Реферат Курсовая Конспект
Матрицы и действия с матрицами - раздел Математика, ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ Матрицей Размера ...
|
Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов. Матрицы обозначают прописными (заглавными) буквами латинского алфавита. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы[1] и обозначаются строчными буквами с двойным индексом: , где первый индекс () соответствует номеру строки, а второй индекс () – номеру столбца. Матрица размера может быть записана в одном из видов
либо
При необходимости указать размер матрицы будем использовать запись .
Элементы матрицы, имеющие одинаковые индексы, называются диагональными. Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули, называется треугольной.
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца – матрицей-столбцом. Обе такие матрицы называют также вектором.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается .
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк (столбцов) порядком матрицы.
Квадратная матрица, у которой только диагональные элементы могут быть не равны нулю, называется диагональной матрицей
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается .
Матрица, полученная из исходной перестановкой строк со столбцами, называется транспонированной матрицей и обозначается :
.
Заметим, что .
В математике матрица рассматривается как самостоятельный математический объект, с которым можно производить различные действия.
1. Сравнение матриц. Две матрицы равны, если они имеют одинаковый размер и соответствующие элементы равны:
.
2. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо умножить на это число все элементы матрицы:
.
3. Сложение (вычитание) матриц. Сложение (вычитание) матриц проводится поэлементно и возможно для матриц одного размера:
. Для перечисленных выше действий справедливы следующие свойства:
4. Умножение матриц. Матрицы перемножаются по правилу строки на столбец:
Рис.1
А именно, осуществляется операция, которая называется сумма произведений: элементы, соединенные одной линией перемножаются, а затем результаты складываются. То есть, чтобы получить элемент матрицы надо каждый элемент −ой строки матрицы умножить на соответствующий по порядку элемент −го столбца и результаты сложить.
При записи знак умножения может быть опущен: .
Умножение матриц возможно только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Результат умножения – матрица, имеющая число строк, совпадающее с числом строк первой матрицы, и число столбцов равное числу столбцов второй матрицы. При умножении матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец. При умножении матрицы на транспонированную матрицу получаем квадратную матрицу.
Умножение матриц не коммутативно.Более того, при перестановке (коммутации) матриц подчас умножение не возможно. Те квадратные матрицы, для которых выполнено свойство , называются коммутативными.
Роль единицы при умножении матриц играет единичная матрица . Для матриц выполнены ассоциативный и дистрибутивный законы умножения, если не нарушается порядок множителей и умножение возможно. То есть, верны следующие свойства умножения:
Отметим также свойство умножения для транспонированных матриц
.
5. Возведение в степень. Для квадратных матриц определено возведение в натуральную степень, которое проводится как последовательное умножение. При этом, очевидно, справедлив коммутативный закон умножения
.
►Пример 1.
а) Даны матрицы , .
Выполнить указанные действия:
1) указать размер матрицы ,
2) записать элемент матрицы ,
3) найти: а) транспонированную матрицу, б) матрицу ,
4) вычислить ,
5) вычислить (- единичная матрица).
Решение.
1) Матрица имеет 3 строки и четыре столбца, следовательно, ее размер .
2) Элементнаходится во второй строке и первом столбце матрицы :.
3) Транспонированная матрица получается из исходной, при замене строк на столбцы, а для записи матрицы необходимо все элементы матрицы умножить на три:
а) , б) .
4) Матрицы и имеют одинаковый размер, следовательно, их можно складывать
.
5) Число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Следовательно, возможно умножение , При этом получаем матрицу , имеющую три строки и три столбца:
Аналогично возможно и умножение , получаем матрицу .
.
Так как складывать можно только матрицы одного размера, для нахождения матрицы необходимо взять единичную матрицу второго порядка
. ◄
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ... Введение...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Матрицы и действия с матрицами
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов