Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно.
Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1).
Розглянемо систему в вигляді (1’). Тоді з означення розв’язку, маємо системи правильних числових рівностей:
| (2) |
| (3) |
Підставимо в ліву частину системи (1’) – замість .
Отже є розв’язком системи (1).
З доведених властивостей випливає.
Наслідок. Будь-яка лінійна комбінація будь-яких розв’язків однорідної системи є також розв’язком цієї системи.
Введемо важливе для однорідної системи поняття фундаментальної системи розв’язків.
Означення.Максимальна лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи рівнянь називається її фундаментальною системою.
З цього означення випливає, що фундаментальна система розв’язків задовольняє дві умови:
1) розв’язки, що входять до фундаментальної системи – лінійно незалежні;
2) будь-який інший розв’язок є лінійною комбінацією цих розв’язків.
З’ясуємо скільки розв’язків входить до фундаментальної системи.
Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь можна розглядати як вектор n-вимірного арифметичного простору. Раніше було доведено, що в n-вимірному арифметичному просторі найбільша кількість лінійно-незалежних векторів містить n-векторів. Отже маємо попередній висновок: фундаментальна система розв’язків містить не більше n розв’язків. Більш точну інформацію містить наступна теорема.
Теорема. (про фундаментальну систему розв’язків)
Якщо ранг p матриці A менше кількості невідомих n, то однорідна система рівнянь має фундаментальну систему розв’язків, причому кількість розв’язків, що входить до фундаментальної системи дорівнює n-p.
Доведення.Нехай задано однорідну систему рівнянь
(1)
Нехай ранг матриці
= p.
Тоді кількість фундаментальних розв’язків (n-p). З того , що ранг rA=p<n випливає , що система (1) невизначена, тобто має безліч розв’язків.
Запишимо всі розв’язки в вигляді (**)
, (**)
(зробивши попередньо для системи (1) припущення, при яких було отримано (**)).
Виберемо з цієї нескінченної множини розв’язків, (n-р) розв’язков за таким правилом :
1. Надамо вільним невідомим значення
Підставимо ці значення в формулу (**) , отримаємо значення для
.
2. Надамо вільним невідомим другий раз інші значення . Підставимо в (**), отримаємо другий розв’язок.
….
Надамо вільним невідомим (n-p) раз значення .
Підставимо їх в (**), отримаємо
Отже ми отримали систему розв’язків:
1-ий розв’язок ( )
2-ий розв’язок ( ) (2)
…
( ) розв’язок ( )
Зауважимо, що вільні невідомі в розв’язках (2) вибирались будь-як, але за однією умовою
(3)
Доведемо, що система розв’язків (2) є фундаментальною.
Для цього ми повинні довести, що :
1. Розв’язки (2) лінійно незалежні.
2. Приєднання до (2) будь-якого розв’язку системи приводить до лінійно залежної системи.
Для доведення першого пункту розглянемо матрицю К :
1. Доведемо rK=n-p. Це випливає з того що в цій матриці за умовою (3) є мінор порядку (n – p), що не дорівнює нулю. Мінорів більш високого порядку не можна скласти. Тоді з теореми про ранг матриці rK = n – p.
З того, що rK = n – p , використовуючи другий наслідок з теореми про ранг випливає, що в матриці К є лише (n – p) лінійно незалежних рядків. А в рядках записано розв’язки (2), тобто вони лінійно незалежні.
2. Для доведення другого пункту розглянемо довільний розв’язок системи (1) . Приєднаємо його до системи розв’язків (2) і доведемо, що отримана система розв’язків вже лінійно залежна. Для цього утворимо матрицю :
.
Доведемо, що ранг і цієї матриці дорівнює r = n – p.
Доведемо, що в цій матриці лише (n – p) лінійно незалежних стовпців. Саме з цього тоді випливатиме, що r = n – p. З того, що мінор в правому верхньому куту не дорівнює нулю, випливає, що останнні ( n – p ) стовпців матриці лінійно незалежні. Доведення цього факту таке ж саме як і в першій частині про ранг.
Доведемо, що перший, другий, і т.д. р-ий стовпчик матриці є лінійною комбінацією останніх ( n – p ) стовпців. Це твердження випливає з формули (**).
Насправді, в першому стовпчику матриці записано значення для x1, в другому дляx2, і т.д., в n-ому стовпчику – для xn. Зформули ж (**) випливає, що x1,…,xpєлінійною комбінацією xp+1,…,xn.
Тобто в матриці – лінійно незалежними є лише останні (n-p)стовпців. Таким чином максимальна лінійно незалежна система розв’язків (ФСР) складається з (n-p) розв’язків.
Теорему доведено.
Зауваження.Якщо rА = р = n , то в цьому випадку система визначена, має один тривіальний розв’язок, а система з одного нульововго вектора лінійно залежна, тому фундаментальної системи розв’язків немає.
Розглянемо множину розв’язків однородної системи з точки зору векторного простору. Множина розв’язків однорідної системи є підмножиною n-вимірного арифметичного простру. Більш того з властивостей розв’язків однорідної системи випливає, що в цій підмножині визначені операції додавання векторів і множення вектора на число. Тоді як випливає з попереднього множина усіх розв’язків однорідної системи є підпростором арифметичного простору. Базисом цього підпростору є фундаментальна система розв’язків. З тереми про фундаментальну систему випливає, що вимірність цього підпростору дорівнює n-r (n – кількість невідомих, r – ранг матриці системи).
4.4 Зв’язок між розв’язком неоднорідної і відповідної однорідної системи рівнянь.
Нехай задано неоднорідну систему
, (1)
Означення. Відповідною однорідною системою називається система
, (2)
з тими ж самими коефіцієнтами .
Звя’язок між розв’язками системи (1) та (2) описується наступними теоремами.
Теорема 1. Сума розв’язків неоднорідної і відповідної однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь є розв’язком неоднорідної системи .
Теорема 2.Різниця двох розв’язків неоднорідної системи є розв’язком відповідної однорідної системи.
Доведення теореми 1. Нехай ( ) – розв’язок системи (1), ( ) – розв’язок системи (2). Треба довести , що - розв’язок системи (1) .
За означенням розв’язку маємо систему правильних числових рівностей
, ( ) (3)
, ( ) (4)
Підставимо в ліву частину системи (1) замість .
( )
Перша властивість доведена.
Доведення теореми 2. Нехай ( ) , ( ) – розв’язки системи (1). Розглянемо упорядкований набір . Ми повинні довести, що це розв’язок системи (2) .
За означенням розв’язку маємо системи правильних числових рівностей:
, ( ), (3)
, ( ). (3’)
Підставимо в ліву частину рівнянь системи (2) замість числа відповідно і обчислимо її.
.
Таким чином , одержуємо правильних числових рівностей.
Твердження.З цих двох теорем випливає такий алгоритм розв’язування неоднорідної системи рівнянь : множину всіх розв’язків можна одержати додавання до кожного розв’язку множини розв’язків однорідної системи одного розв’язку (окремого) неоднорідної системи.