Плоскости в пространстве

 

Общее уравнение плоскости

 

Общее уравнения плоскости имеет вид

Ax + By + Cz + D =0, (1)

где по крайней мере один из коэффициентов А, В, С не равен 0.

Определение 1. Вектор = (A, B, C) называется нормальным вектором плоскости (1).

Теорема 1. Нормальный вектор перпендикулярен плоскости (1).

 

Частные случаи общего уравнения плоскости:

 

1. Если D = 0, то Ax + By + Cz = 0 – этому уравнению удовлетворяет точка 0(0;0;0), следовательно в этом случае плоскость проходит через начало координат.

2. Если С = 0, то Ax + By + D = 0 и = (A; B; 0) перпендикулярен Oz, следовательно плоскость (1) параллельна оси Оz; если В = 0, то (1) параллельна Оу; если А = 0, то (1) параллельна Ох

3. Если C = D = 0 , то плоскость Ах + Ву = 0 проходит через 0(0;0;0) и ось Oz. Если уравнение плоскости (1) имеет вид Ву + Сz = 0 (или
Ax + Cz = 0), то плоскость в обоих случаях проходит через начало координат и ось Ox (соответственно Oy) .

4. Если A = B = 0 то уравнение (1) принимает вид Cz + D = 0, то есть
z = –D/C. Плоскость параллельна плоскости Оху. Аналогично:

Ах + D = 0 || Oyz

By + D = 0 || Oxz

5. Если A = B = D = 0, то уравнение (1) имеет вид Cz = 0, то есть z = 0 – это уравнение плоскости Оху. Аналогично:

y = 0 || Oxz

x = 0 || Oyz

 

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку

перпендикулярно данному вектору.

Пусть в пространстве Охуz плоскость a задается указанием точки
М₀(х₀; у₀; z₀) и нормальным вектором = (A; B; C), перпендикулярным к этой плоскости. Тогда уравнение плоскости a имеет вид

 

 

 

 

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости a, проходящей через три данные точки М₁(х₁; у₁; z₁), М₂(х₂; у₂; z₂), М₃(х₃; у₃; z₃), не лежащие на одной прямой. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки, имеет вид

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях Ох, Оу и Oz соответственно отрезки a, b и c.

 

Уравнение этой плоскости имеет вид

 

и называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Этим уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.

 

Угол между двумя плоскостями. Условие параллельности и

перпендикулярности двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости a₁ и a₂:

a₁ : A₁x + B₁y + C₁z + D₁ =0

a₂: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ =0

Под углом между a₁ и a₂ принимается один из двугранных углов φ, образованных этими плоскостями. Угол между нормальными векторами (A₁;B₁;C₁) и (A₂;B₂;C₂) равен одному из этих углов.

 

Имеем

и

 

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части. Из последней формулы следует условие перпендикулярности двух плоскостей:

A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Плоскости a₁и a₂параллельны, если коллинеарны соответствующие нормальные векторы, т.е.

 

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана точка М₀(х₀; у₀; z₀) и плоскость a со своим уравнением

Ax + By + Cz + D = 0

Расстояние d от точки М₀ до плоскости a находится по формуле: