Реферат Курсовая Конспект
Доведення. - раздел Математика, Алгебра та геометрія Доведемо Першу Властивість, А Друга Доводиться Аналогічно. Нехай І ...
|
Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно.
Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1).
Розглянемо систему в вигляді (1’). Тоді з означення розв’язку, маємо системи правильних числових рівностей:
(2) |
(3) |
Підставимо в ліву частину системи (1’) – замість .
Отже є розв’язком системи (1).
З доведених властивостей випливає.
Наслідок. Будь-яка лінійна комбінація будь-яких розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи.
Введемо важливе для однорідної системи поняття фундаментальної системи розв’язків.
Означення.Максимальна лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи рівнянь називається її фундаментальною системою.
З цього означення випливає, що фундаментальна система розв’язків задовольняє дві умови:
1) розв’язки, що входять до фундаментальної системи – лінійно незалежні;
2) будь-який інший розв’язок є лінійною комбінацією цих розв’язків.
З’ясуємо скільки розв’язків входить до фундаментальної системи.
Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна розглядати як вектор n-вимірного арифметичного простору. Раніше було доведено, що в n-вимірному арифметичному просторі найбільша кількість лінійно-незалежних векторів містить n-векторів. Отже маємо попередній висновок: фундаментальна система розв’язків містить не більше n розв’язків. Більш точну інформацію містить наступна теорема.
Теорема. (про фундаментальну систему розв’язків)
Якщо ранг p матриці A менше кількості невідомих n, то однорідна система рівнянь має фундаментальну систему розв’язків, причому кількість розв’язків, що входить до фундаментальної системи дорівнює n-p.
Доведення.Нехай задано однорідну систему рівнянь
(1)
Нехай ранг матриці
= p.
Тоді кількість фундаментальних розв’язків (n-p). З того , що ранг rA=p<n випливає , що система (1) невизначена, тобто має безліч розв’язків.
Запишимо всі розв’язки в вигляді (**)
, (**)
(зробивши попередньо для системи (1) припущення, при яких було отримано (**)).
Виберемо з цієї нескінченної множини розв’язків, (n-р) розв’язков за таким правилом :
1. Надамо вільним невідомим значення
Підставимо ці значення в формулу (**) , отримаємо значення для
.
2. Надамо вільним невідомим другий раз інші значення . Підставимо в (**), отримаємо другий розв’язок.
….
Надамо вільним невідомим (n-p) раз значення .
Підставимо їх в (**), отримаємо
Отже ми отримали систему розв’язків:
1-ий розв’язок ( )
2-ий розв’язок ( ) (2)
…
( ) розв’язок ( )
Зауважимо, що вільні невідомі в розв’язках (2) вибирались будь-як, але за однією умовою
(3)
Доведемо, що система розв’язків (2) є фундаментальною.
Для цього ми повинні довести, що :
1. Розв’язки (2) лінійно незалежні.
2. Приєднання до (2) будь-якого розв’язку системи приводить до лінійно залежної системи.
Для доведення першого пункту розглянемо матрицю К :
1. Доведемо rK=n-p. Це випливає з того що в цій матриці за умовою (3) є мінор порядку (n – p), що не дорівнює нулю. Мінорів більш високого порядку не можна скласти. Тоді з теореми про ранг матриці rK = n – p.
З того, що rK = n – p , використовуючи другий наслідок з теореми про ранг випливає, що в матриці К є лише (n – p) лінійно незалежних рядків. А в рядках записано розв’язки (2), тобто вони лінійно незалежні.
2. Для доведення другого пункту розглянемо довільний розв’язок системи (1) . Приєднаємо його до системи розв’язків (2) і доведемо, що отримана система розв’язків вже лінійно залежна. Для цього утворимо матрицю :
.
Доведемо, що ранг і цієї матриці дорівнює r = n – p.
Доведемо, що в цій матриці лише (n – p) лінійно незалежних стовпців. Саме з цього тоді випливатиме, що r = n – p. З того, що мінор в правому верхньому куту не дорівнює нулю, випливає, що останнні ( n – p ) стовпців матриці лінійно незалежні. Доведення цього факту таке ж саме як і в першій частині про ранг.
Доведемо, що перший, другий, і т.д. р-ий стовпчик матриці є лінійною комбінацією останніх ( n – p ) стовпців. Це твердження випливає з формули (**).
Насправді, в першому стовпчику матриці записано значення для x1, в другому дляx2, і т.д., в n-ому стовпчику – для xn. Зформули ж (**) випливає, що x1,…,xpєлінійною комбінацією xp+1,…,xn.
Тобто в матриці – лінійно незалежними є лише останні (n-p)стовпців. Таким чином максимальна лінійно незалежна система розв’язків (ФСР) складається з (n-p) розв’язків.
Теорему доведено.
Зауваження.Якщо rА = р = n , то в цьому випадку система визначена, має один тривіальний розв’язок, а система з одного нульововго вектора лінійно залежна, тому фундаментальної системи розв’язків немає.
Розглянемо множину розв’язків однородної системи з точки зору векторного простору. Множина розв’язків однорідної системи є підмножиною n-вимірного арифметичного простру. Більш того з властивостей розв’язків однорідної системи випливає, що в цій підмножині визначені операції додавання векторів і множення вектора на число. Тоді як випливає з попереднього множина усіх розв’язків однорідної системи є підпростором арифметичного простору. Базисом цього підпростору є фундаментальна система розв’язків. З тереми про фундаментальну систему випливає, що вимірність цього підпростору дорівнює n-r (n – кількість невідомих, r – ранг матриці системи).
4.4 Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
Нехай задано неоднорідну систему
, (1)
Означення. Відповідною однорідною системою називається система
, (2)
з тими ж самими коефіцієнтами .
Звя’язок між розв’язками системи (1) та (2) описується наступними теоремами.
Теорема 1. Сума розв’язків неоднорідної і відповідної однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь є розв’язком неоднорідної системи .
Теорема 2.Різниця двох розв’язків неоднорідної системи є розв’язком відповідної однорідної системи.
Доведення теореми 1. Нехай ( ) – розв’язок системи (1), ( ) – розв’язок системи (2). Треба довести , що - розв’язок системи (1) .
За означенням розв’язку маємо систему правильних числових рівностей
, ( ) (3)
, ( ) (4)
Підставимо в ліву частину системи (1) замість .
( )
Перша властивість доведена.
Доведення теореми 2. Нехай ( ) , ( ) – розв’язки системи (1). Розглянемо упорядкований набір . Ми повинні довести, що це розв’язок системи (2) .
За означенням розв’язку маємо системи правильних числових рівностей:
, ( ), (3)
, ( ). (3’)
Підставимо в ліву частину рівнянь системи (2) замість числа відповідно і обчислимо її.
.
Таким чином , одержуємо правильних числових рівностей.
Твердження.З цих двох теорем випливає такий алгоритм розв’язування неоднорідної системи рівнянь : множину всіх розв’язків можна одержати додавання до кожного розв’язку множини розв’язків однорідної системи одного розв’язку (окремого) неоднорідної системи.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
За час існування спеціальності quot Прикладна математика quot у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу quot Алгебри та геометрія quot витримується один із дидактичних принципів від простого до...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Доведення.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов