Необхідність. Припустимо, що вектори утворюють лінійно залежну систему. Покажемо, що вони компланарні.
Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то очевидно, що вони є компланарними. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні. Тоді за означенням 1 лінійної залежності існує вектор (наприклад, ), що є лінійною комбінацією інших .
Візьмемо точку А і прикладемо до неї вектори . Побудуємо паралелограм зі сторонами .
| A |
| C |
| D |
| B |
(для визначеності )
Тоді з попередньої рівності випливає, що – сторони і діагональ паралелограма. Отже ці вектори компланарні. Оскільки , то вектори також компланарні.
Достатність. Припустимо, що – компланарні. Покажемо, що вони лінійно залежні.
Якщо серед векторів системи пара колінеарних, то в системі є лінійно залежна підсистема і тому вся система залежна. Нехай тоді вектори попарно неколінеарні.
Прикладемо вектори до однієї точки А і побудуємо паралелограм ABDC з діагоналлю і сторонами, що знаходяться на прямих, на яких знаходяться вектори . Тоді .
Оскільки , то . Тоді , тобто є лінійною комбінацією і . Отже вектори лінійно залежні за першим означенням.