1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А .
А= , В= .
А×В = = ,
В×А = = .
З наведеного прикладу бачимо, що А×В ¹ В×А . При цьому ми виходили з такого означення рівних матриць.
Означення.Матриці А і В називаються рівними, якщо на одних і тих самих місцях знаходяться рівні елементи.
Теорема .Множення матриць підпорядковується асоціативному закону.
Тобто ми повинні довести, що для будь-яких матриць А, В і С має місце рівність
( А × В ) × С = А × ( В × С ) .
Нехай
А=( ) , В=( ) . А × В = D = ( )
( А × В ) × С = C ×D = F ( ) , ( В × С ) = Р ( )
А × (В × С ) = А× Р = Т ( ) .
В цих позначеннях треба довести, що F = Т , тобто ( = 1,2,…, )
Обчислимо
, (1)
, (2)
Підставимо (2) в (1) , отримаємо
(3)
Преходимо до обчислення .
(4)
(5)
Підставимо (5) в (4), отримаємо
(6)
Порівнюючи (3) і (6), приходимо до висавку, що , що й треба було довести .
Хоча множення матриць, взагалі кажучі, некомутативне, існує матриця, яка комутує з будь-якою матрицею А, і більш того, в добутку з даною матрицею не змінює цю матрицю А. Це так звана одинична матриця :
Е = .
Ця матриця має такі властивості :
1) А × Е = А , " А
2) Е × А = А , " А ,
а звідси випливає, що А × Е = Е × А .
Доведемо другу властивість.
Е × А = × =
= = А .
Так само доводиться перша властивість, тобто безпосереднім множенням.
Теорема. .
Доведеня.Нехай задано матриці А і В , а С – добуток цих матриць. Треба довести, що
det C = det A ×det B .
Для доведення побудуємо визначник d порядку 2n :
d = .
Застосуємо до перших n рядків цього визначника теорему Лапласа
d = det A ×det B ( , тобто
d = det A ×det B (1)
Перетворимо визначник d за допомогою восьмої властивості визначників. До (n+1) стовпчика додамо перший стовпець помножений на , другий – на , n-ий – на .
Аналогічно зробимо з (n+2)-им стовпцем, (2n)-им стовпцем. В правому нижньому куті отримаємо нульовий блок порядку n. А правий верхній кут, тоді перетворюється в елементи матриці С.
Застосуємо до цього визначника теорему Лапласа .
d = det C .
Користуючись формулою суми 2n членів арифметичної прогресії, маємо
d = det C , det C = det A × det B .
Вправа. Довести самостійно єдиність одиничної матриці (скористатись методикою доведення єдиності нульового вектора будь-якого лінійного простору).
5.2 Матриці обернені до даних. Умови їх існування.
Внаслідок того, що множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне, в цьому питанні слід розглядати ліві обернені матриці праві.
Означення.Матриця, що умовно позначається , називається лівою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову .
Означення. Матриця, що умовно позначається , називається правою оберненою до матриці А, якщо вона задовольняє умову .
Для з’ясування умов існування обернених матриць введемо поняття невироджених (неособливих) і вироджених (особливих) матриць.
Означення.Квадратна матриця називається невиродженою, якщо її визначник не дорівнює нулю. В противному разі квадратна матриця називається виродженою.
Теорема 1.Жодна вироджена матриця не має ні лівої оберненої, ні правої оберненої матриці.
Доведення. Нехай задана матриця А, det A = 0. Треба довести, що не існує ні правої оберненої, ні лівої оберненої матриці. Припустимо, що існує хоча б одна з них. Нехай існує ліва обернена матриця. Тоді (з означення). Застосуємо теорему про визначник добутку матриць:
det E = det . det A ,
1 = 0, отримали суперечність.
Таким чином, не існує , так само доводиться, що не існує .
Теорему доведено.
Теорема 2.Для будь-якої невиродженої матриці існує і ліва обернена, і права обернена, і вони рівні .
Доведення.Нехай задано матрицю А.
,
причому det A = d 0 .
Треба довести, що існує ліва обернена , права обернена матриці, та = . З матриці А побудуємо матрицю , заміною кожного елемента aij його алгебраїчним доповненням Аij і протранспонувавши отримаємо матрицю:
= .
Доведемо, що задовольняє дві умови:
1) А = Е ;
2) А = Е .
Доведемо
1) Застосувавши правило множення, лему до теореми Крамера і наслідок з теореми Лапласа маємо:
А × = =
= .
Так само, безпосереднім множенням матриць доводиться друга рівність.
З першого пункта випливає = , а з другого пункту = .
.
Отже ми довели існування оберненої матриці та її обчислення:
= .
Вправа.Довести єдиність матриці (Доведення проводиться за схемою доведення єдиності протилежного вектора).
5.3 Операції додавання і множення на число.
Означення.Сумою матриць А і В , А=( ) , В=( ) , називається матриця D, елементи якої обчислюються за законом
D = ( + ).
Означення.Добутком матриці А на число k , називається матриця F, елементи якої обчислюються за законом
F = (k ) .
Введені операції мають такі властивості :
1) А + В = В + А ;
2) (А + В)+С = А+(В + С) ;
3) $ Q : А + Q = А + Q + А ;
Q = .
4) " А $ (-А) : А + (-А) = (-А) + А = 0.
Вона і снує , тому що є (-А) = (- ) .
5) А = А ;
6) k (l A) = (k l) A ;
7) k (A + B) = kA + kB ;
8) (k + l) A = kA + lA :
Перевірити самостійно.
Таким чином, множина всіх матриць є векторним простором, більш того, арифметичним, вимірності .
Розглянемо хоча б один базіс цього простору. Це так звані матриці .
= .
Таких матриць існує n2.
, , … , ,
, , … ,
Доведемо, що це базис. Доведемо, що це лінійно незалежні матриці. Для цього з’ясуємо, при яких kij виконується рівність
(*)
= 0 .
, .
Отже рівність (*) виконується лише в нульовому випадку усіх kij, тому матриці лінійно залежні.
З того, що вимерність простору матриць дорівнює , випливає, що матриці утворюють базіс. Тоді будь-яка матриця А повинна бути лінійною комбінацією матриць . Знайдемо цю лінійну комбнацію.
Розглянемо довільну матрицю А. Доведемо, що
А = .
Введемо в розгляд допоміжну матрицю:
.
Доведемо, що цю матрицю можна подати у вигляді .
Насправді
Розглянемо тепер матрицю А. Її можна подати у вигляді
Застосуємо до кожного доданку попередню формулу
Вправа. Довести, що операція множення матриць і додавання матриць підпорядковується дистрибутивному закону :
А (В + С) = АВ + ВС .