий критерій:
· Якщо ранг rA=n (n- кількісь невідомих), то система (1) має лише один розв’язок – нульовий, і система (1) є визначеною.
· Якщо ранг rA<n (n- кількісь невідомих), то система (1) має безліч розв’язків і система (1) є невизначеною.
Розглянемо властивості розв’язків однорідної системи.
Властивість 1.Сума двох розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи.
Властивість 2.Добуток розв’язку однорідної системи на деяке число є також розв’язоком однорідної системи.