Краткие сведения о поверхностях 2-го порядка

 

Рассмотрим поверхности, определяемые уравнениями второй степени, относительно текущих координат:

Ах² + Ву² + Сz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy +Kz + L = 0 (8)

коэффициенты уравнения – действительные числа, но по крайней мере одно из чисел А, В, С отлично от 0. Уравнение (8), в частности, определяет на плоскости сферу, эллипсоид, гиперболоид и параболоид.

 

Эллипсоид и сфера

 

Поверхность, задаваемая уравнением

представляет собой эллипсоид.

 

 

 

Слева на рисунке изображен эллипсоид в общем случае. Справа – когда выполняется равенство a=b= c; в этом случае эллипсоид представляет собой сферу.

 

 

Гиперболоид

 

Поверхность, задаваемая уравнением

представляет собой однополостный гиперболоид.

Поверхность, задаваемая уравнением

представляет собой двуполостный гиперболоид.

 

 

Слева на рисунке изображен однополостный гиперболоид, cправа – двуполостный гиперболоид.

 

Параболоид

 

Поверхность, задаваемая уравнением

представляет собой эллиптический параболоид .

Поверхность, задаваемая уравнением

представляет собой гиперболический параболоид.

 

Слева на рисунке изображен эллиптический параболоид, cправа – гиперболический параболоид, имеющий форму седла.