рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Доведення.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Доведення.

Доведення. - раздел Математика, Алгебра та геометрія Необхідність. Нехай Матриця С Є Скалярною. Треба Довести, Що...

Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд

С = .

Вище було доведено, що така матриця комутує з будь-якою матрицею А. Таким чином, необхідність доведена.

Достатність. Нехай деяка матриця С загального вигляду

С = ,

комутує з будь-якою матрицею А . Треба довести, що матриця С – скалярна матриця, тобто , , якщо i ¹ j .

З того, що для будь-якої матриці А, випливає .

(1)

(2)

Матриці (1), (2) за умовою теореми рівні, тому що на однакових місцях повинні знаходитись рівні елементи. Порівняємо елементи i-тих рядків ицх матриць.

0 = , 0 = , … , , 0 = , j = 1,2,…n.

Таким чином, ми одержали, що матриця С має діагональні елементи рівними, а елементи позадіагональні є нульовими, тобто матриця С – скалярна матриця.

5.4 Скалярні матриці.

Означення.Скалярною матрицею називається матриця вигляду

До класу скалярних матриць належить одинична матриця, а також нульова.

Позначимо k × Е = .

Доведемо, що кЕ комутує з будь-якою матрицею

(к Е) А = А (к Е ) , А .

Безпосереднім множенням матриць, переконуємося

1) ( к Е ) А = .

2) А ( к Е ) = .

Звідси випливає, що скалярна матриця комутує в добутку з будь-якою матрицею А. Насправді справедливе і обернене. А тому має місце така теорема.

Теорема.Для того, щоб матриця була скалярною, необхідно і достатньо, щоб вона комутувала з будь-якою матрицею .

5.5 Операції над прямокутними матрицями.

Розглянемо прямокутні матриці. З’ясуємо за яких умов операції над прямокутними матрицями можна здійснювати за тими ж правилами, що й над квадратними.

Почнемо з прикладів :

- таке множення не можливо.

, .

Проаналізувавши наведені приклади, приходимо до такого правила множення прямокутних матриць.

Правило:Дві прямокутні матриці можна перемножити, якщо кількість елементів в рядку першої матриці збігається з кількістю елементів в стовпці другої матриці, тобто кількість столбців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці, причому добуток має стільки рядків, скільки їх в першій матриці, і стільки стовпців, скільки їх в другій матриці.

Властивості прямокутних матриць.

1. Множення прямокутних матриць не комутативне.

2. Множення трьох матриць (якщо їх можна перемножити), підпорядковується асоцітивному закону, тобто (АВ)С = А(ВС) .

Доведення таке саме, як для квадратних матриць.

Розглянемо тепер і множення прямокутних матриць на число.

Аналізуючи операцію додавання квадратних матриць, приходимо до висновку, що додавати можна матриці однакових розмірів. А множити на число можна будь-яку матрицю.

Так само, як для квадратних матриць можна довести, що множина всіх прямокутних матриць одного розміру (s´n) є векторним простором відносно операцій додавання і множення матриці на число. Причому, арифметичним простором вимірності (s´n) .

Так само, як для квадратних матриць, можна вказати базіс простору. Ці матриці мають нульові єлементи, крім одного. Цей єлемент є 1. Таких матриць (s´n).

5.6 Псевдообернені матриці.

Почнемо з інформації про ранг добутку матриць, яка виявиться корисною при з’ясуванні умов існування псевдообернених матриць.

Відмітемо без доведення теорему.

Теорема. Ранг добутку матриць А і В не перевищує ранг матриці А і ранг матриці В.

Для подальшого важливим є наслідок з наведеної теореми.

Наслідок. Ранг добутку двох матриць А і В, з яких одна, наприклад В , невироджена, дорівнює рангу матриці А.

Доведення. Нехай С = А × В, det B ¹ 0. (1)

Треба довести, що r C = r A.

З теореми випливає, що

r C £ r A , (2)

з того, що det B¹0, випливає, що існує матриця . П омножимо обидві частини рівності на : С × = А × B × . З того, що множення має властивість асоціативності, матимемо, С × = А × Е=А. Застосуємо ще раз доведену теорему.

rA£ rC (3)

З (2) та (3) випливає, що r А = r С.

Нехай задано прямокутну матрицю А=( ) , розміру s´n,

Означення.Матриця, що умовно позначається , називається псевдооберненою лівою, якщо вона задовольняє умові:

×А=Е.

Аналогічно вводиться поняття псевдооберненої правої матриці, якщо вона задовольняє умові:

А× =Е.

Для того, щоб з¢ясувати умови існування псевдообернених матриць, треба розподілити всі прямокутні матриці на два класи: горизонтальні та вертикальні.

Означення.Матриця називається горизонтальною, якщо кількість рядків в ній менша за кількість стовпців.

Матриця називається вертикальною, якщо кількість стовпців в ній менша за кількість рядків.

Теорема 1. Жодна горизонтальна матриця немає псевдооберненої лівої.

Доведення.Нехай матриця А – горизонтальна матриця, тобто s<n. Тоді за означенням виконується рівність × А = Е . В матриці Е повинно бути стільки стовпців, скільки в матриці А, тобто квадратна матриця Е має розмір n´n . Ранг матриці Е дорівнює n, тому що в ній є мінор n-го порядку, що не дорівнює нулю. З іншого боку, застосуємо теорему про ранг добутку двох матриць.

n =r E £ r A £ s , n £ s, що суперечить умові. Так само може бути доведено теорему 1¢ .

Теорема 1¢.Жодна вертикальна матриця не має оберненої правої.

Для того, щоб з¢ясувати, за яких умов горизонтальна матриця має праву, а вертикальна – псевдообернену ліву, треба ввести поняття рядковоневиродженної і стовпцевоневиродженної матриць.

Означення.Матриця називається рядкововиродженною, якщо її стовпці утворюють лінійнонезалежну систему.

Матриця називається стовпцовоневиродженною, якщо її стовпці утворюют лінійнонезалежну систему.

З цього означення випливає, що горизонтальна матриця не може бути стовпцевоневиродженною, а вертикальна – рядковоневиродженною.

Теорема 2. Для того, щоб матриця мала псевдообернену праву, необхідно і достатньо, щоб вона була рядкововиродженною.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Алгебра та геометрія

За час існування спеціальності quot Прикладна математика quot у Дніпропетровському національному університеті створено добре збалансований курс... Курс починається зі знайомого із шкільних курсів математики та фізики розділу... При викладанні курсу quot Алгебри та геометрія quot витримується один із дидактичних принципів від простого до...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Доведення.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Векторна алгебра
Одним з важливих розділів даного курсу є загальна теорія лінійних алгебраїчних рівнянь. Ця теорія ґрунтується на понятті рангу системи векторів, арифметичному просторі. Тому поперед

Доведення.
Нехай система векторів лінійно залежна за означенням 1.Треба довести, що вона лінійно залежна у сенсі означення 2. Скористаємось означенням 1. Тоді виконується (1): . Дод

Теорему доведено.
Означення.Система векторів називається лінійно незалежною, якщо рівність виконується тоді і тільки тоді, коли . З вище доведеної теореми випливає, що якщо система лінійно

Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Доведемо, що вектори колінеарні. Отже один з векторів є лінійною комбінацією. Нехай це (для визначеності).

Доведення.
Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні. Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Н

Доведення.
Нехай маємо систему . Якщо серед них є трійка компланарних, то вони очевидно лінійно залежні. Нехай такої трійки немає. Візьмемо точку А і прикладемо до неї дані вектори. Побудуємо

Теорему доведено.
Зауваження. Мимохідь ми довели таке важливе твердження: будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів. 1.5 Поняття базису простору

Доведення.
Доведемо цю теорему в просторі. Розглянемо базисні вектори . Візьмемо довільний вектор . Зауважимо, що можливість розкладання доведено у теоремі 4 про геометричний зміст лінійної

Теорему доведено.
Означення.Координатами вектора у заданому базисі називаються коефіцієнти розкладання цього вектора за векторами базису. 1.6 Афінна система координат.

I. Скалярний добуток
1. Скалярна проекція вектора на вісь. Почнемо з допоміжного поняття величини напрямленого відрізку. Розглянемо вісь u і напрямлені відрізки на осі u. Означ

II. Векторний добуток
1. Поняття векторного добутку Введемо спочатку поняття 1)правої та 2)лівої трійки векторів. Означення 1. Упорядкована трійка векторів a, b, c називається п

Доведення.
Припустимо, що знайшовся такий векторний простір V, у якому декілька різних нульових елементів: і . Розглянемо суму . За означенням нульового вектора : . За означенням ну

Доведення.
Припустимо, що у деякому векторному просторі Vзнайшовся вектор , для якого є декілька різних протилежних елементів: та . Розглянемо суму . Скористуємось також асоціативністю додавання.

Доведення
Застосуємо метод математичної індукції по кількості символів n. При це очевидно: 1,2; 2,1. Зробимо індуктивне припущення: вважатимемо правильним дане твердження пр

Доведення.
При доведенні слід розглянути 2 випадки. 1. Елементи та , над якими здійснюється транспозиція, знаходяться поруч: Зауважимо, що після транспозиції положення та від

Теорему доведено.
2.2 Підстановки n-го степеня. Означення.Підстановкою -го степеня називається бієктивне відображення -елементної множини у себе. Будемо записувати

Доведення.
Нехай, наприклад, і-ий рядок буде лінійною комбінацією s інших рядків Застосовуючи властивість 7, ми подамо наш визначник у вигляді суми виз

Лема до теореми Лапласа. Теорема Лапласа.
Лема(про добуток мінору на його алгебраїчне доповнення ). Добуток мінору М на його алгебраїчне доповнення А складається з деяких членів визначника d, причому ці члени вход

Доведення.
Нехай задано визначник d. Для визначеності проведемо доведення, виділивши перші k рядків. Складемо всілякі мінори k-го порядку, що знаходяться у перших k рядках. Нехай це б

Доведення.
Нехай задано довільний визначник: Доведемо, що Для доведення побудуємо допоміжний визначник, який буде відрізнятися від визначника d лише одним рядком. &n

Доведення.
Нехай задано довільний векторний простір V і його базис . Розглянемо довільний вектор , що належить V. 1. Доведення можливості розкладання. Розглянемо систему – лі

Доведення.
Розглянемо рівність (*) з означення лінійно залежної і лінійно незалежної системи: З'ясуємо, при яких вона виконується: З цієї векторної рівності о

Доведення.
Для зручності доведення цієї властивості введемо символ . Нехай задано суму однотипних доданків Застосовуючи двічі цей символ, отримаєм для

Доведення.
Нехай найвищий порядок мінорів, що не дорівнюють нулю є число р. Це означає, що в матриці А є мінор р-того порядку, не рівний нулю. Мінори р + 1 і більш високих порядків дорівнюють нулю. Д

Теорема.
Для того, щоб визначник п - того порядку дорівнював нулю необхідно і достатньо, щоб його рядки (стовпці) утворювали лінійно залежну систему. Доведення: Необхід

Теорема.
1. Якщо ранг матриці А дорівнює рангу розширеної матриіці і це спільне значення менше n (rA=r <n), де n – кількість невідомих у системі, то система (1) є невизначеною

Доведення.
Доведемо першу властивість, а друга доводиться аналогічно. Нехай і – розв’язки системи (1). Треба визначити, чи є розв’язком системи (1). Розглянемо систему в вигля

Доведенння твердження.
Нехай Н= – множина розв’язків системи (1), – множина розв’язків системи (2). Нехай - окремий розв’язок системи (1). Розглянемо суму з будь-яким розв’язком однорідної сист

Закони множення.
1. Множення матриць, взагалі кажучі, не комутативне. Для того, щоб в цьому переконатись,досить знайти дві матриці А і В, для яких А×В ¹ В×А . А= , В= . А×В

Доведення.
Небхідність. Нехай матриця А має псевдообернену праву. Треба довести, що матриця А – рядковоневиродженна, тобто r A = s . З того, що існує , випливає А × = Е (s&acut

Побудова множини комплексних чисел.
Відомо,що існує взаємнооднозначна відповідність між точкою прямої і дійсними числами. Але маючи дійсні числа, неможна розв¢язати навіть таке просте рівняння . Тоді спробували побудува

Полярна система координат.
Означення.Полярною системою координат називають систему координат на площині, що складається з числової прямої, яка називається полярною віссю і точки на ній, що називається полюсо