Необхідність. Нехай матриця С є скалярною. Треба довести, що , " А. З того, що матриця С скалярна, вона має вигляд
С = .
Вище було доведено, що така матриця комутує з будь-якою матрицею А. Таким чином, необхідність доведена.
Достатність. Нехай деяка матриця С загального вигляду
С = ,
комутує з будь-якою матрицею А . Треба довести, що матриця С – скалярна матриця, тобто , , якщо i ¹ j .
З того, що для будь-якої матриці А, випливає .
(1)
.
(2)
Матриці (1), (2) за умовою теореми рівні, тому що на однакових місцях повинні знаходитись рівні елементи. Порівняємо елементи i-тих рядків ицх матриць.
0 = , 0 = , … , , 0 = , j = 1,2,…n.
Таким чином, ми одержали, що матриця С має діагональні елементи рівними, а елементи позадіагональні є нульовими, тобто матриця С – скалярна матриця.
5.4 Скалярні матриці.
Означення.Скалярною матрицею називається матриця вигляду
.
До класу скалярних матриць належить одинична матриця, а також нульова.
Позначимо k × Е = .
Доведемо, що кЕ комутує з будь-якою матрицею
(к Е) А = А (к Е ) , А .
Безпосереднім множенням матриць, переконуємося
1) ( к Е ) А = .
2) А ( к Е ) = .
Звідси випливає, що скалярна матриця комутує в добутку з будь-якою матрицею А. Насправді справедливе і обернене. А тому має місце така теорема.
Теорема.Для того, щоб матриця була скалярною, необхідно і достатньо, щоб вона комутувала з будь-якою матрицею .
5.5 Операції над прямокутними матрицями.
Розглянемо прямокутні матриці. З’ясуємо за яких умов операції над прямокутними матрицями можна здійснювати за тими ж правилами, що й над квадратними.
Почнемо з прикладів :
- таке множення не можливо.
,
, .
Проаналізувавши наведені приклади, приходимо до такого правила множення прямокутних матриць.
Правило:Дві прямокутні матриці можна перемножити, якщо кількість елементів в рядку першої матриці збігається з кількістю елементів в стовпці другої матриці, тобто кількість столбців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці, причому добуток має стільки рядків, скільки їх в першій матриці, і стільки стовпців, скільки їх в другій матриці.
Властивості прямокутних матриць.
1. Множення прямокутних матриць не комутативне.
2. Множення трьох матриць (якщо їх можна перемножити), підпорядковується асоцітивному закону, тобто (АВ)С = А(ВС) .
Доведення таке саме, як для квадратних матриць.
Розглянемо тепер і множення прямокутних матриць на число.
Аналізуючи операцію додавання квадратних матриць, приходимо до висновку, що додавати можна матриці однакових розмірів. А множити на число можна будь-яку матрицю.
Так само, як для квадратних матриць можна довести, що множина всіх прямокутних матриць одного розміру (s´n) є векторним простором відносно операцій додавання і множення матриці на число. Причому, арифметичним простором вимірності (s´n) .
Так само, як для квадратних матриць, можна вказати базіс простору. Ці матриці мають нульові єлементи, крім одного. Цей єлемент є 1. Таких матриць (s´n).
5.6 Псевдообернені матриці.
Почнемо з інформації про ранг добутку матриць, яка виявиться корисною при з’ясуванні умов існування псевдообернених матриць.
Відмітемо без доведення теорему.
Теорема. Ранг добутку матриць А і В не перевищує ранг матриці А і ранг матриці В.
Для подальшого важливим є наслідок з наведеної теореми.
Наслідок. Ранг добутку двох матриць А і В, з яких одна, наприклад В , невироджена, дорівнює рангу матриці А.
Доведення. Нехай С = А × В, det B ¹ 0. (1)
Треба довести, що r C = r A.
З теореми випливає, що
r C £ r A , (2)
з того, що det B¹0, випливає, що існує матриця . П омножимо обидві частини рівності на : С × = А × B × . З того, що множення має властивість асоціативності, матимемо, С × = А × Е=А. Застосуємо ще раз доведену теорему.
rA£ rC (3)
З (2) та (3) випливає, що r А = r С.
Нехай задано прямокутну матрицю А=( ) , розміру s´n,
Означення.Матриця, що умовно позначається , називається псевдооберненою лівою, якщо вона задовольняє умові:
×А=Е.
Аналогічно вводиться поняття псевдооберненої правої матриці, якщо вона задовольняє умові:
А× =Е.
Для того, щоб з¢ясувати умови існування псевдообернених матриць, треба розподілити всі прямокутні матриці на два класи: горизонтальні та вертикальні.
Означення.Матриця називається горизонтальною, якщо кількість рядків в ній менша за кількість стовпців.
Матриця називається вертикальною, якщо кількість стовпців в ній менша за кількість рядків.
Теорема 1. Жодна горизонтальна матриця немає псевдооберненої лівої.
Доведення.Нехай матриця А – горизонтальна матриця, тобто s<n. Тоді за означенням виконується рівність × А = Е . В матриці Е повинно бути стільки стовпців, скільки в матриці А, тобто квадратна матриця Е має розмір n´n . Ранг матриці Е дорівнює n, тому що в ній є мінор n-го порядку, що не дорівнює нулю. З іншого боку, застосуємо теорему про ранг добутку двох матриць.
n =r E £ r A £ s , n £ s, що суперечить умові. Так само може бути доведено теорему 1¢ .
Теорема 1¢.Жодна вертикальна матриця не має оберненої правої.
Для того, щоб з¢ясувати, за яких умов горизонтальна матриця має праву, а вертикальна – псевдообернену ліву, треба ввести поняття рядковоневиродженної і стовпцевоневиродженної матриць.
Означення.Матриця називається рядкововиродженною, якщо її стовпці утворюють лінійнонезалежну систему.
Матриця називається стовпцовоневиродженною, якщо її стовпці утворюют лінійнонезалежну систему.
З цього означення випливає, що горизонтальна матриця не може бути стовпцевоневиродженною, а вертикальна – рядковоневиродженною.
Теорема 2. Для того, щоб матриця мала псевдообернену праву, необхідно і достатньо, щоб вона була рядкововиродженною.