Исследование статистической состоятельности гипотезы о виде модели включает проверку адекватности модели и проверку отсутствия авторегрессии.
Проверка адекватности основана на проверке нулевой гипотезы. Нулевая гипотеза отвергает гипотезу, положенную в основу моделирования, т.е. предполагает, что модель не улавливает закономерностей процесса и оценка дисперсии с числом степеней свободы показателя y
(75)
соизмерима с дисперсией ошибки с числом степеней свободы ,
(76)
Отношение дисперсий подчиняется распределению Фишера [7] (F-распределение, см. рис. 19). Задавая близкий к 1 доверительный уровень , можно определить по стандартному F-распределению максимальное значение , при котором еще подтверждается нулевая гипотеза, т. е. и близки по значению друг другу и статистически неотличимы.
При значениях дисперсия ошибки мала по сравнению с дисперсией показателя у и нулевая гипотеза отвергается, а следовательно, подтверждается гипотеза о виде модели.
В том случае, когда проверка по F-распределению удовлетворительна, модель принимается для дальнейшего исследования; если нет, то необходимо изменить или вид модели, или состав показателей для повышения адекватности модели. Плохая модель может быть также обусловлена наличием авторегрессионных связей. Под авторегрессионными связями понимается взаимозависимость ошибок соседних наблюдений.
Проверка отсутствия авторегрессии выполняется по критерию Дарбина-Ватсона
. (77)
Если , то авторегрессия отсутствует; в противном случае ошибки соседних наблюдений и нельзя считать независимыми и следует учесть наличие авторегрессии (см. разд. 9.3).
Интервальные оценки коэффициентов моделивыполняются после оценки их статистической значимости.
Статистическая значимость коэффициентов проверяется на основе выдвижения нулевой гипотезы, отвергающей статистическую значимость коэффициентов модели.
Для проверки значимости можно воспользоваться величиной t, определяемой как отношение случайной величины к ее ошибке с n степенями свободы, .
Пусть , где - ошибка коэффициента модели , которая может быть оценена по ошибке моделирования и коэффициенту обратной информационной матрицы:
. (78)
Распределение коэффициента соответствует стандартному распределению Стьюдента [7] случайной величины t (рис. 20).
Если нулевая гипотеза верна и коэффициенты модели незначимы, то их ошибка велика и статистически неотличима от самого коэффициента, т. е. t с высокой вероятностью мало (уровень значимости и менее, а уровень незначимости и более, ).
Если теперь определить по стандартному распределению значение и сравнить его с расчетным значением, то можно утверждать, что при нулевая гипотеза о незначимости коэффициентов подтверждается, а если , то коэффициенты модели значимы и можно приступить к определению интервальных оценок или доверительных интервалов коэффициентов модели, .
Введем понятие доверительного интервала - вероятного отклонения коэффициента модели . Если коэффициент значим, то можно записать
. (79)
При этом максимальное значение доверительного интервала при и равно .
Теперь регрессионная модель может быть записана с учетом интервальных оценок коэффициентов:
. (80)
Прогнозирование по регрессионной модели заключается в продлении тренда на требуемый прогнозный период и включает получение точечных и интервальных оценок прогнозируемого показателя.
Точечные оценки прогнозируемого показателя, или определение его математических ожиданий на перспективу, основано на использовании модели с точечными оценками коэффициентов:
, (81)
где - прогнозируемый период, а - прогнозные значения параметра i, на год прогноза j.
Интервальные оценки прогнозируемого показателя, или определение доверительного интервала прогноза, выполняется на основе вычисления ошибок прогнозирования на год прогноза j, где
. (82)
Здесь - вектор-столбец прогнозных значений величин на год прогноза j.
Аналогично определению доверительных интервалов коэффициентов модели можно записать
, (83)
и максимальное значение доверительного интервала прогнозируемого показателя Y
, при и .
Следует отметить, что при прогнозировании показателя на интервале прогнозирования от до Т прогнозные точечные оценки и интервальные оценки по регрессионной модели могут быть найдены на любой год j независимо от предыдущих и последующих лет.