По регрессионной модели

Постановка задачи и исходные данные. Обучающая выборка представляет собой совокупность наблюдаемых значений максимальной годовой нагрузки энергосистемы за прошедшие 10 лет. Требуется подобрать уравнение регрессии в виде временного многочлена, выполнить прогноз нагрузки на последующие 5 лет и оценить доверительные интервалы прогноза.

Совокупность наблюдений приведена ниже:

 

Год	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й	8-й	9-й	10-й
	11,37	12,02	13,30	14,41	16,42	17,99	19,02	21,18	22,39	24,78

 

Отбор информативных показателей и определение вида модели. Построение графика позволяет выдвинуть гипотезу о модели в виде квадратичного временного многочлена вида

 

,

где , , .

Вектор выборочных значений моделируемого показателя и матрицы выборочных значений Х имеют вид

 

; .

 

Математические ожидания и дисперсии:

 

 

 

Матрица коэффициентов парной корреляции:

 

 

Анализ корреляционной матрицы показывает, что все параметры существенно влияют на моделируемый показатель. В то же время параметры не являются независимыми друг от друга, и следовало бы один из них исключить ( или ), но для лучшего ознакомления студентов с методикой построения многомерных моделей исключение переменных или не произведено.

Точечные оценки коэффициентов модели определяются по соотношению :

; .

 

Для получения вектора математических ожиданий точечных оценок коэффициентов модели необходимо выполнить обращение информационной матрицы любым известным методом:

 

.

 

Тогда вектор коэффициентов модели

 

.

 

Вычисление точечных оценок показателя и ошибок моделирования. Математическое ожидание модельных, или вычисленных значений показателя, найдено по модели с использованием точечных оценок коэффициентов модели по соотношениям

 

, .

 

Результаты расчетов по всем точкам выборочной совокупности приведены в табл. 12.

Таблица 12

Расчет погрешностей моделирования

 

 

Пока-	Год наблюдений
затель	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й	6-й	7-й	8-й	9-й	10-й
	11,37	12,02	13,10	14,41	16,42	17,99	19,02	21,18	22,39	24,78
	11,089	12,189	13,391	14,696	16,103	17,612	19,224	20,937	22,753	24,671
e	0,281	-0,169	-0,291	-0,286	0,317	0,378	-0,204	0,243	-0,363	0,109
	0,0791	0,0285	0,0849	0,0818	0,1005	0,1427	0,0415	0,0589	0,1319	0,0118

 

Проверка статистической состоятельности модели. Проверка нулевой гипотезы, которая отвергает состоятельность регрессионной модели, выполня-

ется на основе сопоставления дисперсии моделируемого показателя и дисперсии ошибки моделирования. Отношение дисперсий подчиняется распределению Фишера [7]. Для подтверждения состоятельности модели вычисляется значение и сравнивается с величиной критического значения стандартного F-распределения с высокой достоверностью (или 0,95) и числом степеней свободы числителя ( ) и знаменателя ( ):

, где ,

 

; ; ; , тогда .

Стандартное значение F-распределения с достоверностью и числом степеней свободы числителя и знаменателя равно (табл. 13); следовательно, и нулевая гипотеза о несостоятельности модели отвергается, т. е. подтверждается адекватность вида модели и оценок математических ожиданий коэффициентов.